Phương trình tổng quát của mặt phẳng lớp 12 | Công thức và cách lập

Trong chương trình Toán 12, phương trình tổng quát của mặt phẳng là nội dung trọng tâm của phương pháp tọa độ trong không gian \(Oxyz\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng \(Ax+By+Cz+D=0\), với \(A,B,C\) không đồng thời bằng \(0\); trong đó \(\vec n=(A;B;C)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Việc nắm vững công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng giúp học sinh xác định vectơ pháp tuyến và lựa chọn cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng phù hợp với từng dữ kiện. Bài viết trình bày cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua một điểm, qua ba điểm không thẳng hàng \(A,B,C\) hoặc \(M,N,P\), mặt phẳng trung trực, mặt phẳng chứa trục \(Ox\) và các trường hợp đặc biệt thường gặp trong không gian \(Oxyz\).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì?

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng\[Ax+By+Cz+D=0\]

với \(A,B,C\) không đồng thời bằng \(0\). Dạng phương trình này biểu diễn mặt phẳng thông qua các hệ số và tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng. [1]

Trong đó:

• \(x,y,z\): tọa độ của điểm \(M(x;y;z)\) thuộc mặt phẳng.

• \(A,B,C,D\): các hằng số thực; trong đó \(A,B,C\) không đồng thời bằng \(0\).

Ý nghĩa hình học của các hệ số và vectơ pháp tuyến

Từ phương trình tổng quát có thể xác định ngay một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Đây là dữ kiện quan trọng để lập phương trình và xét các quan hệ hình học trong không gian.

Mỗi phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) xác định duy nhất một mặt phẳng \((P)\) nhận vectơ \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm vectơ pháp tuyến. Khái niệm vectơ pháp tuyến được hiểu là một vectơ khác vectơ không (\(\vec{0}\)), có giá vuông góc với mặt phẳng.

Tính chất cần nhớ: Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Nếu \(\vec{n} = (A; B; C)\) là VTPT của \((P)\) thì các vectơ tỉ lệ với nó như \(k\vec{n} = (kA; kB; kC)\) (với \(k \neq 0\)) cũng là VTPT của mặt phẳng \((P)\).

Ví dụ: Mặt phẳng \((P): 2x - 4y + 6z - 1 = 0\) có VTPT là \(\vec{n} = (2; -4; 6)\). Có thể rút gọn (chia cho 2) để chọn một VTPT khác gọn gàng hơn là \(\vec{n'} = (1; -2; 3)\) để thuận tiện cho việc tính toán.

Câu hỏi nâng cao dành cho học sinh khá : Tại sao trong phương trình mặt phẳng chỉ dùng vectơ pháp tuyến mà không dùng vectơ chỉ phương?

Điều kiện để một điểm thuộc mặt phẳng

Làm thế nào để biết một điểm cụ thể có nằm trên mặt phẳng hay không? Sử dụng phép thử thay tọa độ.

Để kiểm tra xem một điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) có nằm trên mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) hay không, thay tọa độ của điểm \(M_0\) vào các ẩn \(x, y, z\) trong phương trình:

• Nếu \(A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 0\) (thỏa mãn phương trình): Điểm \(M_0\) thuộc mặt phẳng \((P)\), ký hiệu \(M_0 \in (P)\).

• Nếu \(A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \neq 0\) (không thỏa mãn): Điểm \(M_0\) không thuộc mặt phẳng \((P)\), ký hiệu \(M_0 \notin (P)\).

Ví dụ: Cho mặt phẳng \((P): x - 2y + 3z - 5 = 0\). Xét hai điểm \(A(2; 0; 1)\) và \(B(1; 1; 1)\).

• Thay tọa độ \(A(2; 0; 1)\) vào vế trái \((P)\): \[2 - 2(0) + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0\]

Vậy \(A \in (P)\).

• Thay tọa độ \(B(1; 1; 1)\) vào vế trái \((P)\): \[1 - 2(1) + 3(1) - 5 = 1 - 2 + 3 - 5 = -3 \neq 0\]

Vậy \(B \notin (P)\).

Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng

Từ dạng Ax + By + Cz + D = 0, có thể nhận diện một số trường hợp đặc biệt khi một hoặc nhiều hệ số bằng 0.

Việc xét các hệ số bằng 0 giúp xác định mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, song song hoặc chứa một trục tọa độ, hoặc song song/trùng với một mặt phẳng tọa độ.

Trường hợp khuyết hệ số tự do (D = 0)

• Phương trình: \(Ax+By+Cz=0\)

• Giải thích: Nếu thay tọa độ gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) vào phương trình, thu được \(A(0) + B(0) + C(0) = 0\), luôn luôn đúng.

• Kết luận hình học: Mọi phương trình mặt phẳng bị khuyết hệ số tự do \(D\) đều đi qua gốc tọa độ O.

  

Trường hợp khuyết một biến (A = 0, B = 0 hoặc C = 0)

Đây là trường hợp phương trình chỉ còn 2 ẩn. Theo quy luật "Khuyết ẩn nào, song song hoặc chứa trục đó":

• Khuyết ẩn z (\(C = 0\)): Phương trình có dạng \(Ax + By + D = 0\). Mặt phẳng này sẽ song song với trục Oz (nếu \(D \neq 0\)) hoặc chứa trục Oz (nếu \(D = 0\)).

  • Ví dụ minh họa: Mặt phẳng \(x + y - 2 = 0\). Phương trình này hoàn toàn không có sự xuất hiện của ẩn \(z\). Do đó, mặt phẳng này song song với trục \(Oz\). Về mặt toán học, VTPT của mặt phẳng là \(\vec{n} = (1; 1; 0)\). Có thể thấy \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của trục \(Oz\) là \(\vec{k} = (0; 0; 1)\) (vì \(\vec{n} \cdot \vec{k} = 1\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0\)). Do pháp tuyến vuông góc với trục \(Oz\), nên mặt phẳng phải song song hoặc chứa \(Oz\). Vì gốc \(O(0;0;0)\) không thuộc mặt phẳng (do \(D=-2\neq0\)), nên nó song song với \(Oz\).

    

• Khuyết ẩn x (\(A = 0\)): Phương trình có dạng \(By + Cz + D = 0\). Mặt phẳng này song song với trục Ox (nếu \(D \neq 0\)) hoặc chứa trục Ox (nếu \(D = 0\)).

  • Ví dụ:\(y - 3z + 5 = 0\) song song với trục \(Ox\).

    

• Khuyết ẩn y (\(B = 0\)): Phương trình có dạng \(Ax + Cz + D = 0\). Mặt phẳng này song song với trục Oy (nếu \(D \neq 0\)) hoặc chứa trục Oy (nếu \(D = 0\)).

  • Ví dụ: \(2x+z-5=0\) song song với trục \(Oy\).

    

Trường hợp khuyết hai biến (A = B = 0, A = C = 0 hoặc B = C = 0)

Đây là trường hợp phương trình chỉ còn đúng 1 ẩn. Áp dụng quy luật "Khuyết hai ẩn nào, mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng tọa độ chứa hai trục đó".

• Khuyết x và y (\(A = B = 0\)): Phương trình có dạng \(Cz + D = 0 \Leftrightarrow z = -\frac{D}{C}\). Mặt phẳng này bị khuyết cả \(x\) và \(y\), do đó nó sẽ song song với mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\) (nếu \(D \neq 0\)) hoặc trùng với mặt phẳng \((Oxy)\) (nếu \(D = 0\)).

  • Ví dụ minh họa được nhấn mạnh: Phương trình \(3z + 2 = 0\). Rõ ràng phương trình này không có \(x\) và không có \(y\). Theo nguyên tắc, nó sẽ song song với mặt phẳng \((Oxy)\). Về mặt đại số, VTPT là \(\vec{n} = (0; 0; 3)\), vectơ này cùng phương với trục \(Oz\), nghĩa là mặt phẳng vuông góc với trục \(Oz\). Một mặt phẳng vuông góc với trục \(Oz\) thì chắc chắn phải song song với mặt phẳng đáy \((Oxy)\).

    

• Khuyết y và z (\(B = C = 0\)): Phương trình có dạng \(Ax + D = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{D}{A}\). Mặt phẳng này bị khuyết \(y\) và \(z\), nên nó song song hoặc trùng với mặt phẳng tọa độ \((Oyz)\).

• Khuyết x và z (\(A = C = 0\)): Phương trình có dạng \(By + D = 0 \Leftrightarrow y = -\frac{D}{B}\). Mặt phẳng này bị khuyết \(x\) và \(z\), nên nó song song hoặc trùng với mặt phẳng tọa độ \((Oxz)\).

Phương trình của ba mặt phẳng tọa độ

Từ phân tích ở phần 2.3, suy ra phương trình cần ghi nhớ của ba mặt phẳng tọa độ gốc:

• Mặt phẳng \((Oxy)\) (chứa trục Ox và Oy, vuông góc trục Oz): Khuyết x, y, đi qua gốc tọa độ (D=0) \(\Rightarrow\) Phương trình là \(z = 0\).

• Mặt phẳng \((Oxz)\) (chứa trục Ox và Oz, vuông góc trục Oy): Khuyết x, z, đi qua gốc tọa độ \(\Rightarrow\) Phương trình là \(y = 0\).

• Mặt phẳng \((Oyz)\) (chứa trục Oy và Oz, vuông góc trục Ox): Khuyết y, z, đi qua gốc tọa độ \(\Rightarrow\) Phương trình là \(x = 0\).

  

Bảng tổng hợp tra cứu nhanh các trường hợp đặc biệt

Bảng dưới đây tổng hợp các dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt và ý nghĩa hình học tương ứng.

Cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Nguyên tắc chung: Để lập phương trình tổng quát của một mặt phẳng, cần xác định một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Khi đã có điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và VTPT \(\vec{n} = (A; B; C)\), phương trình mặt phẳng được viết theo công thức:

\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]

Sau đó nhân phân phối và thu gọn để đưa về dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).

Tùy dữ kiện đề bài, vectơ pháp tuyến có thể được cho trực tiếp hoặc xác định từ cặp vectơ chỉ phương, ba điểm, mặt phẳng trung trực, dạng đoạn chắn hoặc quan hệ song song. Dưới đây là 6 tình huống thường gặp.

Tình huống 1: Biết một điểm và vectơ pháp tuyến

Đây là bài toán ở mức độ nhận biết. Đề bài cung cấp sẵn điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và VTPT \(\vec{n} = (A; B; C)\).

• Cách làm: Chỉ cần áp thẳng công thức \[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]

  , sau đó rút gọn.

• Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A(2; -1; 4)\) và có VTPT \(\vec{n} = (3; 1; -2)\).

  • Lời giải: Phương trình là \[3(x - 2) + 1(y - (-1)) - 2(z - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x - 6 + y + 1 - 2z + 8 = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2z + 3 = 0\]

Tình huống 2: Biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và song song hoặc chứa giá của hai vectơ không cùng phương \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\). Hai vectơ \(\vec{u}, \vec{v}\) này được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

• Quy trình giải: Vì VTPT \(\vec{n}\) phải vuông góc với mọi vectơ nằm trên hoặc song song với mặt phẳng, nên \(\vec{n}\) sẽ vuông góc với cả \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) . Theo định nghĩa toán học, VTPT chính là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương.

  \(\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]\) (hay còn ký hiệu là \(\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}\))

• Nhắc lại công thức tính tích có hướng: Nếu \(\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)\) và \(\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)\), có thể tính tích có hướng theo quy tắc định thức cấp 2 (che cột để tính):

  \[[\vec{u}, \vec{v}] = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right) = (u_2v_3 - u_3v_2; u_3v_1 - u_1v_3; u_1v_2 - u_2v_1)\]

• Sau khi tìm được \(\vec{n}\), bài toán quay về Tình huống 1.

Tình huống 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A, B, C\).

• Quy trình giải: Mặt phẳng \((P)\) chứa ba điểm \(A,B,C\) nên nó chứa luôn hai đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\). Do đó, hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) chính là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).

• Bước 1: Tính tọa độ hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). (Lấy tọa độ sau trừ tọa độ trước).

• Bước 2: Tính tích có hướng để tìm VTPT: \(\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]\).

• Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\) (hoặc \(B, C\) đều được) và nhận \(\vec{n}\) làm VTPT.

Tình huống 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Tình huống này xảy ra khi đề bài cho mặt phẳng \((P)\) cắt ba trục tọa độ \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt tại ba điểm nằm trên trục có tọa độ: \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\) và \(C(0; 0; c)\) với điều kiện \(a, b, c \neq 0\).

• Cách thực hiện: Có thể sử dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

  \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

• Với \(a,b,c\) đều khác \(0\), phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là \[\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

Có thể quy đồng để đưa phương trình về dạng tổng quát.

Tình huống 5: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Cho trước tọa độ hai điểm \(A\) và \(B\). Lập phương trình mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn \(AB\).

Định nghĩa: Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.

• Bước 1 (Tìm điểm đi qua): Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tọa độ của \(I\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ \(A\) và \(B\): \[I\left(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}; \frac{z_A+z_B}{2}\right)\]

Mặt phẳng \((P)\) sẽ đi qua điểm \(I\).

• Bước 2 (Tìm VTPT): Vì mặt phẳng \((P)\) vuông góc với đường thẳng \(AB\), nên vectơ \(\vec{AB}\) (hoặc \(\vec{BA}\)) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. \(\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\).

• Bước 3: Lắp ráp điểm \(I\) và VTPT \(\vec{n}\) vào công thức tổng quát.

Tình huống 6: Lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước

Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((Q): Ax + By + Cz + D = 0\).

• Lý thuyết: Hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia. Do đó \((P)\) sẽ có cùng bộ hệ số \(A, B, C\) với \((Q)\).

• Cách làm: Phương trình mặt phẳng \((P)\) sẽ có dạng:\(Ax + By + Cz + D' = 0\) (với điều kiện bắt buộc \(D' \neq D\)).

• Thay tọa độ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) vào phương trình trên để tìm ra ẩn \(D'\): \[Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D' = 0 \Rightarrow D' = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\]

Lưu ý: Sau khi tìm được \(D'\), phải đối chiếu với điều kiện \(D' \neq D\). Nếu \(D' = D\) thì kết luận \((P)\) trùng với \((Q)\).

Các dạng bài tập lập phương trình tổng quát của mặt phẳng có lời giải

Để chuyển hóa lý thuyết thành kỹ năng phản xạ, hãy cùng thực hành các bài tập từ cơ bản đến nâng cao dưới đây.

Dạng 1: Biết một điểm và vectơ pháp tuyến

Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((P)\) đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (5; -3; 2)\).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức lập phương trình: \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\Leftrightarrow5(x-0)-3(y-0)+2(z-0)=0\Leftrightarrow5x-3y+2z=0\]

(Nhận xét: Trùng khớp với lý thuyết ở phần 2.1, mặt phẳng qua gốc tọa độ sẽ bị khuyết hệ số tự do D).

Dạng 2: Mặt phẳng đi qua ba điểm

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) biết tọa độ ba điểm \(A(1; -2; 4), B(3; 2; -1)\) và \(C(0; 2; 1)\).

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Tính 2 vectơ chỉ phương \[\vec{AB} = (3 - 1; 2 - (-2); -1 - 4) = (2; 4; -5)\]\[\vec{AC} = (0 - 1; 2 - (-2); 1 - 4) = (-1; 4; -3)\]

• Bước 2: Tìm VTPT bằng tích có hướng \[\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = \left( \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} \right)\]

  Hoành độ: \(4\cdot(-3) - (-5)\cdot4 = -12 + 20 = 8\)

  Tung độ: \((-5)\cdot(-1) - 2\cdot(-3) = 5 + 6 = 11\)

  Cao độ: \(2\cdot4 - 4\cdot(-1) = 8 + 4 = 12\)

  Vậy VTPT \(\vec{n} = (8; 11; 12)\).

• Bước 3: Lập phương trình

  Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(1; -2; 4)\) và có VTPT \(\vec{n} = (8; 11; 12)\) có phương trình là:

  \[8(x - 1) + 11(y + 2) + 12(z - 4) = 0\]\[\Leftrightarrow 8x - 8 + 11y + 22 + 12z - 48 = 0\]\[\Leftrightarrow 8x + 11y + 12z - 34 = 0.\]

Dạng 3: Mặt phẳng trung trực và phương trình đoạn chắn

Bài 3: Cho hai điểm \(M(2; 4; 1)\) và \(N(-2; 2; -3)\). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) .

Hướng dẫn giải:

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\). Tọa độ điểm \(I\) là:

  \[x_I = \frac{2 + (-2)}{2} = 0\]\[y_I = \frac{4 + 2}{2} = 3\]\[z_I = \frac{1 + (-3)}{2} = -1\] Vậy \(I(0; 3; -1)\).

• Mặt phẳng trung trực \((P)\) vuông góc với \(MN\) nên nhận vectơ \(\vec{MN}\) làm VTPT. \[\vec{MN} = (-2 - 2; 2 - 4; -3 - 1) = (-4; -2; -4)\]Có thể rút gọn vectơ để các hệ số của phương trình gọn hơn: Để phương trình có hệ số nhỏ và đẹp, rút gọn vectơ bằng cách chia tất cả tọa độ cho \(-2\). Chọn VTPT \(\vec{n} = (2; 1; 2)\).

• Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(I(0; 3; -1)\) có VTPT \[2(x-0)+1(y-3)+2(z+1)=0\Leftrightarrow2x+y-3+2z+2=0\Leftrightarrow2x+y+2z-1=0\]

Bài 4: Mặt phẳng \((P)\) cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A(3;0;0)\), \(B(0;-4;0)\) và \(C(0;0;6)\). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \[\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{6}=1.\]

Quy đồng với mẫu số chung 12: \(4x-3y+2z=12.\) Vậy phương trình tổng quát là \(4x-3y+2z-12=0.\)

Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng chứa một trục tọa độ

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(K(1; 2; -1)\) và chứa trục \(Oy\).

Hướng dẫn giải:

• Mặt phẳng \((Q)\) chứa trục \(Oy\) nên chắc chắn nó phải đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) nằm trên trục \(Oy\).

• Mặt phẳng \((Q)\) có cặp vectơ chỉ phương gồm:

  Thứ nhất: Vectơ đơn vị của trục \(Oy\) là \(\vec{j} = (0; 1; 0)\).

  Thứ hai: Vectơ \(\vec{OK} = (1; 2; -1)\).

• Tính VTPT\[\vec{n} = [\vec{j}, \vec{OK}] = \left( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) = (-1; 0; -1)\]

  Rút gọn chọn \(\vec{n'} = (1; 0; 1)\).

• Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua gốc \(O(0;0;0)\) nhận \(\vec{n'} = (1; 0; 1)\) làm VTPT:

  Đối chiếu với trường hợp đặc biệt: phương trình \(x+z=0\) khuyết \(y\) và có \(D=0\), nên mặt phẳng chứa trục \(Oy\).

Ứng dụng của phương trình tổng quát của mặt phẳng

Sau khi đã lập được phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), có thể sử dụng các hệ số này để giải quyết các bài toán đo lường không gian như khoảng cách, góc và vị trí tương đối.

Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \((P_1):A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\) và \((P_2):A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\).

So sánh hai vectơ pháp tuyến \(\vec n_1=(A_1;B_1;C_1)\) và \(\vec n_2=(A_2;B_2;C_2)\):

• Nếu hai vectơ pháp tuyến không cùng phương thì hai mặt phẳng cắt nhau.

• Nếu tồn tại \(k\ne0\) sao cho \((A_1,B_1,C_1)=k(A_2,B_2,C_2)\) và \(D_1\ne kD_2\), hai mặt phẳng song song và phân biệt.

• Nếu đồng thời \(D_1=kD_2\), hai mặt phẳng trùng nhau.

• Hai mặt phẳng vuông góc khi \(A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\).

Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm \(M(x_0;y_0;z_0)\) đến mặt phẳng \((P):Ax+By+Cz+D=0\) được tính bởi: \[d(M,(P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\]

\[d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Trong công thức, tử số là trị tuyệt đối của giá trị thu được khi thay tọa độ điểm vào vế trái phương trình; mẫu số là độ dài của vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \((P): x + 2y - 2z + 6 = 0\) là:

\[d(O, (P)) = \frac{|1(0) + 2(0) - 2(0) + 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{6}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\]

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng \((P_1)\) và \((P_2)\) được ký hiệu là \(\alpha\) (với \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)). Góc này chính bằng góc nhọn giữa hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

Công thức:

\[\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]

Sau khi tính được cos α, sử dụng hàm arccos trên máy tính để xác định số đo góc α.

Ví dụ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng sau:

\((P):x+y-5=0\)\[(Q): y + z + 2 = 0\]Lời giải chi tiết

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của từng mặt phẳng

Dựa vào phương trình tổng quát \(Ax + By + Cz + D = 0\), xác định được:

• Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n_1} = (1; 1; 0)\)

• Mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n_2} = (0; 1; 1)\)

Bước 2: Áp dụng công thức tính góc

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

\(\cos \alpha = \frac{\vert{}\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\vert{}}{\vert{}\vec{n_1}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n_2}\vert{}}\) Thay các tọa độ tương ứng vào công thức:

\[\cos \alpha = \frac{\vert{}1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}}\]

Bước 3: Thực hiện tính toán

• Tính tử số (tích vô hướng): \(\vert{}0 + 1 + 0\vert{} = 1\)

• Tính mẫu số (tích độ dài): \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\)

Do đó, có:

\(\cos \alpha = \frac{1}{2}\)

Bước 4: Kết luận

Sử dụng hàm arccos trên máy tính, thu được:

α = 60°

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) là 60°.

Kiểm tra điểm thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng

Để giải quyết dạng này, học sinh chỉ cần bám sát một nguyên tắc duy nhất: Điểm nằm trên mặt phẳng khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình của mặt phẳng đó.

Ví dụ 6 (Kiểm tra tọa độ điểm): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \(2x - y + 3z - 4 = 0\) và ba điểm \(M(1; -2; 0)\), \(N(2; 1; 1)\),\(K(-1; 2; 2)\). Hãy kiểm tra xem điểm nào nằm trên mặt phẳng \((P)\) và điểm nào không nằm trên mặt phẳng \((P)\).

Phân tích hướng giải:

• Bước 1: Để kiểm tra, lấy tọa độ \((x; y; z)\) của từng điểm thay trực tiếp vào vế trái của phương trình mặt phẳng \((P)\).

• Bước 2: Tính toán giá trị của biểu thức vế trái.

  • Nếu kết quả bằng \(0\) (bằng với vế phải): Kết luận điểm đó thuộc mặt phẳng.

  • Nếu kết quả khác \(0\): Kết luận điểm đó không thuộc mặt phẳng.

Lời giải:

lần lượt thay tọa độ các điểm \(M, N, K\) vào phương trình của mặt phẳng \((P)\):

• Xét điểm\(M(1; -2; 0)\):

  Có \[2(1) - (-2) + 3(0) - 4 = 2 + 2 + 0 - 4 = 0\]

Vì tọa độ \(M\) thỏa mãn phương trình nên \(M \in (P)\).

• Xét điểm \(N(2; 1; 1)\):

  Có \[2(2) - 1 + 3(1) - 4 = 4 - 1 + 3 - 4 = 2 \neq 0\]

Vì tọa độ \(N\) không thỏa mãn phương trình nên \(N \notin (P)\).

• Xét điểm \(K(-1; 2; 2)\):

  Có \[2(-1) - 2 + 3(2) - 4 = -2 - 2 + 6 - 4 = -2 \neq 0\]

Vì tọa độ \(K\) không thỏa mãn phương trình nên \(K \notin (P)\).

Kết luận: Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\), còn các điểm \(N\) và \(K\) không thuộc mặt phẳng \((P)\).

Ví dụ 7 (Tìm tham số m để điểm thuộc mặt phẳng):

Trong không gian Oxyz, tìm giá trị thực của tham số \(m\) để điểm \(A(1; m; -2)\) nằm trên mặt phẳng \((Q)\) có phương trình \(x + 2y - z + 3 = 0\).

Phân tích hướng giải:

• Bước 1: Đề bài đã cho giả thiết điểm \(A\) "nằm trên" mặt phẳng \((Q)\). Theo lý thuyết, điều này tương đương với việc khi thay hoành độ \(x = 1\), tung độ \(y = m\) và cao độ \(z = -2\) vào phương trình \((Q)\), cần thu được một đẳng thức đúng (kết quả bằng \(0\)).

• Bước 2: Sau khi thay số, bài toán hình học không gian sẽ được chuyển về một phương trình đại số bậc nhất một ẩn là \(m\). Giải phương trình này sẽ tìm được đáp án yêu cầu.

Lời giải:
Vì điểm \(A(1; m; -2)\) nằm trên mặt phẳng \((Q)\), nên tọa độ của điểm \(A\) phải thỏa mãn phương trình của \((Q)\).

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình \((Q)\), có:\[(1)+2(m)-(-2)+3=0\Leftrightarrow1+2m+2+3=0\]\[\Leftrightarrow2m+6=0\Leftrightarrow2m=-6\Leftrightarrow m=-3\]Kết luận: Vậy với \(m = -3\) thì điểm \(A\) nằm trên mặt phẳng \((Q)\).

Những lỗi thường gặp khi lập phương trình mặt phẳng

• Nhầm hệ số của vectơ pháp tuyến với tọa độ điểm: công thức đúng là \[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.\]

• Sai dấu khi tọa độ điểm âm: nếu \(y_0=-2\) thì \(y-y_0=y+2\).

• Không nhận ra hai phương trình tương đương: nhân hoặc chia toàn bộ hai vế cho cùng một số khác 0 vẫn biểu diễn cùng một mặt phẳng.

• Viết sai phương trình đoạn chắn: với các đoạn chắn khác 0, dạng đúng làm\[\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

• Bỏ qua bước kiểm tra: sau khi lập phương trình, có thể thay tọa độ các điểm đã biết vào phương trình để kiểm tra kết quả.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian \(Oxyz\) có dạng \(Ax+By+Cz+D=0\)), với \(A,B,C\) không đồng thời bằng \(0\). Việc xác định đúng vectơ pháp tuyến, các hệ số và lựa chọn phương pháp lập phương trình phù hợp giúp học sinh xử lý chính xác các dạng bài về mặt phẳng, khoảng cách, góc và vị trí tương đối trong không gian.

Để hệ thống thêm kiến thức Hình học giải tích \(Oxyz\), học sinh có thể tiếp tục ôn tập các nội dung về đường thẳng trong không gian, mặt cầu và các dạng bài liên quan tại chuyên đề Toán 12 tại ZIM Academy.