Sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/ nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT®, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Bài viết này sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một hàm số bậc hai, một dạng bài có tỉ lệ xuất hiện tương đối cao trong kì thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Lý thuyết về giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Sau khi xác định được tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Để xác định Đỉnh (Vertex) là giá trị lớn nhất (Max) hay giá trị nhỏ nhất (Min), ta xét hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Lưu ý: 

• Khi nói về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, ta sẽ nói về tung độ của đỉnh (Vertex). Còn hoành độ sẽ là giá trị của x mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

• Đối với các hàm số không ở dạng tổng quát hoặc dạng đỉnh, ta cần khai triển ra dạng tổng quát/đỉnh để dễ dàng xác định.

Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng y = f(x) = ax² + bx + c. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai, ta cần xác định các hệ số a và b. Sau đó, ta sẽ xác định hoành độ đỉnh của hàm số bậc 2 bằng công thức x = -b/2a. Sau khi có được hoành độ đỉnh, ta thế lại giá trị của hoành độ vào hàm số bậc hai để tìm giá trị của y. Giá trị của y sẽ là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, tùy thuộc vào dấu của hệ số a.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số y = -x² + 4x + 1

Trước hết ta xác định hệ số a và b:

• a= -1 < 0 → hàm số sẽ chứa giá trị lớn nhất (Max)

• b= 4

Sau đó, ta xác định hoành độ đỉnh của hàm số bằng công thức:

x = -b/2a = -4/2(-1) = 2

Cuối cùng, ta thế ngược lại hoành độ vào hàm số → y = -2² + 4(2) + 1 = 5. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi x = 2.

Fig. 1. Function y = -x² + 4x + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Lưu ý: Giá trị của hệ số a phải luôn khác 0. Nếu a = 0, hàm số sẽ được quy về dạng hàm số bậc nhất.

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về hàm số bậc hai là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định tọa độ đỉnh (vertex), tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số, hoặc ứng dụng trong các bài toán thực tế (ném lao, phóng tên lửa, lặn biển, …)

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) ở góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Để sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và xác định tọa độ. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người đọc đọc kĩ phương trình của hàm số bậc hai được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Người đọc nhập phương trình của hàm số bậc hai vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Bước 3: Người học quan sát đồ thị của hàm số. Sau đó, người học di chuyển đến vị trí đỉnh (Vertex) và nhấp vào vị trí này. Màn hình sẽ hiển thị tọa độ (x, y) của đỉnh (Vertex).

• Tung độ y sẽ là giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Hoành độ x là giá trị của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Bước 4: (tùy chọn) Thử lại tọa độ hai điểm vào trong đáp án để xét tính chính xác.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

g(x) = 2x² - 8x +3

What is the minimum value of the given function? 

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số: g(x) = 2x² - 8x + 3

• Tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Nhập phương trình vào ô nhập dữ liệu của DESMOS

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the input box (Source [4])

Bước 3: Người đọc quan sát đồ thị của hàm số và tìm vị trí của đỉnh (vertex).

Fig. 5. Function y = 2x² - 8x + 3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Sau đó, người đọc xác định được tọa độ đỉnh là (2, -5). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Bước 4: Thử lại

• a = 2, b = -8 → x = -b/2a = -(-8)/2(2) = 2

• g(-b/2a) = g(2) = 2(2)² - 8(2) + 3 = -5 (Đúng)

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT Math và bài tập

• Phương pháp giải phương trình bậc hai trong bài thi SAT

• Sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính, biết một điểm và hệ số góc

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: The function f(x) = 3x² - 12x + 7. What is the minimum value of f(x)?

A. −5
B. −3
C. 1
D. 7

Answer: A

Question 2: For the function g(x) = -2(x - 4)² + 9, what is the maximum value of g(x)?

A. 4
B. 7
C. 9
D. 11

Answer: C

Question 3: The function g(x) = 2x² - 16x + 35. What is the minimum value of g(x)?

Answer: 3

Question 4: A company’s profit (in thousands of dollars) is modeled by

P(x) = -0.4x² + 8x - 10

where x is the number of items sold (in hundreds), and x ≥ 0.

What is the maximum profit, in thousands of dollars, that the company can earn?

Answer: 30

Question 5: Let

f(x) = x² - 4x + 6

g(x) = 2x² - 12x + 15

Which function has the greater minimum value?

A. f(x)
B.g(x)
C. They have equal minimum values.
D. Cannot be determined

Answer: A

Question 6: For what value of x does the function f(x) = 4x² - 16x + 9 attain its minimum value?

Answer: 2

Question 7: A ball is thrown up into the air from the balcony of an apartment before dropping to the ground. The ball’s height compared to the ground (in meters) t seconds after it is thrown into the air is modeled by

h(t) = -5t² + 20t + 25

for 0 ≤ t ≤ 5.

What is the maximum height that the ball can reach compared to the ground after it is thrown?

Answer: 45

Question 8: A quadratic function has a vertex at (5, −12) and passes through the point (7, −4).

What is the minimum value of the function?

Answer: -12

Question 9: If the quadratic function

h(x) = a(x −3)² - 10

has a maximum value of −10, which of the following must be true?

A. a > 0
B. a < 0
C. a = 0
D. a = 3

Answer: B

Question 10: What is the difference between the maximum value of

f(x) = -x² + 4x + 1

and the minimum value of

g(x) = x² - 2x - 5?

Answer: 11

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai trong bài thi Digital SAT, giải quyết các dạng bài liên quan đến hàm số bậc hai. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.