Sử dụng DESMOS để xác định mối quan hệ giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, người đọc sẽ được hướng dẫn cách sử dụng DESMOS để xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng tọa độ, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Dựa vào tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Dạng của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Lý thuyết về xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng tọa độ

Đồ thị của hàm số bậc hai là một Parabol trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong đó, mỗi cặp giá trị (x, y) sẽ tạo thành một điểm tương ứng trên đồ thị. Nếu một bảng tọa độ biểu diễn một hàm số bậc hai, thì mọi điểm trong bảng đó khi thay vào phương trình phải thỏa mãn các giá trị x và y.

Mọi hàm số bậc hai đều có tính đối xứng (symmetry). Nếu ta nhận thấy một điểm trong bảng tọa độ có hai giá trị x1 và x2 cho cùng một giá trị y, thì hai điểm này đối xứng nhau qua trục đối xứng của parabol.

Khi đó: 

Axis of symmetry = (x1+x2)/2

Ví dụ, đồ thị có 2 điểm với tọa độ lần lượt là (1,0) và (3,0). Do đó, trục đối xứng của đồ thị này sẽ là Axis of symmetry = (1+3) / 2 = 2. Do đó, trục đối xứng của parabol là x = 2. Từ trục đối xứng, ta cũng có thể suy ra hoành độ của đỉnh là 2.

Đối với các dạng bài cần xác định đồ thị, ta cần xác định các yếu tố sau: tọa độ đỉnh, trục đối xứng, hướng mở, và có thể là độ cong của parabol.

• Trục đối xứng (axis of symmetry): ta cần xác định 2 điểm có tung độ bằng nhau. Khi đó, trục đối xứng có hoành độ nằm chính giữa hoành độ của 2 điểm có tung độ bằng nhau.

• Tọa độ đỉnh (vertex): từ trục đối xứng, ta xác định được hoành độ của đỉnh. Nếu bảng tọa độ cho đầy đủ số liệu tọa độ, ta có thể tìm được tung độ của đỉnh dựa trên hoành độ. Trong trường hợp đề bài không cung cấp, ta cần sử dụng công cụ DESMOS để tìm.

• Hướng mở của parabol: Nếu các giá trị tăng dần khi tiến ra xa đỉnh, thì parabol hướng lên, hình “chữ U” (a > 0) và đỉnh là giá trị nhỏ nhất. Nếu các giá trị giảm dần khi tiến ra xa đỉnh, thì parabol hướng xuống, hình “ngọn núi” (a < 0), và đỉnh là giá trị lớn nhất.

• Độ cong của parabol: Các giá trị thay đổi càng nhanh thì parabol càng hẹp, và ngược lại, các giá trị thay đổi càng chậm thì parabol càng rộng.

Ví dụ: Phương trình x2/2 - 2x + 4.5 có:

Đầu tiên, ta nhận thấy f(1) = f(3) = 3 → Trục đối xứng = (1+3) / 2 → Trục đối xứng x = 2 → Hoành độ đỉnh h = 2 mà f(2) = 5/2 → Đỉnh (2, 5/2)

Hệ số a > 0 → đồ thị hình chữ U.

Fig. 1. Quadratic function (½)x² - 2x + 4.5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng tọa độ là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc xác định dạng đồ thị đúng với bảng tọa độ, xác định phương trình từ bảng tọa độ, xác định đỉnh và trục đối xứng của parabol, hoặc so sánh các hàm số để loại các đáp án sai.

Sample question

x y 0 8 1 2 2 0 3 2 The table shown includes some values of x and their corresponding values of y. Which of the following graphs in the xy-plane could represent the relationship between x and y? A. B. C. D. Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC. Fig. 2. Quadratic function 2x² - 8x + 8 on the Desmos Graphing Calculator (Source [2])

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• …

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ

Để sử dụng DESMOS để xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ, người học cần vận dụng tính năng table và quadratic regression. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kỹ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, bao gồm tọa độ các điểm được cho và yêu cầu đề bài cần xác định phương trình hay đồ thị.

Bước 2: Người học cần mở chức năng table bằng cách bấm vào dấu cộng để “add item”. Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator. Chức năng bảng này sẽ giúp người học điền được toạ độ của mọi điểm đề bài cho.

DESMOS sẽ tự động cho thấy các điểm này trên mặt phẳng toạ độ.

Bước 3: Người học có thể thấy một biểu tượng đường thẳng ở trên giao diện, và khi rê chuột đến biểu tượng này sẽ thấy dòng chữ “add regression”. Sau khi nhấn vào "add regression" thì Desmos sẽ cho người học một giao diện với các dạng regression để người học chọn. Desmos sẽ để mặc định là "Linear Regression". Người đọc cần phải thay đổi thành “Quadratic Regression” để DESMOS có thể vẽ đồ thị và tìm chính xác phương trình của hàm số bậc hai. 

Lưu ý: Người học cần ít nhất 3 điểm tọa độ để vẽ được quadratic regression.

Bước 4: (tùy chọn) Thử lại tọa độ hai điểm vào trong đáp án để xét tính chính xác.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi:

The table shown includes some values of x and their corresponding values of y. Which of the following graphs in the xy-plane could represent the relationship between x and y ?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 5. Quadratic function 2x² - 8x + 8 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 1: Người đọc đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng:

• Bốn điểm: (0,8), (1,2), (2,0), và (3,2).

• Đề bài yêu cầu tìm đồ thị

Bước 2: Người học sử dụng tính năng tạo bảng

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [6])

Sau đó, người đọc nhập tọa độ của bốn điểm đề bài cho vào bảng.

Fig. 7. Tables of coordinates (0,8), (1,2), (2,0), (3,2) on the DESMOS Graphing Calculator (Source [7])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị vị trí của bốn điểm này trên mặt phẳng tọa độ. Tiếp đến, người đọc bấm vào “add regression”.

Fig. 8. The Add Regression function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Tuy nhiên, người đọc cần phải chỉnh từ “Linear regression” sang “Quadratic regression” vì đề bài đang mặc định xét hàm số bậc 1.

Fig. 9. Quadratic regression feature on the Desmos Graphing Calculator (Source [9]).

Bây giờ, người học có thể thấy giao diện hiện phương trình là y = 2x² - 8x + 8 và đồ thị của hàm số.

Fig. 10. Quadratic function 2x² - 8x + 8 on the Desmos Graphing Calculator (Source [10]).

Từ đó, ta đối chiếu và suy ra được đáp án của bài toán là A.

Bước 4: Thử lại bằng cách kiểm tra đồ thị của hàm số sẽ đi qua các điểm tương ứng (0,8), (1,2), (2,0), và (3,2).

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để Xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ [11]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: The graph of a quadratic function is shown.

Fig. 12. Quadratic function 3(x-1)² - 2 on the Desmos Graphing Calculator (Source [12])

Which table could represent the function?

A. 

B. 

C. 

D. 

Answer: C

Question 2: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph best represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 13. Quadratic Function x² - 2x + 3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [13])

Answer: B

Question 3: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 14. Quadratic function x² - 2x + 1 on the Desmos Graphing Calculator (Source [14])

Answer: A

Question 4: The graph of a quadratic function is shown.

Fig. 15. Quadratic function -x² + 4 on the Desmos Graphing Calculator (Source [15])

Which table best represents the function?

A. 

B. 

C. 

D. 

Answer: D

Question 5: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph best represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 16. Quadratic function x² - 1 on the Desmos Graphing Calculator (Source [16])

Answer: A

Question 6: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 17. Quadratic function x² - 4x + 4 on the Desmos Graphing Calculator (Source [17])

Answer: B

Question 7: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 18. Quadratic function f(x) = 3x² + 2 on the Desmos Graphing Calculator (Source [18])

Answer: B

Question 8:  The graph of a quadratic function is shown.

Fig. 19. Quadratic function (x+1)² - 3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [19])

Which table best represents the function?

A. 

B. 

C. 

D. 

Answer: C

Question 9: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 20. Quadratic function -x² - 4x + 2 on the Desmos Graphing Calculator (Source [20])

Answer: B

Question 10: The following table provides values of a quadratic function.

Which graph represents the function?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 21. Quadratic function x² - 4x + 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [21])

Answer: C

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định mối quan hệ đúng giữa đồ thị hàm số bậc hai và bảng toạ độ Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.