Sử dụng DESMOS dùng tính năng bảng để tìm hàm số tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết về hàm số tuyến tính và đồ thị hàm số tuyến tính

Hàm số tuyến tính còn có tên gọi là hàm số bậc nhất. Phương trình hàm số tuyến tính có dạng tổng quát là:

Ax+By+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A và B không đồng thời bằng 0.

Ngoài dạng tổng quát, hàm số tuyến tính có thể xuất hiện dưới dạng slope-intercept (hệ số góc-tung độ gốc):

y=f(x)=mx+b

Trong đó:

• y là biến số phụ thuộc.

• x là biến số độc lập.

• m là hệ số góc (hay còn gọi là độ dốc), thể hiện mức độ biến đổi của biến y khi biến x thay đổi.

• b là tung độ gốc (hay còn gọi là điểm cắt trục tung y), là giá trị ban đầu của hàm số khi x = 0.

Cách tìm hàm số tuyến tính thông qua tọa độ của 2 điểm bất kỳ.

Để tìm hàm số tuyến tính thông qua tọa độ hai điểm thuộc đồ thị hàm số, ta trước hết sẽ phải tìm được hệ số góc m theo công thức trên bằng việc thế các giá trị (x, y) của 2 điểm được cho. Sau khi có được hệ số góc m, ta sau đó tìm b bằng cách thế tọa độ một điểm vào hàm số y = mx + b.

Ví dụ: Ví dụ, cho hai điểm A(1, 2) và B(3, 6)

Trước hết, ta tính hệ số góc m của đường thẳng đi qua hai điểm A và B theo công thức:

\[m=\frac{y{}2{}-y1}{x2-x1}\]

Lưu ý, công thức này cần điều kiện là x₁ ≠ x₂ (hai điểm không có cùng hoành độ, tức đường thẳng không song song với trục tung).

Thế tọa độ hai điểm vào công thức, ta được:

\[m=\frac{6-2}{3-1}=2\]

Sau khi tìm được hệ số góc m = 2, ta thay tọa độ một trong hai điểm (chẳng hạn điểm A(1, 2) vào hàm số y = mx + b để tìm b:

2 = 2 ⋅ 1 + b  -> b = 0

Vậy hàm số tuyến tính đi qua hai điểm A và B là: y = 2x

Fig. 1. Function y = 2x on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm hàm số tuyến tính thông qua tọa độ điểm hay các giá trị cho trước của bảng, tìm hệ số góc của hàm số tuyến tính, hay làm những bài toán thực tế liên quan đến việc tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng

Để sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và lập bảng. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định những dữ liệu được cho (tọa độ điểm, bảng, v.v.) cũng như là đề bài đang yêu cầu người học tìm gì (hệ số góc, phương trình, v.v.)

Bước 2: Người học cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”. Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (tọa độ điểm hay giá trị x/f(x)) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator. Chức năng bảng này sẽ giúp người học điền được giá trị đề bài.

DESMOS sẽ tự động cho thấy các giá trị này trên mặt phẳng tọa độ.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Bước 3: Người học có thể thấy một biểu tượng đường thẳng ở trên giao diện, và khi rê chuột đến biểu tượng này, người học sẽ thấy dòng chữ “add regression”. Người học bấm vào biểu tượng này để DESMOS vẽ đường thẳng và cho người học thấy phương trình tuyến tính đi qua hai điểm được cho.

Sau khi nhấn vào "add regression", Desmos sẽ cho người học một giao diện với các dạng regression để người học chọn. Desmos sẽ để mặc định là "Linear Regression" và đây chính là dạng người học cần dùng, vì đây là phương trình tuyến tính.

Bước 4: (tùy chọn) Thử lại giá trị đề bài vào trong đáp án để xét tính chính xác.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The function f(x) = mx + b passes through 3 points (2, 1), (0, -5), and (3, 4). What is the value of m? 

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = mx + b

• Đề bài cho 3 điểm: (2, 1), (0, -5), (3. 4)

• Người học cần tìm m (hệ số góc).

Bước 2: Người học bắt đầu bằng việc tạo bảng.

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [4])

Sau đó, người học cần cho các toạ độ của điểm vào trong phần bảng đã lập được.

Fig. 5. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Người học nên có được một bảng hiển thị dữ liệu như sau.

Lưu ý, với những dấu không có trên bàn phím thông thường như dấu phân số hay căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị hai điểm trên mặt phẳng tọa độ. Bây giờ người đọc bấm vào “add regression” để hiển thị đường thẳng đi qua hai điểm này.

Fig. 7. Function f(x) = 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bây giờ, người học có thể thấy giao diện hiện “equation” là y = 3x - 5, cho được giá trị m là 3.

Bước 4: Người học thay thử 1-2 tọa độ điểm vào hàm số tìm được.

• 3 ⋅ 2 - 5 = 1 (Đúng)

• 3 ⋅ 0 - 5 = -5 (Đúng)

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Nonlinear functions trong SAT® Math & bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The table shows values of a linear function g(x)

Which equation represents g(x)?

A. g(x) = 3x + 7

B. g(x) = 2x + 6

C. g(x) = 4x + 8

D. g(x) = -3x + 5

Answer: A

Question 2: 

A linear function h(x) satisfies the conditions h(0) = −6 and h(2) = 8. Which equation could represent h(x)?

A. h(x) = 3x − 5
B. h(x) = 2x + 6
C. h(x) = 4x − 3
D. h(x) = 7x − 6

Answer: D

Question 3:

A linear function f(x) passes through the points (2, 7), (-1, -2) and (6, 19). What is the slope of this function?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: C

Question 4:

The table shows values of a linear function f(x).

What is the value of f(7)?

A. 18

B. 20

C. 23

D. 24

Answer: B

Question 5:

Function h is linear. When x increases by 3, h(x) increases by 9.

Also, h(2) = -4.

Which equation represents h(x)?

A. h(x) = 3x − 10

B. h(x) = 9x − 22

C. h(x) = 3x + 2

D. h(x) = −3x + 10

Answer: A

Question 6:

A linear function h(x) passes through the points (k, 4) and (k+5, 19), where k is a constant.

If h(0) = −2, what is the value of k?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: B

Question 7:

The table shows selected values of a linear equation ax + by + c = 0.

What is 2a + b?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Answer: C

Question 8:

A linear function p(x) has a slope that is twice the slope of the line passing through (-2, 4) and (4, -8).

The function p(x) also passes through the point (1, 3).

Which of the following functions represents p(x)?

A. p(x) = −4x + 7

B. p(x) = −2x + 5

C. p(x)= 4x − 1

D. p(x) = −4x − 1

Answer: A

Question 9:

A linear function p(x) = mx + 5 satisfies the conditions:

• p(a) = 5 and p(a + 4) = −7, where a is a constant.

• The slope of p(x) is constant.

Which equation could represent p(x)?

A. p(x) = −3x + 8

B. p(x) = −3x + 5

C. p(x) = −4x + 9

D. p(x) = −4x + 13

Answer: B

Question 10:

A gym membership includes a one-time registration fee and a monthly charge. After 4 months, the total cost is $212. After 10 months, the total cost is $452. If the total cost T after m months is linear, what is the one-time registration fee?

A. $40

B. $72

C. $60

D. $52

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm số tuyến tính bằng tính năng bảng. Hi vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.

Tác giả: JOHN MARK PHẠM DACUSIN