Sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất hàm số bậc hai với biến số giới hạn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT®, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số giới hạn, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a và b là các hệ số, với a ≠ 0, và c là hằng số. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là tung độ giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung (y-intercepts).

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Sau khi xác định được tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Để xác định Đỉnh (Vertex) là giá trị lớn nhất (Max) hay giá trị nhỏ nhất (Min), ta xét hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Lưu ý: 

• Khi nói về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, ta sẽ nói về tung độ của đỉnh (Vertex). Còn hoành độ sẽ là giá trị của x mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.

• Đối với các hàm số không ở dạng tổng quát hoặc dạng đỉnh, ta cần khai triển ra dạng tổng quát/đỉnh để dễ dàng xác định.

Lý thuyết về tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số có giới hạn

Để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số có giới hạn, ta xét giá trị của 3 điểm:

• Giá trị tại đầu mút bên trái

• Giá trị tại đầu mút bên phải

• Tung độ của đỉnh (chỉ xét nếu hoành độ đỉnh nằm trong khoảng)

Sau đó, ta so sánh ba giá trị này. Giá trị nào lớn nhất sẽ là giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng xác định, và ngược lại, giá trị nào nhỏ nhất sẽ là giá trị nhỏ nhất của hàm số trong khoảng xác định.

Ví dụ: 

The function f is defined by 

f(x) = x² - 4x + 3, where 0 ≤ x ≤ 5

What is the maximum value that f(x) can take?

Hoành độ đỉnh x = -b/2a = -(-4)/2(1) = 2 → thuộc khoảng [0, 5]

f(0) = 3, f(5) = 8, f(2) = -1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [0, 5] là 8.

Fig. 1. Quadratic function x² - 4x + 3 with 0 ≤ x ≤ 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số có giới hạn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số có giới hạn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số giới hạn

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định hàm số bậc hai được cho cũng như giá trị của hàm số bậc hai tại biến cần tính.

Bước 2: Nhập hàm số bậc hai f(x) và nhập khoảng xác định của x. Nếu khoảng xác định là a ≤ x ≤ b, thì người đọc nhập {a ≤ x ≤ b} vào sau hàm số f(x). Sau đó, đồ thị DESMOS sẽ vẽ cho ta đồ thị của hàm số này.

Bước 3: Ta kiểm tra các điểm trên đồ thị và xác định giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của hàm số.

Bước 4 (tùy chọn): Thử lại đáp án để kiểm tra.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

The function is defined by:

f(x) = 2x² - 8x + 8, where 0 ≤ x ≤ 3

What is the minimum value that f(x) can take?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Bước 1: Ta đọc đề và xác định các dữ kiện quan trọng

• Hàm số f(x) = 2x² - 8x + 8

• Khoảng xác định: 0 ≤ x ≤ 3

• Tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 2: Ta nhập hàm số f(x) và khoảng xác định bằng cách nhập {0  ≤ x  ≤ 3} vào sau hàm số f(x) vào ô nhập dữ liệu của phần mềm DESMOS. 

Fig. 4. Quadratic function f(x) = 2x² - 8x + 8 with 0 ≤ x ≤ 3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Bước 3: Ta kiểm tra đồ thị và nhận thấy điểm thấp nhất là (2, 0) → giá trị nhỏ nhất = 0 → Đáp án A.

Bước 4: Thử lại

• Hoành độ đỉnh x = -b/2a = -(-8)/ 2(2) = 2 → thuộc khoảng [0, 3]

• f(0) = 8, f(3) = 2, f(2) = 0 → f(2) nhỏ nhất → giá trị nhỏ nhất = 0

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số giới hạn [5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function is defined by

f(x) = 2x² − 12x + 20, where 0 ≤ x ≤ 6

What is the minimum value of f(x)?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer: B

Question 2: 

The function is defined by

f(x) = −x² + 6x − 5, where 0 ≤ x ≤ 6

What is the maximum value of f(x)?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Answer: B

Question 3:

Functions f and g are defined by

f(x) = x² - 4x + 3, where -1 ≤ x ≤ 3

g(x) = x² - 2x + 1, where 0 ≤ x ≤ 4

Which of the following statements must be true?

A. The minimum value of f is less than the minimum value of g.
B. The minimum value of f is equal to the minimum value of g.
C. The maximum value of f is greater than the maximum value of g.
D. The maximum value of f is equal to the maximum value of g.

Answer: A

Question 4:

The function is defined by

f(x) = −2x² + 8x + 3, where 1 ≤ x ≤ 5

What is the maximum value of f(x)?

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

Answer: C

Question 5: 

A function f is defined by f(x)=x²+2x−5. A new function is defined as k(x)=f(x)−3.

What is the minimum value of k(x) on the interval −4 ≤ x ≤ 2?

A. -11
B. -10
C. -9
D. -8

Answer: C

Question 6: 

Functions p and q are defined by
p(x)=−x²+4x+2, where 0 ≤ x ≤ 4,
q(x)=−x²+6x−5, where 1 ≤ x ≤ 5.

Which of the following statements must be true?

A. The maximum value of p is less than the maximum value of q.
B. The maximum value of p is equal to the maximum value of q.
C. The minimum value of p is greater than the minimum value of q.
D. The minimum value of p is equal to the minimum value of q.

Answer: C

Question 7:

A company models its daily profit (in hundreds of dollars) using the function P(x)=−x²+6x−5, where x is the number of items produced (in hundreds), and 1 ≤ x ≤ 5.

What is the maximum profit, in dollars, the company can achieve?

A. 4
B. 8
C. 400
D. 800

Answer: C

Question 8:

The function is defined by

f(x) = −x² + 4x + 6, where 2 ≤ x ≤ 6

What is the maximum value of f(x)?

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

Answer: C

Question 9:

A ball is thrown upward, and its height (in meters) after t seconds is modeled by h(t) = -5t² + 10t + 14

A new model adjusts the height by subtracting 4 meters, giving k(t)=h(t)−4, where 0 ≤ t ≤ 2

What is the maximum value of k(t)?

A. 11
B. 14
C. 15
D. 19

Answer: C

Question 10:

The function h(x)=3x²−12x+7 is defined on 0 ≤ x ≤ 6.

Which of the following is the difference between the maximum and minimum values of h(x) on this interval?

A. 18
B. 30
C. 40
D. 48

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số bậc hai với biến số giới hạn Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.