Bài toán tối ưu lớp 12 | Các dạng và bài tập có lời giải

Bài toán tối ưu lớp 12 là dạng toán ứng dụng đạo hàm để tìm phương án đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong các điều kiện ràng buộc, thường gặp ở bài toán tối ưu diện tích, thể tích, chi phí, lợi nhuận và thời gian. Bài viết hệ thống cách giải bài toán tối ưu theo chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, từ chọn biến, xác định miền khả thi, lập hàm mục tiêu đến sử dụng đạo hàm. Đồng thời, ZIM Academy tổng hợp các dạng bài tập tối ưu hóa có lời giải chi tiết, giúp học sinh nắm vững phương pháp và vận dụng vào bài toán thực tế.

Bài toán tối ưu lớp 12 là gì?

Bài toán tối ưu là bài toán lựa chọn giá trị của một hoặc nhiều biến, trong những điều kiện ràng buộc xác định, để một đại lượng đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN). Trong phạm vi các bài toán tối ưu hóa đơn giản của Toán 12, đại lượng cần tối ưu thường được biểu diễn thành hàm một biến \(Q=f(x)\).

Chẳng hạn, đề bài có thể yêu cầu thiết kế chiếc hộp chứa được nhiều nhất, rào khu vườn có diện tích lớn nhất, xác định giá bán cho doanh thu cao nhất hoặc chọn tuyến đường có thời gian di chuyển ngắn nhất. Điểm chung của các bài toán này là cần chuyển dữ kiện thực tế thành hàm số và điều kiện của biến, sau đó tìm phương án tối ưu phù hợp với thực tiễn.

Khác với bài toán đã cho sẵn hàm số \(y=f(x)\) và yêu cầu tìm GTLN, GTNN trên một tập, bài toán tối ưu lớp 12 thường đòi hỏi học sinh tự lập công thức của đại lượng cần tối ưu từ hình học, kinh tế hoặc chuyển động. Đây là nội dung gắn với Bài 5, Chương I, SGK Toán 12 tập một Kết nối tri thức với cuộc sống, đồng thời được mở rộng trong chuyên đề tối ưu hóa Toán 12. Riêng Chuyên đề học tập Toán 12 còn có phương pháp quy hoạch tuyến tính bằng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; bài viết này tập trung vào các bài toán tối ưu bằng đạo hàm. [1] [2]

Cách giải bài toán tối ưu lớp 12 bằng đạo hàm

Để giải một bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm, học sinh có thể thực hiện theo quy trình dưới đây. Nếu cần ôn lại cách tìm GTLN, GTNN khi hàm số đã được cho sẵn, người học có thể xem bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trước khi luyện các bài toán thực tế.

1. Bước 1 – Xác định mục tiêu tối ưu: Nhận diện đại lượng cần đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, chẳng hạn diện tích \(S\), thể tích \(V\), lợi nhuận \(P\) hoặc thời gian \(T\).

2. Bước 2 – Đặt biến và điều kiện: Chọn biến \(x\) thích hợp, ghi rõ đơn vị và miền giá trị có ý nghĩa thực tế. Ví dụ, chiều dài phải dương; số sản phẩm phải là số nguyên không âm.

3. Bước 3 – Lập hàm mục tiêu: Dùng dữ kiện và các quan hệ của đề bài để biểu diễn đại lượng cần tối ưu dưới dạng \(Q=f(x)\), với \(x\) thuộc miền đã xác định.

4. Bước 4 – Tìm phương án tối ưu: Tính \(f'(x)\), xét các điểm \(f'(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định trong miền xét; lập bảng biến thiên hoặc so sánh giá trị thích hợp tại các điểm tới hạn và đầu mút.

5. Bước 5 – Kết luận theo tình huống: Đối chiếu đáp số với điều kiện ban đầu, đổi đơn vị khi cần và nêu rõ phương án thực tế. Với biến nguyên, cần so sánh các giá trị nguyên hợp lệ gần điểm tối ưu liên tục.

Điều kiện cần lưu ý: Nếu hàm số liên tục trên đoạn đóng \([a;b]\), GTLN và GTNN luôn tồn tại. Nếu miền xét là khoảng mở, nửa khoảng hoặc miền không bị chặn, không được mặc nhiên kết luận có giá trị tối ưu; cần xét thêm giới hạn hoặc bảng biến thiên. Một nghiệm của \(f'(x)=0\) cũng chưa đủ để kết luận là GTLN hay GTNN. [1] [2]

Bài toán tối ưu hình học lớp 12 có lời giải

Trong nhóm bài toán tối ưu hình học lớp 12, đại lượng cần tối ưu thường là diện tích, thể tích hoặc lượng vật liệu sử dụng. Học sinh cần vẽ hoặc hình dung hình học, đặt biến phù hợp và kiểm tra các điều kiện kích thước trước khi tính đạo hàm.

Dạng 1: Tìm diện tích lớn nhất của khu vườn có vách ngăn

Đề bài: Một khu vườn hình chữ nhật được chia thành hai ô bằng một vách ngăn song song với chiều rộng. Tổng chiều dài hàng rào bao quanh vườn và làm vách ngăn là 72 m. Tìm kích thước khu vườn để tổng diện tích hai ô lớn nhất, giả sử toàn bộ 72 m đều được sử dụng.

Lời giải – đặt biến và ràng buộc: Gọi \(x\) (m) là chiều rộng, \(y\) (m) là chiều dài của cả khu vườn. Do có hai cạnh dài và ba đoạn hàng rào theo chiều rộng (gồm vách ngăn), ta có:

\[2y+3x=72\quad\Rightarrow\quad y=36-\dfrac{3x}{2}\]

Vì \(x>0\) và \(y>0\) nên miền khả thi là \(0<x<24\). Tổng diện tích hai ô bằng diện tích hình chữ nhật:

\[S(x)=xy=36x-\dfrac32x^2\]

Tìm giá trị tối ưu: \(S'(x)=36-3x\). Đạo hàm dương khi \(0<x<12\) và âm khi \(12<x<24\), vì vậy \(S(x)\) đạt GTLN khi \(x=12\). Khi đó \(y=36-3\cdot12/2=18\) (m).

Kiểm tra: Lượng rào dùng là \(2\cdot18+3\cdot12=72\) m, thỏa điều kiện.

Đáp số: Khu vườn rộng 12 m, dài 18 m; diện tích lớn nhất 216 m².

Điểm nhận dạng: Phải đếm cả chiều dài vách ngăn trong điều kiện vật liệu. Đây là khác biệt so với bài rào ba cạnh sát tường.

Dạng 2: Tìm thể tích lớn nhất của khay không nắp

Đề bài: Một xưởng làm khay đựng dụng cụ từ tấm bìa hình chữ nhật kích thước 24 cm × 9 cm. Người ta cắt bốn hình vuông cạnh \(x\) (cm) ở bốn góc rồi gấp các mép lên thành khay không nắp. Tìm \(x\) để thể tích khay lớn nhất.

Lời giải: Khay có chiều dài \(24-2x\), chiều rộng \(9-2x\), chiều cao \(x\). Điều kiện \(0<x<4{,}5\). Thể tích là:

\[V(x)=x(24-2x)(9-2x)\]

\[V'(x)=12(x-2)(x-9)\]

Trên khoảng \((0;4{,}5)\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=2\). Vì vậy thể tích đạt giá trị lớn nhất tại \(x=2\) cm. Khi đó kích thước khay là 20 cm × 5 cm × 2 cm và thể tích bằng \(V(2)=200\) cm³.

Đáp số: Cắt bốn hình vuông cạnh 2 cm; thể tích khay lớn nhất 200 cm³.

Lưu ý: Đây là bài toán được biên soạn với tấm bìa hình chữ nhật và dữ kiện riêng để minh họa phương pháp tối ưu hóa, không trình bày như một câu hỏi nguyên văn trong SGK.

Dạng 3: Tìm lượng vật liệu nhỏ nhất để làm hình trụ không nắp

Đề bài: Một thùng chứa dạng hình trụ không nắp có thể tích cố định \(125\pi\) cm³. Bỏ qua độ dày vật liệu, hãy tìm bán kính đáy và chiều cao để tổng diện tích vật liệu làm đáy và thành thùng nhỏ nhất.

Lời giải: Gọi \(r>0\) (cm) là bán kính đáy và \(h>0\) (cm) là chiều cao. Từ \(\pi r^2h=125\pi\), suy ra:

\[h=\dfrac{125}{r^2}\]

Diện tích vật liệu cần dùng là:

\[S(r)=\pi r^2+2\pi rh=\pi r^2+\dfrac{250\pi}{r}\]

\[S'(r)=2\pi r-\dfrac{250\pi}{r^2}\]

Giải \(S'(r)=0\) được \(r^3=125\), nên \(r=5\) cm. Với \(0<r<5\), \(S'(r)<0\); với \(r>5\), \(S'(r)>0\). Vậy diện tích vật liệu nhỏ nhất khi \(r=5\) cm và \(h=125/25=5\) cm.

Đáp số: Bán kính đáy 5 cm, chiều cao 5 cm; diện tích vật liệu nhỏ nhất là \(75\pi\) cm².

Bài toán tối ưu kinh tế lớp 12 có lời giải

Trong kinh tế, bài toán tối ưu lớp 12 thường yêu cầu tìm giá bán để doanh thu cao nhất, sản lượng để lợi nhuận lớn nhất hoặc quy mô sản xuất để chi phí bình quân nhỏ nhất. Cần phân biệt rõ ba đại lượng: doanh thu, chi phí và lợi nhuận.

Dạng 4: Tìm doanh thu lớn nhất khi thay đổi giá bán

Đề bài: Một câu lạc bộ bán sổ tay với giá 80 nghìn đồng/quyển và tiêu thụ được 120 quyển trong một đợt. Theo dự kiến, cứ tăng giá thêm 5 nghìn đồng thì số lượng bán ra giảm 5 quyển. Hỏi nên tăng giá bao nhiêu lần (mỗi lần 5 nghìn đồng) để doanh thu lớn nhất, giả sử quy luật trên đúng trong phạm vi khảo sát?

Lời giải: Gọi \(k\) là số lần tăng giá, \(k\in\{0,1,\ldots,24\}\). Giá bán (nghìn đồng) và số quyển bán được lần lượt là \(80+5k\) và \(120-5k\). Doanh thu tính bằng nghìn đồng:

\[R(k)=(80+5k)(120-5k)\]

\[R(k)=9600+200k-25k^2\]

Với biến liên tục, \(R'(k)=200-50k=0\) khi \(k=4\). Parabol quay xuống nên đạt GTLN tại \(k=4\), đồng thời đây cũng là giá trị nguyên hợp lệ. Giá bán tối ưu là \(80+5\cdot4=100\) nghìn đồng/quyển, bán được \(120-5\cdot4=100\) quyển.

Đáp số: Tăng giá 4 lần, niêm yết 100 nghìn đồng/quyển; doanh thu lớn nhất 10 triệu đồng.

Dạng 5: Tìm lợi nhuận lớn nhất trong sản xuất

Đề bài: Một cơ sở có thể tiêu thụ \(x\) sản phẩm mỗi ngày (\(0\leq x\leq80\), \(x\) là số nguyên). Giá bán mỗi sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, được mô hình hóa bởi \(p(x)=50-0{,}5x\). Tổng chi phí sản xuất, cũng tính bằng nghìn đồng, là \(C(x)=10x+500\). Tìm sản lượng giúp lợi nhuận lớn nhất.

Lời giải: Doanh thu \(R(x)=xp(x)=50x-0{,}5x^2\). Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí:

\[P(x)=-0{,}5x^2+40x-500\]

Đạo hàm \(P'(x)=40-x\). Trên đoạn \([0;80]\), \(P'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=40\). Do đó lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất và bán 40 sản phẩm/ngày.

\[P(40)=-0{,}5\cdot40^2+40\cdot40-500=300\]

Đáp số: 40 sản phẩm/ngày; lợi nhuận lớn nhất 300 nghìn đồng/ngày theo mô hình đã cho.

Dạng 6: Tìm chi phí trung bình nhỏ nhất

Đề bài: Một xưởng dự kiến sản xuất \(x\) bộ sản phẩm/ngày với \(x\in\{10,11,\ldots,100\}\). Tổng chi phí (nghìn đồng) được ước tính bởi \(C(x)=x^2+3600\). Hỏi sản xuất bao nhiêu bộ để chi phí trung bình trên mỗi bộ thấp nhất?

Lời giải: Chi phí trung bình trên mỗi bộ sản phẩm là:

\[M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=x+\dfrac{3600}{x}\]

Với \(x>0\), ta có:

\[M'(x)=1-\dfrac{3600}{x^2}\]

\(M'(x)=0\) khi \(x=60\). Đạo hàm âm trước 60 và dương sau 60 nên chi phí trung bình nhỏ nhất tại \(x=60\); giá trị này là số nguyên phù hợp điều kiện.

Đáp số: Sản xuất 60 bộ/ngày; chi phí trung bình nhỏ nhất \(M(60)=120\) nghìn đồng/bộ.

Bài toán tối ưu thời gian và tốc độ thay đổi lớp 12

Nhóm bài toán này vận dụng đạo hàm để lựa chọn hành trình có thời gian ngắn nhất hoặc xác định thời điểm một đại lượng tăng nhanh nhất. Cần phân biệt giá trị lớn nhất của đại lượng và giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi đại lượng.

Dạng 7: Chọn tuyến di chuyển có thời gian ngắn nhất

Đề bài: Một kho hàng A nằm cách con đường thẳng 3 km; H là chân đường vuông góc từ A xuống đường. Cửa hàng B nằm trên đường và cách H 8 km. Xe vận chuyển có thể đi thẳng từ A đến một điểm M trên đoạn HB qua đường đất với tốc độ 3 km/h, sau đó đi trên đường từ M đến B với tốc độ 6 km/h. Hỏi nên chọn điểm M cách H bao nhiêu kilômét để thời gian di chuyển nhỏ nhất?

Lời giải: Đặt \(HM=x\) (km), \(0\leq x\leq8\). Theo định lí Pythagore, \(AM=\sqrt{x^2+9}\) (km) và \(MB=8-x\) (km). Tổng thời gian (giờ):

\[T(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\dfrac{8-x}{6}\]

\[T'(x)=\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+9}}-\dfrac16\]

Giải \(T'(x)=0\) với \(x\geq0\):

\[2x=\sqrt{x^2+9}\iff3x^2=9\]

Suy ra \(x=\sqrt3\) km. Đạo hàm âm khi \(0\leq x<\sqrt3\) và dương khi \(\sqrt3<x\leq8\), nên \(T(x)\) đạt GTNN tại \(x=\sqrt3\).

Đáp số: Chọn \(HM=\sqrt3\approx1{,}73\) km; thời gian nhỏ nhất \(T_{\min}=\dfrac{8+3\sqrt3}{6}\approx2{,}20\) giờ.

Dạng 8: Tìm thời điểm tốc độ tăng trưởng lớn nhất

Đề bài: Số lượng vi khuẩn trong một mẫu nuôi cấy tại thời điểm \(t\) giờ được mô hình hóa bởi \(N(t)=-t^3+9t^2\) (nghìn con), với \(0\leq t\leq6\). Hỏi khi nào số lượng vi khuẩn tăng nhanh nhất?

Lời giải: Tốc độ tăng trưởng tức thời là đạo hàm của số lượng vi khuẩn:

\[g(t)=N'(t)=-3t^2+18t\]

Ta cần tìm GTLN của \(g(t)\) trên \([0;6]\). Đạo hàm \(g'(t)=-6t+18\), suy ra \(g'(t)=0\) khi \(t=3\). So sánh \(g(0)=0\), \(g(3)=27\) và \(g(6)=0\), tốc độ tăng trưởng lớn nhất đạt ở thời điểm \(t=3\) giờ.

Đáp số: Sau 3 giờ, tốc độ tăng trưởng tức thời lớn nhất là 27 nghìn con/giờ. Đây là tốc độ lớn nhất, không phải số lượng vi khuẩn lớn nhất.

Bài tập tối ưu hóa có lời giải lớp 12

Dưới đây là 6 bài tập tối ưu hóa có lời giải được biên soạn riêng, có yêu cầu lập mô hình từ dữ kiện, không lặp lại đề ở phần ví dụ. Học sinh nên tự xác định biến, hàm mục tiêu và điều kiện trước khi xem bảng đáp án hoặc lời giải.

Đề bài tập tối ưu hóa lớp 12

Bài 1 – Diện tích có vách ngăn: Một khu trồng cây hình chữ nhật dựa sát bức tường nên không cần rào cạnh sát tường. Khu được chia thành ba ô bằng hai vách ngăn vuông góc với tường. Có 84 m lưới để rào cạnh đối diện tường, hai cạnh bên và hai vách ngăn. Hãy xác định chiều rộng vuông góc với tường và chiều dài song song với tường để tổng diện tích lớn nhất.

Bài 2 – Thể tích khay: Từ một tấm vật liệu hình chữ nhật kích thước 32 cm × 20 cm, cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc và gấp thành khay không nắp. Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích lớn nhất.

Bài 3 – Tiết kiệm vật liệu: Một bể không nắp có đáy hình vuông, thể tích 256 cm³. Giả sử bỏ qua độ dày và phần vật liệu ghép nối. Tìm cạnh đáy và chiều cao để diện tích vật liệu nhỏ nhất.

Bài 4 – Lợi nhuận lớn nhất: Một cơ sở dự kiến sản xuất và tiêu thụ \(x\) sản phẩm/ngày (\(x\) nguyên, \(0\leq x\leq60\)). Giá bán đơn vị (nghìn đồng) là \(p(x)=90-x\), tổng chi phí (nghìn đồng) là \(C(x)=10x+600\). Tìm sản lượng tối ưu và lợi nhuận lớn nhất.

Bài 5 – Tối ưu với biến nguyên: Một xưởng có công suất tối đa 35 sản phẩm/ngày. Nếu sản xuất và bán \(x\) sản phẩm (\(x\) nguyên, \(1\leq x\leq35\)), giá bán đơn vị (nghìn đồng) theo mô hình \(p(x)=71-x\), tổng chi phí (nghìn đồng) là \(C(x)=10x+200\). Tìm số sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất.

Bài 6 – Thời gian qua hai vùng: Hai khu vực ngăn bởi một ranh giới thẳng. Điểm A ở khu vực thứ nhất cách ranh giới 4 km, điểm B ở khu vực thứ hai cách ranh giới 6 km. Hai hình chiếu vuông góc H, K của A và B lên ranh giới cách nhau 11 km. Người di chuyển từ A đến một điểm M thuộc đoạn HK rồi đi thẳng đến B, với vận tốc trong khu thứ nhất là 3 km/h và khu thứ hai là 4 km/h. Tìm vị trí M để tổng thời gian nhỏ nhất.

Bảng đáp án nhanh

Lời giải chi tiết từng bài

Bài 1: Diện tích khu trồng cây có hai vách ngăn

Đặt biến: Gọi \(x\) (m) là chiều rộng vuông góc với tường và \(y\) (m) là chiều dài song song với tường. Một cạnh dài đối diện tường và bốn đoạn vuông góc với tường cần rào, do đó \(y+4x=84\), hay \(y=84-4x\). Điều kiện \(0<x<21\).

Hàm mục tiêu: \(S(x)=x(84-4x)=84x-4x^2\) (m²). Ta có \(S'(x)=84-8x\). Đạo hàm đổi từ dương sang âm tại \(x=10{,}5\), vậy diện tích lớn nhất ở giá trị này.

Kiểm tra và kết luận: \(y=84-4\cdot10{,}5=42\) (m); \(S_{\max}=10{,}5\cdot42=441\) m². Lượng rào \(42+4\cdot10{,}5=84\) m đúng yêu cầu.

Bài 2: Thể tích lớn nhất của khay hình chữ nhật

Đặt biến: Gọi \(x\) (cm) là cạnh góc cắt, \(0<x<10\). Sau khi gấp, chiều dài, chiều rộng và chiều cao lần lượt là \(32-2x\), \(20-2x\), \(x\).

\[V(x)=x(32-2x)(20-2x)\]

\[V'(x)=12x^2-208x+640=4(3x-12)(x-\dfrac{40}{3})\]

Giải \(V'(x)=0\) được \(x=4\) hoặc \(x=40/3\); chỉ \(x=4\) thuộc miền \((0;10)\). Đạo hàm dương trên \((0;4)\) và âm trên \((4;10)\), nên thể tích lớn nhất tại \(x=4\).

Đáp số: Cắt bốn hình vuông cạnh 4 cm; khay có kích thước 24 cm × 12 cm × 4 cm, thể tích lớn nhất 1152 cm³.

Bài 3: Tối thiểu diện tích vật liệu của bể đáy vuông

Đặt biến: Gọi \(x>0\) (cm) là cạnh đáy và \(h>0\) (cm) là chiều cao. Điều kiện thể tích \(x^2h=256\) nên \(h=256/x^2\).

\[S(x)=x^2+4xh=x^2+\dfrac{1024}{x}\]

Ta có \(S'(x)=2x-1024/x^2\). Phương trình \(S'(x)=0\) tương đương \(x^3=512\), được \(x=8\). Đạo hàm âm khi \(0<x<8\) và dương khi \(x>8\), nên đây là GTNN toàn miền.

Đáp số: Cạnh đáy 8 cm, chiều cao \(h=256/64=4\) cm; diện tích vật liệu nhỏ nhất \(S(8)=192\) cm².

Bài 4: Lợi nhuận lớn nhất của cơ sở sản xuất

Đặt biến và hàm mục tiêu: Với \(x\) nguyên và \(0\leq x\leq60\), doanh thu \(R(x)=x(90-x)\) nghìn đồng, còn chi phí \(C(x)=10x+600\) nghìn đồng. Lợi nhuận:

\[P(x)=R(x)-C(x)=-x^2+80x-600\]

\(P'(x)=80-2x\), bằng 0 tại \(x=40\). Đạo hàm đổi từ dương sang âm ở 40; giá trị này nguyên và không vượt công suất. Khi đó \(P(40)=1000\) nghìn đồng, giá bán \(p(40)=50\) nghìn đồng/sản phẩm.

Đáp số: Sản xuất và bán 40 sản phẩm/ngày, lợi nhuận lớn nhất 1 triệu đồng/ngày theo mô hình giả định.

Bài 5: So sánh hai phương án nguyên liền kề

Đặt hàm: Với \(x\in\{1,2,\ldots,35\}\), doanh thu \(R(x)=x(71-x)\) và lợi nhuận (nghìn đồng):

\[P(x)=x(71-x)-(10x+200)=-x^2+61x-200\]

Trên miền liên tục \([1;35]\), đạo hàm \(P'(x)=61-2x\) bằng 0 tại \(x=30{,}5\). Do \(x\) là số nguyên, cần so sánh hai ứng viên 30 và 31, không tự động làm tròn một chiều:

\[P(30)=730,\qquad P(31)=730\]

Hàm lợi nhuận tăng đến 30,5 rồi giảm, nên không có sản lượng nguyên nào khác cho lợi nhuận cao hơn. Cả hai phương án đều phù hợp giới hạn 35 sản phẩm/ngày.

Đáp số: Sản xuất 30 hoặc 31 sản phẩm/ngày đều cho lợi nhuận tối đa 730 nghìn đồng/ngày.

Bài 6: Chọn điểm chuyển tiếp giữa hai vùng để tiết kiệm thời gian

Đặt biến: Gọi \(x=HM\) (km), \(0\leq x\leq11\). Vì \(AH=4\), \(BK=6\) và \(HK=11\) (km), độ dài hai chặng lần lượt là \(AM=\sqrt{x^2+16}\) và \(MB=\sqrt{(11-x)^2+36}\) (km).

Hàm mục tiêu – thời gian (giờ):

\[T(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{3}+\dfrac{\sqrt{(11-x)^2+36}}{4}\]

\[T'(x)=\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+16}}-\dfrac{11-x}{4\sqrt{(11-x)^2+36}}\]

Thay \(x=3\) có \(\sqrt{3^2+16}=5\) và \(\sqrt{8^2+36}=10\), suy ra \(T'(3)=3/(3\cdot5)-8/(4\cdot10)=0\). Để chứng minh đây là GTNN chứ không chỉ là điểm dừng, xét:

\[T''(x)=\dfrac{16}{3(x^2+16)^{3/2}}+\dfrac{36}{4((11-x)^2+36)^{3/2}}>0\]

Vì \(T''(x)>0\) trên \([0;11]\), đạo hàm \(T'(x)\) tăng và đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=3\). Vậy \(T(x)\) nhỏ nhất khi \(HM=3\) km.

Đáp số: Chọn \(HM=3\) km, \(MK=8\) km; thời gian tối thiểu \(T(3)=5/3+10/4=25/6\) giờ, tức khoảng 4 giờ 10 phút. Đây là mô hình lí tưởng giả sử vận tốc không đổi trong mỗi khu vực.

Những lỗi thường gặp khi giải bài toán tối ưu lớp 12

• Tối ưu sai đại lượng: Đề hỏi tốc độ tăng trưởng lớn nhất nhưng lại tìm GTLN của số lượng; hoặc đề hỏi lợi nhuận nhưng chỉ tối ưu doanh thu. Học sinh cần xác định đúng hàm mục tiêu trước khi lấy đạo hàm.

• Không đặt điều kiện của biến: Kích thước âm, số lượng sản phẩm vượt công suất hoặc giá bán khiến số lượng mua âm đều không phù hợp thực tế. Cần ghi miền xét ngay sau bước đặt biến.

• Nhầm cực trị với GTLN, GTNN: Nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0 chỉ là điểm cần kiểm tra; phải xét dấu đạo hàm hoặc so sánh giá trị theo miền đã cho.

• Bỏ qua đầu mút hoặc trường hợp không có giá trị tối ưu: Với đoạn đóng, cần so sánh thêm các giá trị tại đầu mút. Với khoảng mở, cần xét hành vi của hàm số gần biên.

• Quên điều kiện biến nguyên: Trong bài toán số lần tăng giá hoặc số sản phẩm, nghiệm liên tục có thể không nguyên. Phải so sánh những số nguyên hợp lệ lân cận.

• Thiếu đơn vị hoặc diễn giải: Đáp án cuối phải nêu phương án thực tế, chẳng hạn 20 m chiều dài, 40 sản phẩm/ngày hoặc 100 nghìn đồng/quyển, thay vì chỉ ghi \(x=20\).

Bài toán tối ưu lớp 12 là dạng toán ứng dụng đạo hàm để tìm phương án đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong các điều kiện ràng buộc. Để giải chính xác, học sinh cần xác định miền khả thi, lập hàm mục tiêu, xét đạo hàm và kiểm tra kết quả theo điều kiện thực tế. Việc luyện tập các dạng bài toán tối ưu và bài tập tối ưu hóa có lời giải giúp học sinh củng cố kiến thức, vận dụng hiệu quả vào các bài toán thực tiễn. Người học có thể tiếp tục ôn tập tại chuyên đề Toán 12 của ZIM Academy.