Cách vẽ hình lục giác đều bằng compa và thước thẳng lớp 6

Cách vẽ hình lục giác đều bằng thước thẳng và compa dựa trên tính chất: mỗi cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp. Trong Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống, học sinh nhận biết lục giác đều có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau. Bài viết hướng dẫn từng bước vẽ đường tròn, giữ nguyên độ mở compa để đánh dấu sáu đỉnh rồi nối các đỉnh liên tiếp, kèm cách kiểm tra hình và bài tập vận dụng.

Hình lục giác đều là gì? Đặc điểm cần biết trước khi vẽ

Hình lục giác đều là một hình đa giác phẳng có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau. [1]

Để thuận tiện cho việc trình bày quy trình dựng hình và chứng minh, hình lục giác đều thường được ký hiệu theo thứ tự các đỉnh liên tiếp là \(ABCDEF\).

Trước khi tiến hành vẽ, học sinh cần nắm rõ các đặc điểm hình học cốt lõi để dễ dàng rà soát tính chính xác của hình thu được:

• Sáu cạnh có độ dài bằng nhau: \(AB = BC = CD = DE = EF = FA\).

• Các đỉnh phân bố hoàn toàn đều nhau quanh một điểm tâm đối xứng \(O\).

• Ba đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện \(AD, BE, CF\)cùng đi qua tâm \(O\) và có độ dài bằng nhau. [1]

Đặc biệt, khi hình lục giác đều nội tiếp một đường tròn tâm \(O\), độ dài mỗi cạnh của lục giác đều luôn đúng bằng bán kính \(R = OA\) của đường tròn đó. Đây chính là tính chất quyết định được ứng dụng để dựng sáu đỉnh bằng compa.

Ngoài ra, bằng cách nối tâm \(O\) với sáu đỉnh, hình lục giác đều \(ABCDEF\) được chia thành sáu tam giác đều bằng nhau.

Học sinh cần lưu ý phân biệt hình lục giác đều với hình lục giác thông thường: một hình chỉ có sáu cạnh chưa đủ để kết luận là lục giác đều nếu chưa đảm bảo các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.

Cách vẽ hình lục giác đều bằng thước và compa

Vẽ đường tròn tâm O, giữ độ mở compa bằng bán kính để đánh dấu sáu đỉnh liên tiếp trên đường tròn, rồi dùng thước nối các đỉnh theo thứ tự. Nếu biết trước cạnh a, chọn bán kính đường tròn bằng a.

Để dựng hình chính xác, học sinh cần chuẩn bị đầy đủ ba dụng cụ cơ bản gồm: thước thẳng (dùng để nối các đỉnh), compa (dùng để xác định các điểm cách đều nhau) và bút chì nhọn. Quy trình dựng hình được thực hiện tuần tự theo 7 bước như sau:

• Bước 1: Dùng compa vẽ một đường tròn tâm \(O\) với bán kính tùy chọn \(R\).

• Bước 2: Chọn một điểm \(A\) bất kỳ nằm trên đường tròn vừa vẽ.

• Bước 3: Giữ nguyên độ mở của compa đúng bằng bán kính \(OA\).

• Bước 4: Đặt đầu kim compa tại điểm \(A\), quay một cung nhỏ cắt đường tròn tại điểm \(B\).

  Chọn một trong hai giao điểm làm B. Từ bước tiếp theo, luôn chọn giao điểm mới theo cùng một chiều quanh đường tròn, không chọn lại đỉnh vừa đi qua.

• Bước 5: Tiếp tục giữ nguyên độ mở compa, lần lượt đặt đầu kim tại \(B, C, D, E\)để đánh dấu các giao điểm tiếp theo \(C, D, E, F\) trên đường tròn.

• Bước 6: Đặt kim compa tại F, giữ nguyên bán kính OA và kiểm tra cung vẽ có đi qua A hay không. F và A là hai đỉnh khác nhau; không đặt F trùng A.

• Bước 7: Dùng thước thẳng nối lần lượt các đoạn \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\) để thu được hình lục giác đều \(ABCDEF\).

Trong suốt quá trình đánh dấu sáu đỉnh, học sinh tuyệt đối không được làm thay đổi độ mở của compa. Điều này đảm bảo sáu dây cung tạo thành có độ dài hoàn toàn bằng nhau và bằng bán kính đường tròn. Đường tròn phụ đóng vai trò là khung dựng hình; sau khi hoàn thành, học sinh có thể giữ lại hoặc tẩy nhẹ tùy thuộc vào yêu cầu của đề bài.

Nếu cần vẽ lục giác đều bằng thước, học sinh nên kết hợp thước thẳng với compa để xác định sáu đỉnh chính xác. Chỉ ước lượng vị trí các đỉnh bằng mắt không đảm bảo sáu cạnh và sáu góc bằng nhau. Có thể dùng thêm thước đo góc để chia đường tròn thành sáu phần, mỗi góc ở tâm bằng 60°, rồi nối các điểm liên tiếp.

Vì sao có thể dùng bán kính đường tròn để vẽ lục giác đều?

Quy trình dựng hình bằng compa không phải là thao tác máy móc mà dựa trên cơ sở hình học phẳng chặt chẽ. Khi lấy hai điểm liên tiếp \(A\) và \(B\) trên đường tròn tâm \(O\) bằng độ mở compa đúng bằng \(OA\), ta có \(OA = OB\) (cùng là bán kính) và \(AB = OA\) (do cách đặt compa).

Từ đó suy ra \(OA = OB = AB\), nghĩa là tam giác \(OAB\) là một tam giác đều. Lặp lại thao tác này năm lần tiếp theo quanh tâm \(O\) sẽ tạo ra sáu tam giác đều liên tiếp gồm \(OAB, OBC, OCD, ODE, OEF\) và \(OFA\).

Do sáu tam giác này bằng nhau nên sáu cạnh đáy \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\) có độ dài bằng nhau. Đồng thời, mỗi góc ở đỉnh của lục giác đều được tạo bởi hai góc \(60^\circ\) của hai tam giác đều kề nhau, do đó cả sáu góc đỉnh đều bằng \(120^\circ\).

Mỗi cạnh của lục giác đều được dựng nhờ tam giác đều OAB, trong đó OA và OB là hai bán kính. Vì mỗi góc ở tâm bằng 60° nên sáu bước compa khép kín một vòng 360°.

Cách kiểm tra hình lục giác đều sau khi vẽ

Sau khi hoàn thành bài vẽ, học sinh nên tiến hành rà soát lại hình bằng các thao tác kiểm tra kỹ thuật thay vì chỉ quan sát bằng mắt thường.

Các bước kiểm tra bao gồm:

1. Kiểm tra đỉnh: Xác định sáu đỉnh \(A, B, C, D, E, F\) có cùng nằm trên đường tròn ban đầu hay không.

2. Kiểm tra cạnh: Dùng compa đo lần lượt sáu cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\) để đảm bảo độ mở không bị thay đổi.

3. Kiểm tra bán kính: Đo độ dài một cạnh xem có đúng bằng bán kính \(OA\) hay không.

4. Kiểm tra đường chéo: Nối các đường chéo chính \(AD, BE, CF\) và kiểm tra xem cả ba đường có cùng cắt nhau tại tâm \(O\) hay không.

Bảng tổng hợp dưới đây phân tích các lỗi sai phổ biến mà học sinh thường mắc phải khi vẽ hình và cách khắc phục tương ứng:

Bài tập vẽ hình lục giác đều lớp 6

Bài tập vẽ lục giác đều theo bán kính cho trước

Bài 1: Sử dụng thước và compa, hãy vẽ hình lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\)có bán kính \(R = 3\text{ cm}\). Nêu rõ các bước vẽ.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Dùng thước chia độ mở compa đúng \(3\text{ cm}\), vẽ đường tròn tâm \(O\).

• Bước 2: Lấy điểm \(A\)trên đường tròn. Giữ nguyên độ mở compa \(3\text{ cm}\), lần lượt đặt kim tại \(A, B, C, D, E\)để quay các cung cắt đường tròn tại \(B, C, D, E, F\).

• Bước 3: Dùng thước nối \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Dùng thước đo lại để xác định cả 6 cạnh đều có độ dài đúng \(3\text{ cm}\).

Bài tập vẽ lục giác đều khi biết độ dài cạnh

Bài 2: Hãy vẽ một hình lục giác đều có độ dài cạnh bằng \(4\text{ cm}\).

Hướng dẫn giải:

• Vì độ dài cạnh của lục giác đều nội tiếp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp nên ta chọn bán kính đường tròn tâm \(O\) là \(R = 4\text{ cm}\).

• Thực hiện quy trình quay compa với độ mở \(4\text{ cm}\) để xác định sáu đỉnh \(M, N, P, Q, R, S\) trên đường tròn.

• Nối các đỉnh liên tiếp để thu được lục giác đều \(MNPQRS\) có cạnh \(4\text{ cm}\).

Bài tập kết hợp lục giác đều và tam giác đều

Bài 3: Cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\) có cạnh \(AB = 5\text{ cm}\). Nối tâm \(O\) với tất cả các đỉnh.

a) Hỏi có bao nhiêu tam giác đều được tạo thành? Hãy kể tên các tam giác đó.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng \(OA, OB, OC, OD, OE, OF\).

Hướng dẫn giải:

a) Có sáu tam giác đều được tạo thành gồm: \[\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODE, \triangle OEF, \triangle OFA\]

b) Vì các tam giác trên là tam giác đều nên độ dài các đoạn thẳng nối từ tâm đến đỉnh bằng đúng độ dài cạnh lục giác: \(OA = OB = OC = OD = OE = OF = 5\text{ cm}\).

Bài 4. Vẽ một mẫu trang trí hình lục giác đều có cạnh 2,5 cm bằng thước và compa. Nêu độ mở compa cần dùng và tính tổng độ dài sáu cạnh của mẫu.

Hướng dẫn giải: Mở compa 2,5 cm, vẽ đường tròn tâm O và đánh dấu sáu đỉnh liên tiếp, giữ nguyên độ mở. Nối các đỉnh theo thứ tự để được lục giác đều. Sáu cạnh cùng dài 2,5 cm nên tổng độ dài đường bao là 6 × 2,5 = 15 cm.

Bài tập phát hiện lỗi khi vẽ hình lục giác

Bài 5. Để vẽ một hình lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 3\text{ cm}\), bạn Nam đã thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Dùng compa vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 3\text{ cm}\). Lấy điểm \(A\) bất kỳ trên đường tròn.

• Bước 2: Giữ nguyên độ mở compa \(3\text{ cm}\), đặt đầu kim tại \(A\) quay một cung cắt đường tròn tại điểm \(B\).

• Bước 3: Bạn Nam điều chỉnh mở rộng độ mở compa thành \(3{,}5\text{ cm}\), đặt đầu kim tại \(B\) quay cung cắt đường tròn tại \(C\), rồi tiếp tục dùng độ mở \(3{,}5\text{ cm}\) này để xác định các điểm \(D, E, F\).

• Bước 4: Dùng thước thẳng nối các điểm theo thứ tự \[A \rightarrow C \rightarrow E \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow A\]

Hãy chỉ ra hai lỗi sai trong quy trình vẽ của bạn Nam và giải thích nguyên nhân vì sao thao tác đó lại sai. Nêu cách sửa lại cho đúng để bạn Nam hoàn thành hình vẽ chính xác.

Hướng dẫn giải

Có hai lỗi sai trong quy trình của bạn Nam:

• Lỗi sai 1 (Ở Bước 3): Bạn Nam đã thay đổi độ mở compa từ \(3\text{ cm}\) thành \(3{,}5\text{ cm}\).

  • Giải thích: Cạnh lục giác đều phải bằng bán kính 3 cm. Đổi độ mở thành 3,5 cm khiến các dây cung mới không bằng AB, nên hình không đều và các bước compa không khép kín đúng tại A.

• Lỗi sai 2 (Ở Bước 4): Bạn Nam đã nối sai thứ tự các đỉnh (nối nhảy đỉnh \(A \rightarrow C \rightarrow E \rightarrow ...\)).

  • Giải thích: Nối nhảy đỉnh tạo các đoạn chéo cắt nhau, không tạo đường bao của hình lục giác đều cần vẽ.

Cách sửa lại:

• Sửa Bước 3: Giữ nguyên độ mở compa đúng bằng \(3\text{ cm}\) trong suốt quá trình đánh dấu. Lần lượt đặt kim tại \(B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E\) để quay các cung xác định các đỉnh \(C, D, E, F\).

• Sửa Bước 4: Dùng thước nối lần lượt các đỉnh kề nhau theo đúng thứ tự vòng tròn:\[A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow A\].

Bài 6. Em hãy quan sát hai hình vẽ Hình A và Hình B và trả lời các câu hỏi sau

a) Trong hai hình trên, hình nào là hình lục giác đều?

b) Hãy nêu đầy đủ các dấu hiệu hình học (về cạnh, về góc, về đường chéo) để chứng minh lựa chọn của em.

c) Giải thích cụ thể vì sao hình còn lại không phải là hình lục giác đều.

Hướng dẫn giải

a) Kết luận: Hình A (Lục giác \(ABCDEF\)) là hình lục giác đều.

b) Các dấu hiệu khẳng định Hình A là hình lục giác đều:

• Về cạnh: Sáu cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA có cùng kí hiệu độ dài bằng nhau trên hình. Các cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp; hình không ghi số đo bán kính nên không tự gán giá trị 3 cm.

• Về góc: \(6\) góc ở các đỉnh \(A, B, C, D, E, F\) đều bằng nhau và cùng bằng \(120^\circ\).

• Về đường chéo: \(3\) đường chéo chính \(AD, BE, CF\) cùng đi qua tâm \(O\), cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và chia lục giác thành \(6\) tam giác đều bằng nhau.

c) Giải thích vì sao Hình B không phải là hình lục giác đều:

• Mặc dù hình \(MNPQRS\) có \(6\) đỉnh và \(6\) cạnh, nhưng độ dài các cạnh không bằng nhau (\(MN = 2{,}7\text{ cm}\), \(NP = 3{,}5\text{ cm}\), \(PQ = 3{,}1\text{ cm}\), \(QR = 2{,}2\text{ cm}\), \(RS = 2{,}6\text{ cm}\), \(SM = 2{,}5\text{ cm}\)).

• Chỉ cần có hai cạnh khác độ dài đã đủ kết luận Hình B không phải lục giác đều. Không nên suy ra các góc không bằng nhau chỉ từ việc một số đỉnh không nằm trên đường tròn tham chiếu.

Cách vẽ hình lục giác đều bằng thước và compa dựa trên tính chất mỗi cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp. Học sinh cần giữ nguyên độ mở compa, đánh dấu sáu đỉnh liên tiếp theo cùng một chiều rồi nối các đỉnh theo thứ tự. Sau khi vẽ, hãy kiểm tra sáu cạnh bằng nhau và bước compa cuối khép kín tại điểm ban đầu.

Để củng cố kỹ năng dựng hình, học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 6 tại ZIM Academy.