Miền nghiệm | Cách xác định và biểu diễn miền nghiệm

Miền nghiệm là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn các cặp số \((x;y)\) thỏa mãn bất phương trình hoặc hệ bất phương trình. Trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức, cách xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn dựa vào đường thẳng bờ, điểm thử và việc chọn nửa mặt phẳng phù hợp.

Bài viết hướng dẫn cách vẽ miền nghiệm, phân biệt trường hợp lấy hoặc không lấy bờ và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bằng phần giao các miền nghiệm thành phần.

Miền nghiệm là gì?

Miền nghiệm là tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) có tọa độ thỏa mãn bất phương trình hoặc hệ bất phương trình. Với bất phương trình bậc nhất hai ẩn, miền nghiệm là một nửa mặt phẳng, lấy hoặc không lấy đường thẳng bờ tùy dấu bất phương trình. [1]

Mối liên hệ giữa đường thẳng \(d: ax + by = c\) và hai nửa mặt phẳng

Về mặt hình học, đường thẳng \(d: ax + by = c\) chia mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) thành hai nửa mặt phẳng riêng biệt có chung bờ là đường thẳng d:

• Một nửa mặt phẳng (chứa các điểm thỏa mãn \(ax + by < c\) hoặc \(> c\)) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình tương ứng.

• Nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm có tọa độ không thỏa mãn bất phương trình.

Miền nghiệm lấy bờ và không lấy bờ \(Oxy\)

Khi vẽ hình biểu diễn miền nghiệm, học sinh cần chú ý quy ước về đường biên (bờ d):

Đọc hình theo chú thích: Phần tô màu có thể là miền nghiệm hoặc miền bị loại tùy đề. Không xác định miền nghiệm chỉ dựa vào màu hay nét gạch; cần kiểm tra một điểm và quy ước lấy bờ.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\) là bất phương trình có một trong các dạng tổng quát sau:

• \(ax + by < c\)

• \(ax + by > c\)

• \(ax + by \le c\)

• \(ax + by \ge c\)

Trong đó:

• \(a, b, c\) là những số thực cho trước.

• \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\) (tức \(a^2 + b^2 \ne 0\)).

• \(x\) và \(y\) là các biến (ẩn số).

Định nghĩa nghiệm của bất phương trình

Một cặp số \((x_0; y_0)\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) nếu mệnh đề \(ax_0 + by_0 \le c\) là một bất đẳng thức đúng.

Tương tự, cặp số \((x_0; y_0)\) thỏa mãn \(ax_0 + by_0 < c\) (hoặc \(> c, \ge c\)) cũng là một nghiệm của bất phương trình tương ứng.

Ví dụ minh họa:

• Cặp số \((2; -1)\) là một nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge -5\) vì \(3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 4 \ge -5\) (khẳng định đúng).

• Cặp số \((-2; 0)\) không là nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge -5\) vì \(3 \cdot (-2) + 2 \cdot 0 = -6 < -5\) (không thỏa mãn bất phương trình đã cho).

Lưu ý quan trọng

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0 luôn có vô số nghiệm. Mỗi cặp số nghiệm được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng Oxy; tập hợp các điểm đó tạo thành miền nghiệm. Hệ bất phương trình có thể không có nghiệm chung.

Ví dụ nhận dạng và phân biệt

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Quy trình 4 bước thực hiện

Để biểu diễn hình học miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) (hoặc \(<, >, \ge\)), thực hiện theo các bước chuẩn sau:

1. Vẽ đường thẳng bờ: \(d:ax+by=c\). Với a, b đều khác 0, có thể tìm hai giao điểm với trục tọa độ. Nếu b = 0, bờ là đường thẳng đứng x = c/a; nếu a = 0, bờ là đường thẳng ngang y = c/b. Dùng nét liền cho ≤, ≥; nét đứt cho <, >.

2. Chọn điểm thử: lấy \(M(x_0;y_0)\) không nằm trên d. Có thể chọn O(0;0) khi c ≠ 0.

3. Thay tọa độ: tính \(ax_0+by_0\) và kiểm tra bất phương trình.

4. Chọn nửa mặt phẳng: nếu điểm thử thỏa mãn, giữ phía chứa điểm thử; nếu không, giữ phía đối diện. Xét thêm việc lấy hay bỏ bờ. Trong bài này, gạch chéo phần bị loại và giữ phần không gạch là miền nghiệm.

Lưu ý quan trọng khi \(c = 0\)

• Khi \(c = 0\), đường thẳng \(d: ax + by = 0\) đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\). Lúc này, học sinh không được chọn \(O(0; 0)\) làm điểm kiểm tra ở Bước 2.

• Khi c = 0, có thể thử M(1;0) nếu a ≠ 0, hoặc M(0;1) nếu b ≠ 0. Phải kiểm tra điểm chọn không nằm trên bờ; không phải điểm nào khác O cũng dùng được.

Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 0\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: 2x - y = 0\).

  • Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\) và điểm \(A(1; 2)\).

  • Vì bất phương trình chứa dấu \(\ge\) nên vẽ đường thẳng \(d\) bằng nét liền.

• Bước 2: Do đường thẳng \(d\) đi qua \(O(0; 0)\), chọn điểm thử \(M(1; 0)\) nằm ngoài đường thẳng \(d\)

• Bước 3: Thay tọa độ \(x = 1, y = 0\) vào vế trái bất phương trình: \(2 \cdot 1 - 0 = 2 \ge 0\)

• Bước 4: Do cặp số \((1; 0)\) thỏa mãn bất phương trình nên nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(M(1; 0)\) là miền nghiệm.

• Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) (kể cả đường thẳng \(d\)) chứa điểm \(M(1; 0)\) (phần mặt phẳng không bị gạch chéo).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa hệ bất phương trình và nghiệm chung của hệ

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) ghép lại với nhau.

• Cặp số \((x_0; y_0)\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình có trong hệ đó. Nếu cặp số \((x_0; y_0)\) vi phạm dù chỉ một bất phương trình trong hệ thì nó không phải là nghiệm của hệ.

Cách xác định miền nghiệm của hệ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \((x_0; y_0)\) có tọa độ là nghiệm của hệ.

Về mặt hình học, miền nghiệm của hệ chính là phần giao (phần chung) của tất cả các miền nghiệm thành phần của từng bất phương trình trong hệ.

Quy trình thực hiện từng bước

Để biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), thực hiện theo các bước sau:

1. Vẽ các đường thẳng bờ trên cùng hệ trục Oxy, chọn nét liền hoặc nét đứt theo dấu.

2. Xác định miền nghiệm từng bất phương trình bằng điểm thử ngoài bờ; gạch bỏ phần không thỏa mãn.

3. Lấy phần giao còn lại. Một điểm trên biên chỉ thuộc miền nghiệm khi thỏa mãn tất cả bất phương trình của hệ. Miền nghiệm có thể bị chặn, không bị chặn, rỗng hoặc chỉ còn một đường thẳng hay một điểm.

Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1 – Hai bất phương trình: Biểu diễn miền nghiệm của hệ \[\begin{cases}2x-y>2\\3x+y\le9.\end{cases}\].

Hướng dẫn giải:

• Bờ \(\Delta:2x-y=2\) qua (1;0), (0;−2), vẽ nét đứt. O không thỏa mãn \(2x-y>2\) vì 0 > 2 sai. Giữ nửa mặt phẳng không chứa O.

• Bờ \(d:3x+y=9\) qua (3;0), (0;9), vẽ nét liền. O thỏa mãn \(3x+y\le9\) vì 0 ≤ 9. Giữ nửa mặt phẳng chứa O.

• Miền nghiệm gồm các điểm đồng thời thỏa mãn \(y<2x-2\) và \(y\le9-3x\). Chỉ lấy phần bờ d thỏa mãn bất phương trình còn lại; không lấy bờ Δ.

Ví dụ 2 – Miền đa giác: Xác định miền nghiệm của hệ \[\begin{cases}3x+y\le6\\x+y\le4\\x\ge0\\y\ge0.\end{cases}\].

Hướng dẫn giải:

• Đường thẳng \(d_1: 3x + y = 6\) và điểm \(O(0; 0)\) thỏa mãn \(3 \cdot 0 + 0 \le 6\) nên giữ lại nửa mặt phẳng chứa \(O\), gạch bỏ phần còn lại.

• Đường thẳng \(d_2: x + y = 4\) và điểm \(O(0; 0)\) thỏa mãn \(0 + 0 \le 4\) nên giữ lại nửa mặt phẳng chứa \(O\), gạch bỏ phần còn lại.

• \(x \ge 0\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên phải trục tung \(Oy\) (kể cả trục \(Oy\)).

• \(y \ge 0\): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành \(Ox\) (kể cả trục \(Ox\)).

• Kết luận: Phần giao không bị gạch chéo là miền tứ giác \(OABC\) (kể cả các cạnh của tứ giác).

Các đỉnh theo thứ tự là \(O(0;0),\ A(2;0),\ B(1;3),\ C(0;4)\). Trong đó B là giao của 3x + y = 6 và x + y = 4. Tất cả các cạnh đều được lấy vì hệ chỉ có dấu ≤, ≥.

Khi nào hệ bất phương trình vô nghiệm?

Hệ vô nghiệm khi các miền nghiệm thành phần không có điểm chung. Chẳng hạn, \[\begin{cases}y\ge x+1\\y\le x-1\end{cases}\]

không có nghiệm vì không thể đồng thời có y ≥ x + 1 và y ≤ x − 1.

Không nên mặc định miền nghiệm của hệ luôn có diện tích: hệ \[\begin{cases}y\ge2x+1\\y\le2x+1\end{cases}\] có miền nghiệm chính là đường thẳng y = 2x + 1.

Cách xác định bất phương trình khi biết miền nghiệm cho trước

Ở dạng đọc hình, đề cho miền nghiệm là phần tô màu hoặc phần không gạch và yêu cầu xác định bất phương trình tương ứng. Cần dựa vào tọa độ điểm trên bờ, vị trí miền nghiệm và quy ước lấy bờ.

Phương pháp 3 bước xác định

1. Tìm đường thẳng bờ: đọc hai điểm phân biệt trên bờ để lập phương trình Ax + By = C. Nếu bờ không thẳng đứng, có thể dùng y = ax + b; nếu bờ thẳng đứng thì dùng x = k.

2. Chọn chiều bất đẳng thức: lấy một điểm nằm trong miền nghiệm và ngoài bờ, thay tọa độ để chọn dấu < hoặc > tương ứng.

3. Xét bờ: dùng ≤, ≥ nếu lấy bờ; dùng <, > nếu bỏ bờ. Nét liền, nét đứt phải được đọc cùng chú thích của đề.

Ví dụ minh họa có đáp án

Ví dụ 1 (Đường thẳng không qua gốc tọa độ, nét liền): Nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả bờ \(d\)) có đường thẳng giới hạn đi qua hai điểm \(A(-6; 0)\) và \(B(0; 4)\). Điểm \(O(0; 0)\) nằm trong phần bị gạch chéo (không thuộc miền nghiệm). Tìm bất phương trình tương ứng.

Lời giải:

• Gọi phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = ax + b\). Vì \(d\) đi qua \(A(-6; 0)\) và \(B(0; 4)\) nên có hệ: \[\begin{cases}0=-6a+b\\ 4=0\cdot a+b\end{cases}\iff\begin{cases}b=4\\ a=\dfrac{2}{3}\end{cases}\]

• Suy ra phương trình \(d\) là: \(y=\dfrac{2}{3}x+4\iff2x-3y=-12\).

• Lấy điểm \(O(0; 0)\) không thuộc \(d\), tính: \(2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0 > -12\). Vì điểm \(O(0; 0)\) thuộc phần bị gạch (không thuộc miền nghiệm) nên miền nghiệm phải thỏa mãn chiều ngược lại: \(2x - 3y \le -12\).

• Vì đường thẳng \(d\) vẽ nét liền (kể cả bờ \(d\)) nên bất phương trình cần tìm là: \(2x - 3y \le -12\)

Ví dụ 2 – Bờ qua O: Miền nghiệm là nửa mặt phẳng lấy bờ d. Đường thẳng d đi qua O(0;0), K(1;2); điểm P(0;2) thuộc miền nghiệm. Tìm bất phương trình tương ứng.

Lời giải:

• Đường thẳng \(d\) có dạng \(y = ax + b\) (\(a \ne 0\)).

  • \(d\) đi qua \(O(0; 0) \implies b = 0\).

  • \(d\) đi qua \(K(1; 2) \implies 2 = a \cdot 1 + 0 \implies a = 2\). Phương trình đường thẳng là \[y=2x\iff2x-y=0\]

• Điểm \(P(0; 2)\) thuộc miền nghiệm, thay tọa độ của \(P\) vào vế trái: \(2 \cdot 0 - 2 = -2 < 0\)

• Do bờ \(d\) là nét liền (có kể bờ) nên bất phương trình tương ứng là: \(2x - y \le 0\)

Ví dụ 3 (Đường thẳng nét đứt - không kể bờ): Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể bờ \(d\)) có đường thẳng giới hạn đi qua điểm \((1; 0)\) và \((0; 3)\). Gốc tọa độ \(O(0; 0)\) thuộc phần bị gạch chéo. Tìm bất phương trình tương ứng.

Lời giải:

• Đường thẳng \(d: y = ax + b\) đi qua \((1; 0)\) và \((0; 3)\) nên: \[\begin{cases}a+b=0\\ b=3\end{cases}\iff\begin{cases}a=-3\\ b=3\end{cases}\implies y=-3x+3\iff3x+y=3\]

• Thay \(O(0; 0)\) vào: \(3 \cdot 0 + 0 = 0 < 3\). Vì điểm \(O(0; 0)\) không thuộc miền nghiệm nên các điểm thuộc miền nghiệm phải thỏa mãn: \(3x + y > 3\).

• Do bờ \(d\) vẽ nét đứt (không kể bờ) nên học sinh dùng dấu \(>\). Bất phương trình cần tìm là: \(3x + y > 3\)

Bài tập vận dụng về miền nghiệm lớp 10

Nhóm 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y < -2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: x - 2y = -2\) (hoặc \(x - 2y + 2 = 0\)).

  • Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(-2; 0)\) và \(B(0; 1)\).

  • Vì bất phương trình mang dấu \(<\) nên vẽ \(d\) bằng nét đứt (không kể bờ \(d\)).

• Bước 2: Chọn điểm kiểm tra là gốc tọa độ \(O(0; 0) \notin d\).

• Bước 3: Thay tọa độ \((0; 0)\) vào vế trái bất phương trình: \(0 - 2 \cdot 0 = 0\). So sánh với \(-2\), học sinh thấy \(0 > -2\) (khẳng định sai so với bất phương trình ban đầu). Do đó, gốc tọa độ \(O(0; 0)\) không thuộc miền nghiệm.

• Bước 4 (Kết luận): Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) (không kể đường thẳng \(d\)) không chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\).

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge -5\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta: 3x + 2y = -5\) bằng nét liền (vì bất phương trình chứa dấu \(\ge\)).

  • Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(M(-1; -1)\) và \(N(1; -4)\).

• Bước 2: Lấy gốc tọa độ \(O(0; 0) \notin \Delta\).

• Bước 3: Thay tọa độ \((0; 0)\) vào vế trái: \(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge -5\) (khẳng định đúng).

• Bước 4 (Kết luận): Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(\Delta\) (kể cả bờ \(\Delta\)) chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\).

Bài 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x + 4y + 2 \le 0\).

Lời giải:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d: x + 4y + 2 = 0\) bằng nét liền. Đường thẳng đi qua hai điểm \((-2; 0)\) và \(\left(0; -\frac{1}{2}\right)\).

• Bước 2: Chọn điểm thử \(O(0; 0) \notin d\).

• Bước 3: Thay \((0; 0)\) vào vế trái: \(0 + 4 \cdot 0 + 2 = 2 > 0\) (khẳng định sai với điều kiện \(\le 0\)).

• Bước 4 (Kết luận): Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ \(d\) (kể cả đường thẳng \(d\)) không chứa điểm \(O(0; 0)\).

Nhóm 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[\begin{cases} 2x - y - 3 \le 0 \\ 2x - y + 2 \le 0 \end{cases} \quad\]

Hướng dẫn giải:

• \(2x-y-3\le0\iff y\ge2x-3\). Bờ y = 2x − 3 qua (0;−3), (3/2;0), lấy bờ.

• \(2x-y+2\le0\iff y\ge2x+2\). Bờ y = 2x + 2 qua (0;2), (−1;0), lấy bờ.

• Vì 2x + 2 > 2x − 3 với mọi x, điều kiện thứ hai chặt hơn. Miền nghiệm của hệ là nửa mặt phẳng \(y\ge2x+2\), kể cả bờ; không phải dải giữa hai đường thẳng.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ \[\begin{cases}y\ge2x+1\\y\le2x+4.\end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

• Vẽ bờ d₁: y = 2x + 1 và d₂: y = 2x + 4 bằng nét liền. Hai đường thẳng song song.

• Miền nghiệm thứ nhất ở phía trên d₁; miền nghiệm thứ hai ở phía dưới d₂.

• Miền nghiệm chung là dải giữa hai đường thẳng, lấy cả hai bờ: \(2x+1\le y\le2x+4\).

Nhóm 3: Xác định bất phương trình từ hình vẽ & Bài toán tối ưu \(F = ax + by\)

Bài 1 – Đọc miền nghiệm có bờ thẳng đứng: Miền nghiệm lấy bờ d đi qua A(3;0), B(3;2) và chứa O(0;0). Tìm bất phương trình tương ứng.

Lời giải:

• Hai điểm có cùng hoành độ 3 nên d: x = 3.

• O thuộc miền nghiệm và có hoành độ 0 < 3 nên chọn phía x < 3.

• Lấy cả bờ nên bất phương trình là \(x\le3\). Không dùng dạng y = ax + b cho đường thẳng đứng.

Bài 2 – Tối ưu trên miền đa giác: Cho hệ \[\begin{cases}x-y\le0\\x+2y\le12\\x\ge0.\end{cases}\]

Tìm giá trị lớn nhất của \(F(x;y)=3x-y\) trên miền nghiệm của hệ.

Lời giải:

• Hệ tương đương \(x\ge0,\quad x\le y\le6-\frac{x}{2}\). Miền nghiệm là tam giác OAB lấy cả biên, với O(0;0), A(4;4), B(0;6).

• A là giao của y = x và x + 2y = 12; B là giao của x = 0 và x + 2y = 12.

• Vì F là biểu thức bậc nhất trên miền đa giác bị chặn, lấy cả biên, so sánh giá trị tại các đỉnh: F(O) = 0; F(A) = 3 × 4 − 4 = 8; F(B) = −6.

• Kết luận: Giá trị lớn nhất là 8, đạt tại (4;4). Cũng có thể kiểm tra: y ≥ x nên F ≤ 2x; kết hợp x + 2y ≤ 12 suy ra x ≤ 4, do đó F ≤ 8.

Phần bài tập tự luyện

1. Biểu diễn miền nghiệm của \(2x-3y+6>0\).

2. Biểu diễn miền nghiệm của \[\begin{cases}x+y-2\ge0\\x-3y+3\le0.\end{cases}\]

3. Miền nghiệm không lấy bờ d: y = −1 và không chứa O(0;0). Viết bất phương trình tương ứng.

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)=y-x\) trên miền nghiệm \[\begin{cases}2x-y\ge2\\x-2y\le2\\x+y\le5\\x\ge0.\end{cases}\]

Đáp án và hướng dẫn tự luyện

1. Bờ 2x − 3y + 6 = 0 qua (−3;0), (0;2), nét đứt. O thỏa mãn nên lấy phía chứa O, bỏ bờ; tương đương \(y<\frac23x+2\).

2. Miền nghiệm là phần giao \(y\ge2-x\) và \(y\ge\frac{x+3}{3}\), lấy bờ tương ứng. Hai bờ cắt nhau tại \(\left(\frac34;\frac54\right)\).

3. Miền nằm dưới đường thẳng y = −1 và không lấy bờ, nên \(y<-1\).

4. Miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh \[A\left(\frac23;-\frac23\right),\ B\left(\frac73;\frac83\right),\ C(4;1)\]

Giá trị F lần lượt là −4/3, 1/3, −3; do đó giá trị nhỏ nhất bằng −3 tại C(4;1).

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng, lấy hoặc không lấy đường thẳng bờ tùy dấu bất phương trình. Khi biểu diễn miền nghiệm, học sinh cần vẽ đúng bờ, chọn điểm thử ngoài bờ và xác định phía thỏa mãn. Với hệ bất phương trình, miền nghiệm là phần giao các miền nghiệm thành phần.

Nắm vững cách xác định miền nghiệm giúp học sinh đọc hình, suy ra bất phương trình và giải bài toán tối ưu trong chương trình Toán 10 Kết nối tri thức.