Sử dụng DESMOS để so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số mũ

Hàm số mũ có dạng tổng quát là:

y=f(x)=a^g(x)

Trong đó:

• g(x) là biểu thức đại số theo biến x

• a được gọi là cơ số. Trong SAT, ta luôn xét a > 0 và a ≠ 1.

• Ví dụ hàm mũ: Người học xét hàm số y = f(x) = 3^(2x+1) . Với f(x), cơ số là 3, g(x) sẽ là (2x + 1).

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, hàm số số mũ sẽ được biểu diễn dưới dạng một đường cong.

Lý thuyết chung về phương trình mũ khác cơ số

Phương trình mũ khác cơ số có dạng tổng quát là:

a^f(x) = b^g(x)

Trong đó:

• f(x) và g(x) là biểu thức đại số theo biến x

• a và b được gọi là các cơ số, với a ≠ b

Tuỳ vào dạng biểu thức của f(x) và g(x) mà tập xác định của x sẽ thay đổi.

Xem thêm: Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Lý thuyết về cách giải phương trình mũ khác cơ số

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ khác cơ số, người học có 3 cách giải: biến đổi phương trình về cùng cơ số, phương pháp đồ thị, phương pháp logarit.

Trường hợp 1: Nếu các cơ số trong đề bài có sự liên hệ với nhau, người học có thể biến đổi chúng về cùng một cơ số, rồi giải phương trình bình thường.

Ví dụ: Ta có phương trình

4^x = 2^(x+2)

Ta có: 4 = 2^2 -> Ta có thể biến đổi phương trình

(2^2)^x = 2^(x+2) -> 2^2x = 2^(x + 2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp logarit. Tuy nhiên, logarit không thuộc kiến thức của bài thi SAT. Do đó, kiến thức về cách giải này sẽ được trình bày trong các bài chia sẻ khác.

Trường hợp 3: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp đồ thị, được trình bày ở mục kế tiếp.

Vị trí tương đối của hai hàm số mũ

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hai đồ thị của hai hàm số số mũ có thể tương tác với nhau qua nhiều cách, dưới đây sẽ là những trường hợp điển hình để hỗ trợ người học trong dạng bài này.

Trường hợp 1: Hai hàm số cắt nhau.

Xét hai hàm số chứa mũ y = a^f(x) và y = b^g(x): Hai hàm số này sẽ cắt nhau tại điểm (x, y) khi cặp giá trị x, y đấy thỏa mãn cả hai hàm số. Mặt khác, ta có thể hiểu rằng với giá trị (x, y) đấy thì hai hàm số bằng nhau.

Ví dụ: Xét hai hàm số

y = 4^x

y = 2^(x+2)

Ta có thể tìm giao điểm của hai hàm số này bằng cách giải phương trình: 4^x = 2^(x+2)

Ta có: (2^2)^x = 2^(x+2) -> 2^2x = 2^(x + 2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Thay x vào một trong hai hàm số, ta sẽ tìm được y = 16.

Vì vậy, hàm số y = 4^x cắt hàm số y = 2^(x+2) tại điểm (2, 16)

Fig. 1. Functions y = 4^x and y = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Trường hợp 2: Hai hàm số không cắt nhau.

Khi hai hàm số không cắt nhau, thì chúng không có giao điểm nào.

Nói cách khác, khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ b^g(x).

Ví dụ:

y = 2^2x

y = 4^(x + 1)

Ta có phương trình: 2^2x = 4^(x + 1)

Giải phương trình, ta có: 2^2x = (2^2)^(x + 1) -> 2^2x = 2^(2x + 2) -> 2x = 2x + 2 (Vô lý)

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Functions y = 2^2x and y = 4^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Trường hợp 3: Hai hàm số trùng nhau.

Khi hai hàm số trùng nhau thì chúng có vô số giao điểm.

Nói cách khác, khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x).

Ví dụ:

y = 5^(x + 1)

y = 5 ⋅ 5^x

Giải phương trình: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Functions y = 5^(x + 1) and y = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

So sánh các hàm số mũ

Hai hàm số mũ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Hoành độ giao điểm được tìm bằng cách thiết lập đẳng thức:

f(x) = g(x) -> f(x) - g(x) = 0

Giả sử ta có hai hàm số:

y1 = a^f(x)

y2 = b^g(x)

Ta giải phương trình: a^f(x) = b^g(x) để tìm được nghiệm x = x0 (hoành độ giao điểm)

Trường hợp 1: a và b >= 1

Khi đó:

• Nếu x = x0: f(x) - g(x) = 0 -> f(x) = g(x).

• Nếu x > x0​: Ta xét hai cơ số của hai hàm, a và b (tốc độ tăng/giảm của hàm mũ)

  • Nếu a < b -> y1 dốc hơn (leo nhanh hơn) và y2 dốc chậm hơn, nên khi x > x0 thì y2 sẽ vượt qua y1 -> y2 > y1

  • Nếu a > b -> y2 dốc hơn (leo nhanh hơn) và y1 dốc chậm hơn, nên y1 > y2

• Nếu x < x0: Ta xét ngược lại. Bây giờ hàm có cơ số góc cao hơn sẽ giảm nhanh hơn, nên sẽ là hàm số bé hơn.

Ví dụ: Xét hai hàm:

f(x) = 4^x

g(x) = 2^(x+2)

Tìm hoành độ giao điểm: ta biết từ trên là x = 2. Ta xét ba trường hợp

• x < 2: f(x) < g(x)

  • Ví dụ: x = 1 -> f(x) = 4^1 = 4 và g(x) = 2^(1+2) = 8 -> f(x) < g(x)

• x = 2: f(x) = g(x)

• x > 2: f(x) > g(x)

  • Ví dụ: x = 3 -> f(x) = 4^3 = 64 và g(x) = 2^(3 + 2) = 32 -> f(x) > g(x)

Fig. 4. Comparing functions f(x) = 4^x and g(x) = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Trường hợp 2: a và b < 0

Khi đó, cả hai hàm mũ đều là hàm nghịch biến (giảm khi x tăng), nên lập luận sẽ đảo chiều so với trường hợp a và b ≥ 1

Giả sử ta vẫn có:

y1 = a^f(x)

y2 = b^g(x)

Ta giải phương trình: a^f(x) = b^g(x) để tìm được nghiệm x = x0 (hoành độ giao điểm)

Khi đó:

• Nếu x = x0: f(x) - g(x) = 0 -> f(x) = g(x).

• Nếu x > x0: Ta xét hai cơ số của hai hàm, a và b (tốc độ tăng/giảm của hàm mũ)

  • Vì 0 < a, b < 1 nên các hàm đều nghịch biến (giảm khi x tăng)

  • Nếu a < b -> y1 dốc hơn (giảm nhanh hơn) và y2 dốc chậm hơn, nên khi x > x0 thì y1 sẽ nhỏ hơn y2 -> y1 < y2

  • Nếu a > b -> y2 dốc hơn (giảm nhanh hơn) và y1 dốc chậm hơn, nên y1 > y2

• Nếu x < x0: Ta xét ngược lại. Bây giờ hàm có cơ số góc cao hơn sẽ tăng nhanh hơn (khi đi về bên trái), nên sẽ là hàm số lớn hơn.

Ví dụ: Xét hai hàm:

f(x) = (1/4)^x

g(x) = (1/2)^(x + 2)

Tìm hoành độ giao điểm: giải được là x = 2. Ta xét ba trường hợp

• x < 2: f(x) > g(x)

  • Ví dụ: x = 1 -> f(x) = (1/4)^1 = 1/4 và g(x) = (1/2)^(1+2) = 1/8 -> f(x) > g(x)

• x = 2: f(x) = g(x)

• x > 2: f(x) < g(x)

  • Ví dụ: x = 3 -> f(x) = (1/4)^3 = 1/64 và g(x) = (1/2)^(3 + 2) = 1/32 -> f(x) < g(x)

Fig. 5. Comparing functions f(x) = (1/4)^x and g(x) = (1/2)^(x + 2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

So sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm giá trị để hai mô hình bằng nhau, để một mô hình vượt lên mô hình còn lại hay tìm xem mô hình nào lớn hơn/bé hơn với giá trị nhất định.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 6. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [6])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 7. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm

Để sử dụng DESMOS để so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là các mô hình tăng trưởng/suy giảm cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator.

Trong trường hợp này, người học cần phải lần lượt viết các mô hình được cho vào hai dòng khác nhau của DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ các đồ thị tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, tuỳ vào câu hỏi đề bài, người học có thể ấn vào giao điểm để tìm giá trị để cho hai mô hình bằng nhau. Khi ta có giá trị này, người học cũng có thể biết được các giá trị để một mô hình lớn hơn mô hình còn lại, tuỳ vào việc mô hình đấy vượt qua mô hình hay không.

Bước 4: Thử lại giá trị tìm được vào các mô hình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

A bacterial culture D(t) grows according to the model

D(t) = 120(1.08)^t

while another culture G(t) decays according to

G(t) = 900(0.92)^t.

At approximately what time t (in hours, rounded up to the nearest integer) will the two populations be equal?

A. 10B. 13C. 16D. 19

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hai mô hình được cho:

  • Mô hình tăng trưởng D(t) = 120(1.08)^t

  • Mô hình suy giảm G(t) = 900(0.92)^t

• Giá trị cần tìm: giá trị của t khi G(t) = D(t).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: D(t) = 120(1.08)^t

• Viết ở dòng thứ hai: G(t) = 900(0.92)^t

Lưu ý, với số mũ, người học có thể bấm bàn phím hoặc nên sử dụng phần bàn phím của DESMOS như đã nêu trên.

Fig. 8. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Desmos sẽ hiển thị đồ thị của hai mô hình trên mặt phẳng tọa độ.

Fig. 9. Functions D(t) = 120(1.08)^t and G(t) = 900(0.92)^t on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Bước 3: Người học bấm vào hai giao điểm giữa đồ thị của hai mô hình để tìm ra giao điểm là (12.56623, 315.63992). Giao điểm này có hoành độ là t = 12.56623, nên với giá trị t = 12.56623 thì hai đồ thị sẽ giao nhau. Đề bài yêu cầu làm tròn lên, nên người học có thể tìm được giá trị t = 13.

Lưu ý: Giả sử đề bài yêu cầu tìm giá trị mà khiến D(t) lớn hơn G(t), ta chỉ cần tìm các giá trị mà sẽ làm cho đồ thị của D(t) đi trước đồ thị G(t), trong trường hợp này là các giá trị t > 12.56623.

-> Chọn B.

Fig. 10. Functions D(t) = 120(1.08)^t and G(t) = 900(0.92)^t on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Bước 4: Người học có thể thử lại giá trị t vào hai hàm số. 12.56623

• D(t) = 120(1.08)^12.55623 = 315.9032841

• G(t) = 900(0.92)^12.55623 = 315.9032841

⇒ Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm [10]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Two investments are modeled by the functions

A(t) = 1000(1.04)^t

B(t) = 2500(0.97)^t

where t is in years.

At approximately what time t do the two investments have the same value, rounded to the nearest integer?

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

Answer: C

Question 2:

Two bacterial cultures are modeled by

X(t) = 75(1.18)^t

Y(t) = 500(1.05)^t

where t is measured in hours.

At approximately what time t will the populations be the same, rounded to the nearest integer?

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

Answer: B

Question 3:

Two pollutants grow and increase respectively in concentration according to the models

P(t) = 700(1.01)^t

Q(t) = 1000(0.94)^t

where t is measured in weeks.

At approximately what value of t will the concentrations be equal, rounded to the nearest integer?

A. 5

B. 3

C. 1

D. 0

Answer: A

Question 4:

Two streaming platforms track their subscriber counts (in millions) using the models

S(t) = 2.5(1.07)^t

T(t) = 6.0(1.03)^t

where t is measured in months.

At approximately what time t will platform S have the same number of subscribers as platform T, rounded to the nearest integer?

A. 16

B. 18

C. 20

D. 23

Answer: D

Question 5:

Two online stores track their daily sales (in thousands of dollars) using the models

A(t) = 80(1.05)^t

B(t) = 200(1.02)^t

where t is measured in days.

At approximately what time t will store A's sales equal store B's sales, rounded down to the nearest integer?

A. 32

B. 34

C. 36

D. 38

Answer: A

Question 6:

Two technologies are being adopted in a market. The number of users (in thousands) is modeled by

U(t) = 90(1.11)^t

V(t) = 300(1.04)^t

where t is measured in months since release.

At approximately what month t will the number of users of technology U first surpass that of technology V, rounded up to the nearest integer?

A. 18

B. 19

C. 20

D. 21

Answer: B

Question 7:

Two cooling substances are modeled by

S(t) = 1200(0.91)^t

T(t) = 800(0.95)^t

where t is measured in minutes.

At approximately what value of t (rounded up to the nearest integer) does T(t) become greater than S(t)?

A. 8

B. 9

C. 10

D. 7

Answer: C

Question 8:

Two social media accounts grow according to the models

A(t) = 1200(1.03)^t

B(t) = 400(1.10)^t

where t is measured in days.

At approximately what time t will account A first surpass account B in followers?

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

Answer: D

Question 9:

Two gyms track their number of members using the models

G1(t) = 300(1.06)^t

G2(t) = 900(1.02)^t

where t is measured in months.

After approximately how many months t will the number of members of the second gym first surpass that of the first??

A. 30

B. 29

C. 28

D. 27

Answer: B

Question 10:

Two mobile apps track their total downloads (in thousands) using the models

A(t) = 3500(0.98)^t

B(t) = 2500(0.99)^t

where t is measured in weeks.

After approximately how many weeks t will the number of downloads for app A be lower than that of app B for the first time?

A. 31

B. 32

C. 33

D. 34

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để so sánh các mô hình tăng trưởng/suy giảm. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.