Quan hệ giữa đường kính và dây cung | Định lý và bài tập Toán 9

Quan hệ giữa đường kính và dây cung là kiến thức Hình học lớp 9, tập trung vào mối quan hệ về độ dài và tính vuông góc giữa đường kính với dây cung trong đường tròn. Theo đó, đường kính là dây cung lớn nhất; đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Bài viết hệ thống các định lý về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung, hướng dẫn cách chứng minh, tính độ dài dây cung và vận dụng vào bài tập Toán 9 có lời giải chi tiết.

Quan hệ giữa đường kính và dây cung là gì?

Quan hệ giữa đường kính và dây cung thể hiện ở hai tính chất chính: đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn và quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây cung thông qua trung điểm của dây. Đây là những kiến thức được vận dụng trong bài toán so sánh độ dài, chứng minh vuông góc và tính độ dài dây cung Toán 9.

Trong đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\), dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Nếu dây cung đi qua tâm \(O\), dây đó được gọi là đường kính. Độ dài đường kính bằng hai lần bán kính:

\[d=2R\]

Trong đó, \(d\) là độ dài đường kính và \(R\) là bán kính. Khái niệm dây cung, đường kính và quan hệ độ dài được trình bày trong Bài 14, SGK Toán 9 – Kết nối tri thức với cuộc sống, tập một [1].

Chẳng hạn, nếu đoạn \(AB\) nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm \(O\), thì \(AB\) là đường kính. Nếu đoạn \(CD\) nối hai điểm trên đường tròn nhưng không đi qua tâm, thì \(CD\) là một dây cung không phải đường kính.

Nếu muốn ôn lại nền tảng tam giác vuông trước khi tính toán, học sinh có thể tham khảo bài tam giác vuông tại ZIM Academy, vì nhiều bài toán dây cung hình thành tam giác vuông bên trong đường tròn.

Quan hệ giữa đường kính và dây cung về độ dài

Định lý: Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. Nếu \(AB\) là đường kính và \(CD\) là dây không đi qua tâm, thì:

\[CD<AB=2R\]

Nếu dây đi qua tâm, độ dài dây bằng đường kính \(2R\); với mọi dây còn lại, độ dài dây nhỏ hơn \(2R\). Đây là mối quan hệ giữa đường kính và dây cung về độ dài theo SGK Toán 9 Kết nối tri thức [1].

Có thể hiểu qua khoảng cách từ tâm đến dây: khi hạ đường vuông góc từ tâm xuống một dây, chân đường vuông góc là trung điểm của dây ấy. Trong cùng một đường tròn, dây càng xa tâm thì càng ngắn; dây đi qua tâm có độ dài lớn nhất.

Ví dụ, trong đường tròn \((O)\), \(AB\) là đường kính và \(AC\) là dây không đi qua tâm. Khi đó, \(AB=2R\). Vì ba điểm \(A,O,C\) không thẳng hàng, áp dụng bất đẳng thức tam giác trong \(\triangle AOC\) được \(AC<OA+OC=2R\). Do đó \(AB>AC\).

Quan hệ giữa đường kính và dây cung qua hai định lý vuông góc

Hai định lý này giải thích mối quan hệ giữa đường kính và dây cung khi đường kính vuông góc với dây hoặc đi qua trung điểm dây.

Định lý xuôi: Trong một đường tròn, nếu đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Giả sử \(AB\) là đường kính, \(MN\) là dây và \(AB\perp MN\) tại \(H\). Khi đó:

\[HM=HN\]

Chứng minh: Nối \(OM\) và \(ON\). Có \(OM=ON\) vì đều là bán kính nên tam giác \(OMN\) cân tại \(O\). Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với đáy \(MN\) cũng là đường trung tuyến, suy ra \(H\) là trung điểm của \(MN\).

Định lý đảo: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Giả sử \(AB\) là đường kính, \(H\) là trung điểm của dây \(MN\) không đi qua tâm và \(H\) nằm trên \(AB\). Khi đó:

\[AB\perp MN\]

Chứng minh: Nối \(OM\) và \(ON\). Vì \(OM=ON\) nên tam giác \(OMN\) cân tại \(O\). Đường trung tuyến \(OH\) ứng với đáy \(MN\) đồng thời là đường cao. Vì \(O,H\) thuộc đường kính \(AB\), suy ra \(AB\perp MN\) tại \(H\).

Lưu ý: Định lý đảo cần điều kiện dây không đi qua tâm. Nếu dây cũng là đường kính, một đường kính khác đi qua trung điểm của dây chưa chắc vuông góc với dây đó.

Công thức tính độ dài dây cung

Từ tính chất đường kính vuông góc với dây và định lý Pythagore, có thể tính độ dài dây cung khi biết bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây. Xét đường tròn \((O)\) bán kính \(R\), dây \(CD\) cách tâm một khoảng \(h\). Hạ \(OH\perp CD\) tại \(H\), khi đó \(H\) là trung điểm của \(CD\).

Nửa dây cung có độ dài:

\[CH=\sqrt{R^2-h^2}\]

Vì \(CD=2CH\), công thức tính độ dài dây cung là:

\[CD=2\sqrt{R^2-h^2}\]

Trong đó \(R\) là bán kính và \(h=OH\) là khoảng cách từ tâm đến dây, với \(0\le h<R\) đối với dây có hai đầu mút phân biệt. Công thức này được suy ra từ tam giác vuông \(OHC\), liên hệ trực tiếp với kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho đường tròn \((O)\) bán kính \(R=13\) cm. Dây \(CD\) cách tâm \(O\) một khoảng \(h=5\) cm. Tính \(CD\).

Phân tích đề bài:

• Dạng bài: Tính độ dài dây cung khi biết bán kính và khoảng cách từ tâm đến dây.

• Dữ kiện: \(R=13\) cm, \(OH=h=5\) cm.

• Cần tìm: Độ dài dây \(CD\).

Lời giải:

Bước 1: Hạ \(OH\perp CD\). Theo định lý đường kính vuông góc với dây, \(H\) là trung điểm của \(CD\).

Bước 2: Tam giác \(OHC\) vuông tại \(H\), có \(OC=13\) cm và \(OH=5\) cm.

Bước 3: Áp dụng định lý Pythagore để tính nửa dây:

\[CH=\sqrt{13^2-5^2}=12\text{ cm}\]

Bước 4: Suy ra độ dài dây cung:

\[CD=2CH=24\text{ cm}\]

Kết luận: Dây cung \(CD\) dài \(24\) cm.

Bài tập vận dụng có hướng dẫn

Bài 1. Tính độ dài dây cung ở mức cơ bản

Cho đường tròn \((O)\) bán kính \(R=5\) cm. Dây \(CD\) vuông góc với đường kính \(AB\) tại \(H\), biết \(OH=3\) cm. Tính độ dài \(CD\).

Phân tích đề bài:

• Dạng bài: Tính độ dài dây cung bằng định lý đường kính vuông góc với dây, kết hợp định lý Pythagore.

• Dữ kiện đề cho: \(R=5\) cm; \(AB\) là đường kính; \(AB\perp CD\) tại \(H\); \(OH=3\) cm.

• Thông tin cần tìm: Độ dài dây \(CD\).

Lời giải:

Bước 1: Vì \(AB\) là đường kính và \(AB\perp CD\) tại \(H\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(CD\).

Bước 2: Xét tam giác vuông \(OHC\) có \(OC=R=5\) cm và \(OH=3\) cm. Áp dụng định lý Pythagore:

\[CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ cm}\]

Bước 3: Do \(H\) là trung điểm của \(CD\), suy ra:

\[CD=2CH=8\text{ cm}\]

Đáp án: \(CD=8\) cm.

Bài 2. Tính nửa dây khi biết vị trí điểm trên đường kính

Cho đường tròn \((O)\) có đường kính \(AB=10\) cm. Dây \(MN\) không đi qua tâm. Đường kính \(AB\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MN\); I nằm giữa O và B và \(BI=2\) cm. Tính \(MI\).

Phân tích đề bài:

• Dạng bài: Áp dụng định lý đảo của quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung, kết hợp định lý Pythagore.

• Dữ kiện đề cho: \(AB=10\) cm; dây \(MN\) không qua tâm; \(I\) là trung điểm của \(MN\) trên đoạn \(OB\); \(BI=2\) cm.

• Thông tin cần tìm: Độ dài \(MI\).

Lời giải:

Bước 1: Vì \(AB=10\) cm là đường kính nên \(R=OB=5\) cm.

Bước 2: Do \(I\) nằm giữa \(O\) và \(B\), suy ra:

\[OI=OB-BI=5-2=3\text{ cm}\]

Bước 3: Đường kính \(AB\) đi qua trung điểm \(I\) của dây \(MN\) không qua tâm, nên \(AB\perp MN\) tại \(I\). Suy ra tam giác \(OMI\) vuông tại \(I\).

Bước 4: Áp dụng định lý Pythagore:

\[MI=\sqrt{OM^2-OI^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ cm}\]

Đáp án: \(MI=4\) cm.

Bài tập tự luyện

1. Cho đường tròn \((O)\) bán kính \(10\) cm. Dây \(EF\) cách tâm \(O\) một khoảng \(6\) cm. Tính \(EF\).

2. Cho đường tròn \((O)\) có đường kính \(AB=12\) cm. Dây \(MN\) không đi qua tâm; đường kính \(AB\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MN\). Biết \(I\) nằm giữa \(O\) và \(B\), \(BI=3\) cm. Tính \(MI\).

3. Trong đường tròn \((O)\), đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại \(H\). Biết \(HC=7\) cm. Tính \(CD\).

Đáp án: 1. \(EF=16\) cm; 2. \(MI=3\sqrt{3}\) cm; 3. \(CD=14\) cm.

Các lỗi thường gặp khi học chủ đề này

Lỗi 1: Nhầm chiều định lý

Nếu đề cho đường kính vuông góc với dây thì kết luận đường kính đi qua trung điểm dây. Ngược lại, muốn kết luận đường kính vuông góc với dây từ điều kiện đi qua trung điểm, cần biết dây đó không đi qua tâm.

Ví dụ, nếu \(AB\perp CD\) tại \(H\) thì \(HC=HD\). Ngược lại, từ \(HC=HD\) chỉ có thể kết luận \(AB\perp CD\) khi \(AB\) là đường kính đi qua \(H\) và \(CD\) không đi qua tâm.

Lỗi 2: Quên điều kiện dây không đi qua tâm ở định lý đảo

Khi sử dụng định lý đảo, phải xác nhận dây không đi qua tâm; nếu bỏ điều kiện này, kết luận vuông góc có thể sai.

Lỗi 3: Nhầm bán kính và đường kính

Nếu đề cho đường kính \(10\) cm thì bán kính là \(5\) cm. Khi dùng công thức \(2\sqrt{R^2-h^2}\), phải thay đúng bán kính \(R\), không thay độ dài đường kính.

Lỗi 4: Không hạ đường vuông góc từ tâm đến dây

Nếu chưa kẻ đường vuông góc từ tâm đến dây, học sinh dễ bỏ sót trung điểm dây và tam giác vuông cần thiết để áp dụng định lý Pythagore. Khi giải bài tính độ dài, nên xác định chân đường vuông góc trước khi lập hệ thức.

Quan hệ giữa đường kính và dây cung gồm ba ý chính: đường kính là dây cung lớn nhất; đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây; và công thức tính dây được suy ra từ tam giác vuông tạo bởi bán kính, khoảng cách từ tâm đến dây và nửa dây.

Khi làm bài, hãy vẽ hình, ghi đúng điều kiện của định lý, rồi mới thay số. Người học có thể tham khảo thêm các bài Toán 9 liên quan tại chuyên mục Toán 9 của ZIM Academy để củng cố lộ trình ôn thi lớp 10.