Sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính thông qua Desmos. 

Lý thuyết chung về phương trình tuyến tính - bậc cao

Phương trình tuyến tính (hay phương trình bậc nhất) là phương trình đại số mà các biến số là bậc một và đồ thị biểu diễn là một đường thẳng. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính là y = mx + n, hay Ax + By = C

Ax + By = C

y = mx + n

Khi phương trình tuyến tính được viết theo dạng y = mx + n thì ta có: 

• Y = Biến phụ thuộc 

• x (Variable): Biến số độc lập

• m (Slope/Coefficient): Hệ số góc 

• n (Constant): hằng số tự do (tung độ gốc)

Còn khi phương trình tuyến tính được trình bày theo dạng Ax + By = C thì ta hiểu như sau: 

• x, y (Variable): Biến số 

• A, B (Coefficients): Hệ số 

• C (Constant): Hằng số

• -A/B (Slope): Hệ số góc

Phương trình tuyến tính có các đặc điểm: (1) luôn có dạng là một đường thẳng trong hệ Oxy, và (2) thể hiện mối quan hệ tỉ lệ thuận/tỉ lệ nghịch giữa hai biến x và y.

Trong khi đó, phương trình bậc cao là các phương trình đa thức một ẩn có bậc lớn hơn hoặc bằng 3, có dạng tổng quát là:

\[a_{n}x^{_{n}}+a_{n-1}x^{_{n-1}}+a_{n-2}x^{_{n-2}}+\cdots+a_1x+m=0\]Trong đó:

• a(n),... là các hệ số

• x là biến số

• n là bậc của đa thức, với hệ số đi kèm khác 0.

• m là hằng số tự do (x bậc 0).

Một phương trình bậc cao (bậc khác 0) có thể có một, hai nghiệm, v.v.,  hoặc vô nghiệm. Tuy nhiên, số nghiệm của một phương trình không vượt quá bậc của phương trình đó. Ví dụ: Phương trình bậc 3 chỉ cho tối đa 3 nghiệm phân biệt. 

Lý thuyết về hệ phương trình bậc cao - tuyến tính

Hệ phương trình bậc cao - tuyến tính là hệ phương trình chứa 1 phương trình tuyến tính (linear equation) và một phương trình bậc cao, thường có dạng như sau:

\[ax+by=c\]

\[a_{n}x^{_{n}}+a_{n-1}x^{_{n-1}}y+a_{n-2}x^{_{n-2}}y^{2^{}}+\cdots+a_1xy^{n-1^{}}+a_0y^{n^{}}=d\]Khi biểu diễn trên đồ thị, số nghiệm của hệ trên sẽ có thể có từ 1, 2,... n nghiệm hoặc vô nghiệm với n là bậc của phương trình bậc cao, phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng của phương trình tuyến tính và đồ thị của phương trình bậc cao [1].

Để giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính, người học áp dụng các tính chất cơ bản của phương trình bậc nhất và bậc cao vào các phương pháp dưới đây.

Phương pháp thế

• Cách làm: Biến đổi phương trình tuyến tính để rút một ẩn theo ẩn còn lại, sau đó, thay vào phương trình bậc cao và tìm nghiệm của hệ phương trình.

• Với phương trình bậc cao ở dạng ax^2n + bx^n + c = 0, ta đặt x^n = t → x^2n = t^2, lúc này phương trình sẽ viết ở dạng bậc 2: at^2 + bt + c = 0, và áp dụng cách giải phương trình bậc 2 bằng Δ. 

• Ví dụ: 

x + y = 5

2x³ - 5x + 4 = y

Giải:

• Rút ẩn y theo x từ phương trình tuyến tính: x + y = 5 → y = 5 - x.

• Thay ẩn y đã rút theo x vào phương trình bậc cao: 2x^3 - 5x + 4 = 5 - x →  2x^3 - 4x - 1 = 0

• Giải phương trình 2x³ - 4x - 1 = 0 cho 3 nghiệm, thay vào phương trình tuyến tính ban đầu và tìm y.

Phương pháp đồ thị

• Cách làm: Người học nhập hệ phương trình trên công cụ vẽ đồ thị, qua đó quan sát số giao điểm của hệ phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Số giao điểm của hệ tương ứng với số nghiệm của hệ. 

Với hệ phương trình cho trên, khi biểu diễn trên đồ thị, ta sẽ được:

Fig.1. Solutions of x+y = 5 and y = 2x³ - 5x + 4 on Desmos Graphing Calculator (Source [2])

Với hệ phương trình x + y = 5 và y = 2x³ - 5x + 4, đường thẳng của phương trình tuyến tính cắt đồ thị hàm số bậc cao tại 3 điểm phân biệt, cho 3 cặp nghiệm thỏa mãn hệ phương trình của đề bài. 

Giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về hệ phương trình bậc cao - tuyến tính  là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số nghiệm thỏa mãn hệ phương trình, giá trị của các nghiệm hoặc cặp nghiệm nguyên dương, âm thỏa mãn và các dạng câu hỏi khác.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính

Để sử dụng Desmos giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị và vận dụng kỹ năng quan sát giao điểm của đồ thị.

Bước 1: Đọc và xác định các dữ kiện của đề bài

Trong bài toán về hệ phương trình bậc cao - tuyến tính, người học cần xác định hệ phương trình mà đề bài cho, cùng với câu hỏi, trong trường hợp này có thể là giá trị cặp nghiệm, tổng các nghiệm, v.v.

Bước 2: Nhập các dữ kiện đã xác định được lên DESMOS Graphing Calculator

• Dòng đầu tiên: Nhập phương trình tuyến tính ax + by = c

• Dòng thứ hai: Nhập phương trình bậc cao y = f(x)

Bước 3: Quan sát đồ thị và chọn giao điểm

Sau khi đã nhập các dữ kiện cần lên DESMOS Graphing Calculator, người học điều chỉnh đồ thị bằng con trỏ chuột, sau đó quan sát các giao điểm hiện lên trên màn hình và lựa chọn giá trị nghiệm phù hợp với yêu cầu của đề bài. 

Bước 4 (tùy chọn): Thay giá trị đã xác định được vào hệ phương trình ban đầu để thử lại.

Ví dụ:

y = x³ - 3x + 3
y - x = 3

If (a, b) is a solution to the system and a > 0, what is the value of a?

1. 2

2. 5

3. 3

4. 0

Bước 1: Xác định các dữ kiện và yêu cầu của đề bài

• Hệ phương trình đề bài cho: y = x + 3 và y = x³ - 3x + 3

• Câu hỏi: Xác định cặp nghiệm (a,b) với a > 0.

Bước 2: Nhập các dữ kiện đã xác định lên DESMOS Graphing Calculator:

• Dòng đầu tiên: y - x = 3

• Dòng thứ hai: y = x^3 - 3x + 3

Bước 3: Quan sát đồ thị và chọn giao điểm

Fig. 4. Solutions of y - x = 3 and y = x^3 - 3x + 3 on DESMOS Graphing Calculator (Source: [5])

Quan sát trên đồ thị, ta thấy hệ phương trình này cho 3 cặp nghiệm. Theo yêu cầu đề bài, cặp nghiệm thỏa mãn điều kiện a > 0 của hệ trên là (2,5). Vậy a = 2.

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions

• Cách làm dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs

• Quadratic and exponential word problems

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

A company’s profit P, in thousands of dollars, is modeled by the function P(x) = x³ - 9x² + 24x, where x represents the number of years since the company opened. A secondary investment line is modeled by L(x) = 4x + 12. 

If the points (a, b), (c, d), and (e, f) represent the times and profit levels where the two models predict the same outcome, what is the value of a + c + e?

1.  5

2. 9

3. 13

4.  20

Answer: B

Question 2:

The path of a drone is modeled by the equation y = x³ - 3x² - 10x + 5 in a coordinate plane. A safety cable is stretched along the line y = 2x + 5. 

At how many distinct points does the drone's path cross the safety cable such that the x-coordinate of the intersection is a positive value?

A. Zero

B. One

C. Two

D. Three

Answer: B

Question 3: 

Consider the following system of equations:

y = x^4 - 5x² + 4

y = x + 4

What is the possible integer solution to this system?

A. (0, 4)

B. (4, 6)

C. (9, 3)

D. (4, 0)

Answer: A

Question 4:

A chemical concentration curve is given by C(x) = x³ - 4x² - 7x + 10, where x is the volume of a catalyst added. A technician monitors the concentration along a linear baseline L(x) = -7x + 10. 

If (a, b) is the solution to this system with the largest x-value, what is the value of b?

A. 4

B. 0

C.  -25

D. -18

Answer: D

Question 5: 

y = x³ + 2x² - 5x + 1

y = 3x + 1

Let (a, b) and (c, d) be the two solutions with the greatest x-coordinates, such that a > c. What is the value of a - c?

A. 3

B. 2

C. 6

D. 4

Answer: B

Question 6: 

A satellite's orbit in a simulation is represented by y = x³ - x + 4. A communication signal travels along the line y = 3x + 4. The line and the orbit intersect at three points. 

If (x1, y1) and (x2, y2) are the intersection points with the minimum and maximum x-values, respectively, what is the y-coordinate of the midpoint of the segment connecting these two points?

A. 0

B. 6

C. 4

D. -6

Answer: C

Question 7:

Consider the system:

y = x^3 + x^2 - x - 1

y = x + 1

How many solutions (x, y) to this system are located in the third quadrant of the xy-plane?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: B

Question 8:

Consider the system of equations: y = x³ + 2x² - 5x - 6, and y = -x - 6.

How many solutions (x, y) to this system have a positive x-coordinate?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Answer: D

Question 9:

Given the system: 

y = x³ - x

y = 3x

What is the product of the x-coordinates of all real solutions to the system?

A. 4

B. 12

C. 0

D. -4

Answer: C

Question 10:

Given the system of equations: 

y = x³ + 3x² + x + 3

y = x + 3

Which of the following describes the set of all real x-coordinates that satisfy the system?

A. -1, -3, 0

B. 0, 3

C. 1, 3, 0

D. 0, -3

Answer: D

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải hệ phương trình bậc cao - tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.