Sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số bậc hai

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số bậc hai, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Sau khi xác định được tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Để xác định Đỉnh (Vertex) là giá trị lớn nhất (Max) hay giá trị nhỏ nhất (Min), ta xét hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Lưu ý: 

• Khi nói về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, ta sẽ nói về tung độ của đỉnh (Vertex). Còn hoành độ sẽ là giá trị của x mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

• Đối với các hàm số không ở dạng tổng quát hoặc dạng đỉnh, ta cần khai triển ra dạng tổng quát/đỉnh để dễ dàng xác định.

Lý thuyết về tìm giá trị của hàm số bậc hai

Dạng bài tìm giá trị của hàm số bậc hai chia là một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu người đọc tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước. Điều này có nghĩa là người đọc cần tính giá trị của f(x) khi biết giá trị của x. Để giải quyết bài toán này, người đọc chỉ cần thay giá trị của x vào phương trình rồi thực hiện các phép tính toán để xác định được giá trị của f(x).

Ví dụ minh họa:

The function f is defined by f(x) = 2x² - 8x + 8. What is the value of f(3)?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Để giải quyết bài toán này, người đọc chỉ cần thay 3 vào phương trình.

→ f(3) = 2(3)² - 8(3) + 8 = 2.

Vậy đáp án của bài toán là C.

Fig. 1. Quadratic function 2x² - 8x + 8 on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Tìm giá trị của hàm số bậc hai trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị của hàm số bậc hai là rất đa dạng. Ví dụ, thí sinh có thể được hỏi về việc tìm giá trị của hàm số tại một giá trị x cho trước.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số bậc hai

Để sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số bậc hai, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và tính giá trị hàm số. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1:  Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người học đọc kĩ phương trình của hàm số bậc hai được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Người đọc nhập phương trình của hàm số bậc hai vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Bước 3: Người đọc tính giá trị của hàm số bậc hai bằng cách nhập vào ô nhập dữ liệu bên dưới f([giá trị của x]). Phần mềm DESMOS sẽ hiển thị giá trị tương ứng của hàm số.

Bước 4: (tùy chọn) Người đọc sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra lại đáp án.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi: 

The function f is defined by f(x) = -3x² + 4x + 5. What is the value of f(10)?

A. -50
B. -125
C. 155
D. -255

Bước 1:  Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số: f(x) = -3x² + 4x + 5

• Tìm giá trị của f(10)

Bước 2: Nhập phương trình của hàm số bậc hai vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the input box (Source [4])

Bước 3: Người đọc nhập vào ô phía dưới giá trị của f(x) cần tìm, ở đề bài này là f(10).

Fig. 5. Finding the value f(10) of the Quadratic function -3x² + 4x + 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Phần mềm Desmos hiển thị giá trị của f(10) là -255. Vậy đáp án của bài toán là D.

Bước 4 (tùy chọn): Thử lại bằng máy tính cầm tay: f(10) = -3(10)² + 4(10) + 5 = -255. => Xác nhận phương án trên là đúng.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm số bậc hai [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: A function is defined as f(x)=2x² − 3x + 4. What is the value of f(2)?

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

Answer: B

Question 2: A function is defined as f(x)= x² + 5x + 1. What is the value of f(−2)?

Answer: -5

Question 3: The function g(x) is defined by g(x) = 3x² − 2x − 1. What is the value of g(1)?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Answer: A

Question 4: The function h(x) is defined as h(x) = 4x² − x + 2. What is the value of h(3)?

Answer: 35

Question 5: The function p(x) is defined by p(x) = x² − 6x + 5. What is the value of p(4)?

A. −3
B. −1
C. 1
D. 5

Answer: A

Question 6: A function is defined as f(x) = 2x² + 7x + 3. What is the value of f(−1)?

Answer: -2

Question 7: A ball is thrown upward. Its height after t seconds is modeled by h(t)=−5t² + 20t + 3. What is the height of the ball when t = 2 seconds?

A. 3
B. 13
C. 23
D. 33

Answer: C

Question 8: The profit P(x), in dollars, from selling x items is modeled by P(x) = x² + 4x - 6. What is the profit, in dollars, when 3 items are sold?

Answer: 15

Question 9: The function k(x) is defined as k(x) = 5x² − 4x + 2. What is the value of k(0)?

A. 0
B. 2
C. 4
D. 5

Answer: B

Question 10: A function is defined as f(x) = x² − 2x + 7. What is the value of f(5)?

Answer: 22

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị của hàm số bậc hai. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.