Bất đẳng thức | Tính chất, công thức và bài tập có lời giải

Bất đẳng thức giúp so sánh các biểu thức, chứng minh quan hệ giữa các đại lượng và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài viết hệ thống hóa bất đẳng thức và tính chất, cách vận dụng bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bunhiacopxki cùng các công cụ nâng cao. Qua ví dụ và bài tập minh họa, học sinh luyện chọn phương pháp, kiểm tra điều kiện áp dụng và trường hợp dấu bằng để trình bày lời giải chặt chẽ.

Bất đẳng thức là gì?

Bất đẳng thức là hệ thức có dạng \(A<B,\ A>B,\ A\le B\) hoặc \(A\ge B\), thể hiện quan hệ so sánh giữa hai biểu thức hoặc hai đại lượng. A và B phải có nghĩa trong phạm vi đang xét. Việc biến đổi quan hệ so sánh dựa trên các quy tắc so sánh số và điều kiện xác định của biểu thức.

Xét bài toán so sánh sau:

\[A\le B\]

Trong đó:

• A là vế trái.

• B là vế phải.

• Ký hiệu ≤ cho biết giá trị của A nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của B.

Chẳng hạn, 3 + 2 ≤ 6 là một bất đẳng thức đúng vì 5 ≤ 6. Ngược lại, 3 + 2 > 6 là một bất đẳng thức sai.

Các ký hiệu so sánh thường gặp:

Bất đẳng thức chặt và không chặt

Bất đẳng thức chặt là bất đẳng thức sử dụng dấu < hoặc >. Hai vế phải có quan hệ nhỏ hơn hoặc lớn hơn nghiêm ngặt, không bằng nhau

Ví dụ

\(x^2+2>0\), với mọi \(x\in\mathbb R\).

Vì \(x^2\ge0\) nên \(x^2+2\ge2>0\).

Bất đẳng thức không chặt là bất đẳng thức sử dụng dấu ≤ hoặc ≥, cho phép hai vế bằng nhau [1].

Ví dụ

\[x^2\ge0,\quad x\in\mathbb R\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0.

Trong các bài toán chứng minh quan hệ so sánh, cần phân biệt hai trường hợp này vì điều kiện xảy ra dấu bằng thường quyết định liệu một cận tìm được có thực sự là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không.

Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu

Nếu a > b và b > c thì a > c.

Tương tự, nếu a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c

Ví dụ:

Cho x > 5 và 5 > 2. Theo tính chất bắc cầu, suy ra x > 2.

Cộng hai vế với cùng một số

Nếu a > b thì với mọi số thực c:

\[a+c>b+c\]

Phép cộng cùng một số vào hai vế không làm thay đổi chiều quan hệ so sánh.

Ví dụ:

Từ x > 3, cộng 2 vào hai vế:

\[x+2>3+2\]

Suy ra x + 2 > 5.

Phép trừ cùng một số cũng được thực hiện theo nguyên tắc tương tự.

Nhân hai vế với số dương

Nếu a > b và c > 0 thì:

\[ac>bc\]

Chiều được giữ nguyên

Ví dụ:

Với x > 2, nhân hai vế với 3:

\[3x>6\]

Nếu nhân với một biểu thức chưa biết dấu, không thể tự động kết luận chiều của nó. Khi đó, cần xét dấu biểu thức hoặc chia thành các trường hợp.

Nhân hai vế với số âm

Nếu a > b và c < 0 thì:

\[ac<bc\]

Chiều bị đảo ngược.

Ví dụ:

Từ x > 2, nhân hai vế với −3:

\[-3x<-6\]

Đây là lỗi thường gặp khi giải bất phương trình: học sinh nhân hai vế với số âm nhưng giữ nguyên chiều của dấu.

Bình phương hai vế

Không thể bình phương hai vế của một bất đẳng thức tùy ý mà không xét dấu.

Nếu a ≥ b ≥ 0 thì a² ≥ b².

Tuy nhiên, từ a > b không thể luôn suy ra a² > b² khi a, b là các số thực bất kỳ. Chẳng hạn, −1 > −2 nhưng (−1)² < (−2)².

Do đó, trước khi bình phương, cần xác định điều kiện bảo đảm phép biến đổi tương đương hoặc chỉ tạo ra một quan hệ so sánh hệ quả. [1]

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Một bất đẳng thức mới là hệ quả của mệnh đề so sánh ban đầu nếu mọi trường hợp thỏa mãn mệnh đề ban đầu đều thỏa mãn mệnh đề mới.

Ví dụ

\[x>2\Rightarrow x^2>4\]

Kết luận này đúng vì x > 2 bảo đảm x dương.

Hai bất đẳng thức được gọi là tương đương nếu mỗi mệnh đề đều suy ra mệnh đề còn lại trong cùng điều kiện xét.

Ví dụ

\[x+3>5\iff x>2\]

Hai bất đẳng thức tương đương vì có thể trừ 3 ở cả hai vế mà không làm thay đổi chiều của dấu so sánh của hai vế.

Lưu ý: Khi biến đổi một bài toán tìm cực trị, nếu chỉ chứng minh được P ≥ m thì mới xác định được một cận dưới của P. Muốn kết luận m là giá trị nhỏ nhất, cần chứng minh tồn tại giá trị hợp lệ của biến để P = m.

Bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức trị tuyệt đối

Bất đẳng thức tam giác trong hình học

Với tam giác có ba cạnh a, b, c, điều kiện cần và đủ để ba số dương này là độ dài ba cạnh của một tam giác không suy biến là:

\[a+b>c\]

\[a+c>b\]

\[b+c>a\]

Có thể viết gọn thành:

\[|a-b|<c<a+b\]

Tương tự:

\[|a-c|<b<a+c\]

\[|b-c|<a<b+c\]

Điều kiện này cho biết tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Nếu tổng hai cạnh bằng cạnh thứ ba, ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng và không tạo thành tam giác không suy biến [1].

Ví dụ

Hai cạnh của một tam giác có độ dài 5 cm và 8 cm. Gọi x là độ dài cạnh thứ ba. Khi đó:

\[|8-5|<x<8+5\]

Hay:

\[3<x<13\]

Nếu x là số nguyên, cạnh thứ ba có thể dài 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 hoặc 12 cm.

Ngoài bất đẳng thức tam giác, hai quan hệ hình học sau cũng thường được sử dụng:

• Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn và ngược lại.

• Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng, đoạn vuông góc kẻ đến đường thẳng là đoạn ngắn nhất. Trong các đường xiên kẻ từ điểm đó đến đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn hơn thì dài hơn.

Các quan hệ trên cho phép chuyển đổi giữa việc so sánh độ dài, góc và hình chiếu để tìm ra kết luận cần chứng minh.

Bất đẳng thức trị tuyệt đối

Trị tuyệt đối của một số thực biểu thị khoảng cách từ số đó đến 0 trên trục số. Với mọi số thực x:

\[|x|=x\quad(x\ge0)\]

\[|x|=-x\quad(x<0)\]

Một số bất đẳng thức trị tuyệt đối quan trọng gồm:

Bất đẳng thức cơ bản:

\[|x|\ge0\]

\[|x|\ge x\]

\[|x|\ge-x\]

Dấu bằng trong |x| ≥ 0 xảy ra khi x = 0. Trong |x| ≥ x, dấu bằng xảy ra khi x ≥ 0; còn trong |x| ≥ −x, dấu bằng xảy ra khi x ≤ 0

Bất đẳng thức tam giác:

\[|a+b|\le|a|+|b|\]

Dấu bằng xảy ra khi a, b cùng dấu hoặc ít nhất một trong hai số bằng 0.

Một dạng mở rộng là:

\[\big||a|-|b|\big|\le|a-b|\]

Dạng bài toán này cho phép đánh giá hiệu hai trị tuyệt đối bằng trị tuyệt đối của hiệu

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y:

\[|x+y|\le|x|+|y|\]

Lời giải:

Vì −|x| ≤ x ≤ |x| và −|y| ≤ y ≤ |y|, cộng các vế tương ứng, có:

\[-(|x|+|y|)\le x+y\le|x|+|y|\]

Theo định nghĩa trị tuyệt đối:

\[|x+y|\le|x|+|y|\]

Dấu bằng xảy ra khi x, y cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng 0.

Ứng dụng đáng chú ý của bất đẳng thức tam giác là đánh giá tổng nhiều số hạng:

\[\left|\sum_{i=1}^na_i\right|\le\sum_{i=1}^n|a_i|\]

Đây là công cụ hữu ích trong các bài toán có tổng, hiệu hoặc biểu thức chứa trị tuyệt đối.

Bất đẳng thức Cô-si (AM–GM)

Quy tắc AM–GM, thường được gọi là quy tắc trung bình cộng – trung bình nhân, là một công cụ cơ bản để đánh giá tổng các số không âm thông qua tích của chúng. Trong nhiều bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, quy tắc này giúp xác định một cận dưới đơn giản và dễ kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng.

Trong bài này, tên Cô-si (Cosi) chỉ bất đẳng thức AM–GM giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Cauchy–Schwarz, còn gọi là Bunhiacopxki, là công cụ khác và được trình bày ở phần sau.

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

Với a, b ≥ 0, có:

\[\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)}\]

Tương đương:

\[a+b\ge2\sqrt{\left(ab\right)}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b [3]

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x + \(\frac{9}{x}\), với x > 0.

Vì x > 0 nên \(\frac{9}{x}\)> 0. Áp dụng quy tắc Cô-si:

\[x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt{x.\frac{9}{x}} = 6\]

Do đó P ≥ 6.

Dấu bằng xảy ra khi:

\[x = \frac{9}{x}\]

Suy ra x² = 9. Vì x > 0 nên x = 3.

Tại giá trị này, P = 6.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 khi x = 3.

Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm

Với a, b, c ≥ 0, có:

\[\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\]

Hay:

\[a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Một dạng khác thường dùng là:

\[ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\]

Hay:

\[ab+bc+ca\ge3(abc)^{2/3}\]

Ví dụ

Với a, b, c ≥ 0, chứng minh rằng:

\[a^3+b^3+c^3\ge3abc\]

Lời giải:

Áp dụng quy tắc Cô-si cho ba số a³, b³, c³:

\[a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\]

Suy ra:

\[a^3+b^3+c^3\ge3abc\]

Dấu bằng xảy ra khi a³ = b³ = c³, tương đương a = b = c.

Bất đẳng thức Cô-si tổng quát cho n số

Với a₁, a₂, …, aₙ ≥ 0, có:

\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\]

Hay:

\[a_1+a_2+\cdots+a_n\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

\[a_1=a_2=\cdots=a_n\]

Lưu ý khi vận dụng:

• Tất cả các số được đưa vào AM–GM phải không âm.

• Nếu biểu thức có mẫu số, cần xác định điều kiện để mẫu khác 0.

• Khi tích cố định, AM–GM cho cận dưới của tổng; khi tổng cố định, AM–GM cho cận trên của tích.

• Chỉ kết luận giá trị cực trị khi điều kiện dấu bằng tương thích với điều kiện đề bài.

Chẳng hạn, với a, b > 0 và a + b = 10, AM–GM cho:

\[ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=25\]

Giá trị lớn nhất của ab là 25, đạt được khi a = b = 5.

Phân biệt hai cách dùng thường gặp của bất đẳng thức Cô-si

Cô-si có thể được sử dụng theo hai hướng:

• Đánh giá tổng từ dưới: a + b ≥ \(2\sqrt{\left(ab\right)}\), thường phục vụ tìm giá trị nhỏ nhất.

• Đánh giá tích từ trên khi tổng cố định: ab ≤ \(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), thường phục vụ tìm giá trị lớn nhất.

Cần lựa chọn dạng phù hợp với đại lượng cần tìm. Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của tổng nhưng các biến có thể âm, không thể áp dụng AM–GM trực tiếp mà chưa kiểm tra điều kiện.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy–Schwarz)

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, còn gọi là Bunhiacopxki, liên hệ bình phương tổng các tích với tích của hai tổng bình phương. Công cụ này hữu ích khi biểu thức có tổng bình phương, tích các biến hoặc các phân thức có tử là bình phương.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số

Với mọi số thực a, b, c, d, có:

\[(ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)\]

Dấu bằng xảy ra khi ad = bc.

Một cách viết tương đương là:

\[|ac + bd| \le \sqrt{\left(a^2+b^2\right)}.\sqrt{\left(c^2+d^2\right)}\]

Cách nhận diện: Dạng toán này thường phù hợp khi cần đánh giá bình phương của tổng các tích hoặc chứng minh một biểu thức không vượt quá tích của hai căn tổng bình phương

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y:

\[(x+y)^2\le2(x^2+y^2)\]

Lời giải:

Áp dụng Bunhiacopxki cho hai bộ số (x, y) và (1, 1):

\[(x+y)^2\le(x^2+y^2)(1^2+1^2)\]

Suy ra:

\[(x+y)^2\le2(x^2+y^2)\]

Dấu bằng xảy ra khi x = y.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki tổng quát

Với hai bộ số thực a₁, a₂, …, aₙ và b₁, b₂, …, bₙ, có:

\[\left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right).\]

Dấu bằng xảy ra khi hai bộ số tỉ lệ với nhau, nghĩa là tồn tại số thực k sao cho aᵢ = kbᵢ với mọi i, hoặc một trong hai bộ số bằng 0.

Dạng tổng quát giúp xử lý các bài toán có nhiều biến mà không cần khai triển từng hạng tử.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba cặp số

Với các số thực a, b, c, x, y, z, trường hợp n = 3 có dạng:

\[(ax+by+cz)^2\le(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2).\]

Dấu bằng xảy ra khi hai vectơ (a, b, c) và (x, y, z) phụ thuộc tuyến tính, kể cả khi một vectơ bằng 0.

Dạng phân thức hay bất đẳng thức cộng mẫu

Một dạng đặc biệt quan trọng của Cauchy–Schwarz là:

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^2}{a_i}\ge\frac{\left(\sum_{i=1}^{n}x_i\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i}.\]

Điều kiện: \(a_1,a_2,\ldots,a_n>0\) và \(x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb R\).

Dấu bằng xảy ra khi:

\[\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}=\cdots=\frac{x_n}{a_n}.\]

Dạng này thường được gọi là Cauchy–Schwarz dạng Engel hoặc quy tắc cộng mẫu

Ví dụ:

Với x, y > 0, chứng minh rằng:

\[\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(2+3\right)}\]

Lời giải:

Theo quy tắc cộng mẫu:

\[\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{5}\]

Do đó:

\[\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{5}\]

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\), tức là 3x = 2y.

Ứng dụng tìm cực trị: Khi cần đánh giá tổng các phân thức có tử là bình phương và mẫu dương, dạng cộng mẫu thường giúp đưa biểu thức về một phân thức đơn giản hơn. Tuy nhiên, phải kiểm tra xem tổng ở tử số có cố định hay không và điều kiện dấu bằng có tương thích với điều kiện đề bài hay không.

Các bất đẳng thức cổ điển nâng cao khác

Bất đẳng thức Hölder (Holder)

Bất đẳng thức Hölder là một mở rộng của Cauchy–Schwarz, dùng để đánh giá tổng tích của nhiều dãy số.

Với p, q > 1 thỏa mãn:

\[\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\]

và các số thực aᵢ, bᵢ, có:

\[\sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|\le\left(\sum_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^{n}|b_i|^q\right)^{1/q}.\]

Trong đó, ký hiệu Σ biểu thị tổng các số hạng từ i = 1 đến i = n.

Dấu bằng xảy ra khi một trong hai dãy bằng 0, hoặc tồn tại k > 0 sao cho \(|a_i|^p=k|b_i|^q\) với mọi i.

Khi p = q = 2, Hölder trở thành bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.

Trong các bài toán phổ thông nâng cao, Hölder thường được sử dụng để đánh giá tổng nhiều tích hoặc phối hợp với AM–GM khi biểu thức có lũy thừa khác nhau. Học sinh lớp 9–10 nên ưu tiên nhận diện cấu trúc biểu thức trước khi học các kỹ thuật chứng minh Hölder phức tạp. [3]

Bất đẳng thức Minkowski

Bất đẳng thức Minkowski là một mở rộng của bất đẳng thức tam giác sang các tổng lũy thừa. Với p ≥ 1 và các số thực aᵢ, bᵢ, có:

\[\begin{aligned}\left(\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^p\right)^{1/p}&\le\left(\sum_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}\\&\quad+\left(\sum_{i=1}^{n}|b_i|^p\right)^{1/p}.\end{aligned}\]

Khi p = 2 và xét hai tọa độ, bài toán này trở thành:

\[\begin{aligned}\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}&\le\sqrt{a^2+b^2}\\&\quad+\sqrt{c^2+d^2}.\end{aligned}\]

Với ba tọa độ, có:

\[\begin{aligned}\sqrt{(a+d)^2+(b+e)^2+(c+f)^2}&\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\&\quad+\sqrt{d^2+e^2+f^2}.\end{aligned}\]

Về mặt hình học, Minkowski thể hiện rằng độ dài vectơ tổng không vượt quá tổng độ dài của các vectơ thành phần. Điều này tương tự nguyên lý đường gấp khúc không ngắn hơn đoạn thẳng nối hai đầu mút.

Với p > 1, dấu bằng xảy ra khi một vectơ bằng 0 hoặc hai vectơ cùng hướng. Với p = 1, dấu bằng xảy ra khi \(a_ib_i\ge0\) với mọi i.

Bất đẳng thức Minkowski có thể được dùng khi bài toán chứa tổng các căn bậc hai của tổng bình phương hoặc cần so sánh độ dài vectơ. Đây là nội dung mở rộng, không nên nhầm với yêu cầu kiến thức bắt buộc của mọi bài kiểm tra Toán lớp 9–10. [3]

Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur thường được dùng trong các bài toán đối xứng ba biến. Với a, b, c ≥ 0, có:

\[\begin{aligned}a^3+b^3+c^3+3abc&\ge ab(a+b)+bc(b+c)\\&\quad+ca(c+a).\end{aligned}\]

Một dạng tương đương là:

\[\begin{aligned}a(a-b)(a-c)&+b(b-c)(b-a)\\&+c(c-a)(c-b)\ge0.\end{aligned}\]

Dạng Schur tổng quát với tham số r là số nguyên dương và a, b, c ≥ 0 được viết:

\[\sum_{\mathrm{cyc}}a^r(a-b)(a-c)\ge0.\]

Tổng lấy theo các hoán vị tuần hoàn của a, b, c; mỗi số hạng có bậc r + 2. Với r = 1, công thức trở thành Schur bậc ba.

Ví dụ

Chứng minh rằng với a, b, c ≥ 0:

\[\begin{aligned}a^3+b^3+c^3&\ge ab(a+b)+bc(b+c)\\&\quad+ca(c+a)-3abc.\end{aligned}\]

Do biểu thức đối xứng, có thể giả sử a ≥ b ≥ c ≥ 0. Xét hiệu hai vế sau khi chuyển 3abc sang trái:

\[\begin{aligned}S&=a^3+b^3+c^3+3abc\\&\quad-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)\\&=(a-b)^2(a+b-c)\\&\quad+c(a-c)(b-c)\ge0.\end{aligned}\]

Các thừa số đều không âm, nên bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng của Schur bậc ba xảy ra khi a = b = c hoặc khi một biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng nhau.

Lưu ý: Hölder, Minkowski và Schur không phải lúc nào cũng là lựa chọn đầu tiên cho học sinh mới học chủ đề này. Với những bài toán cơ bản, nên thử biến đổi đại số, AM–GM hoặc Cauchy–Schwarz trước; chỉ chuyển sang công cụ nâng cao khi cấu trúc biểu thức thực sự phù hợp.

Ứng dụng bất đẳng thức trong tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Quy trình chung khi vận dụng bất đẳng thức để tìm cực trị

Để giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN), có thể thực hiện theo quy trình sau:

• Xác định điều kiện: Tìm miền xác định, điều kiện của biến và các ràng buộc như tổng hoặc tích cố định.

• Nhận diện cấu trúc: Xem biểu thức có tổng các số dương, tích, tổng bình phương, phân thức hoặc biểu thức đối xứng hay không.

• Chọn công cụ đánh giá: Sử dụng AM–GM để đánh giá tổng và tích; dùng Cauchy–Schwarz khi xuất hiện tổng tích, tổng bình phương hoặc phân thức có tử là bình phương.

• Tìm cận: Biến đổi biểu thức để chứng minh P ≥ m hoặc P ≤ M.

• Xét dấu bằng: Giải điều kiện xảy ra dấu bằng và kiểm tra tính hợp lệ của nghiệm.

• Kết luận: Chỉ kết luận GTNN hoặc GTLN khi cận tìm được đạt được tại ít nhất một giá trị thuộc miền xác định.

Không nên chỉ dừng ở việc tìm một cận. Cận dưới không đạt được không thể là GTNN; tương tự, cận trên không đạt được không thể là GTLN.

Ví dụ minh họa kết hợp bất đẳng thức Cô-si và Bunhiacopxki

Bài toán: Cho x, y > 0 và x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P = \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\]

Bước 1. Áp dụng Cauchy–Schwarz:

\[\begin{aligned}\left(\frac1x+\frac1y\right)^2&\le2\left(\frac1{x^2}+\frac1{y^2}\right)=2P,\\P&\ge\frac12\left(\frac1x+\frac1y\right)^2.\end{aligned}\]

Bước 2. Áp dụng AM–GM: Vì x + y = 2 nên \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2=1\). Do đó:

\[\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=\frac2{xy}\ge2.\]

Bước 3. Kết hợp hai đánh giá:

\[P\ge\frac12\cdot2^2=2.\]

Hai dấu bằng đồng thời xảy ra khi x = y = 1, thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy GTNN của P là 2.

Lưu ý về chiều đánh giá: Từ \(P\ge4/(x^2+y^2)\) và \(x^2+y^2\ge2\) không thể suy ra P ≥ 2 bằng cách thay trực tiếp vào mẫu số.

Một số sai lầm thường gặp khi xác định điều kiện dấu bằng trong bất đẳng thức

Sai lầm 1: Bỏ qua điều kiện của biến.

AM–GM yêu cầu các số được áp dụng phải không âm. Nếu biểu thức chứa x, \(\frac{1}{x}\) hoặc \(\sqrt{x}\), cần kiểm tra điều kiện trước khi biến đổi.

Sai lầm 2: Xác định sai điều kiện dấu bằng.

Ví dụ, từ x + \(\frac{9}{x}\) ≥ 6, dấu bằng yêu cầu x = \(\frac{9}{x}\). Nếu quên điều kiện x > 0, việc giải x² = 9 có thể dẫn đến nghiệm không hợp lệ x = −3.

Sai lầm 3: Chỉ tìm cận mà không chứng minh cận đạt được.

Nếu chứng minh P ≥ 2 nhưng không tìm được giá trị hợp lệ của biến để P = 2, chưa thể khẳng định GTNN bằng 2.

Sai lầm 4: Áp dụng quá nhiều công cụ

Kết hợp nhiều công cụ không đồng nghĩa với lời giải tốt hơn. Mỗi bước cần làm cho biểu thức đơn giản hơn hoặc đưa nó gần đến kết luận cần chứng minh.

Sai lầm 5: Đánh giá từng hạng tử không phù hợp.

Một đánh giá có thể đúng với từng phần nhưng sau khi cộng lại lại tạo ra cận quá yếu, không đủ để giải bài toán. Khi đó, cần xem xét mối liên hệ giữa các biến, chẳng hạn điều kiện tổng cố định hoặc tính đối xứng của biểu thức.

20 bài tập bất đẳng thức có lời giải

Các bài tập gồm biến đổi đại số, AM–GM, Cauchy–Schwarz và một bài vận dụng Schur. Học sinh nên tự giải trước khi đối chiếu lời giải ở phần sau.

Bài 1.

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh:

a + b ≥ 2\(\sqrt{\left(ab\right)}\).

Bài 2.

Cho x > 0. Tìm GTNN của:

P = x + \(\frac{16}{x}\).

Bài 3.

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh:

\[a^3+b^3+c^3\ge3abc\]

Bài 4.

Cho x, y ∈ ℝ. Chứng minh:

\[(x+y)^2\le2(x^2+y^2)\]

Bài 5.

Cho a, b > 0 và a + b = 8. Tìm GTNN của:

P = \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\).

Bài 6.

Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh:

\[\begin{aligned}a^3+b^3+c^3+3abc&\ge ab(a+b)+bc(b+c)\\&\quad+ca(c+a).\end{aligned}\]

Bài 7.

Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(P=x+\frac{9}{x}\)

Bài 8.

Cho a, b \(\in\) \(R\). Chứng minh:

\[4a^2+9b^2\ge12ab.\]

Bài 9.

Cho a, b, c \(\in\) \(R\). Chứng minh

\[\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\]

Bài 10.

Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=x^2+\frac{4}{x^2}\]

Bài 11.

Cho a, b > 0. Chứng minh:

\[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\]

Bài 12.

Cho x, y \(\in\) \(R\). Chứng minh:

\[(x+2y)^2\le5(x^2+y^2).\]

Bài 13.

Cho a, b, c \(\in\) \(R\). Chứng minh:

\[a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\]

Bài 14.

Cho a, b > 0 và a + b = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]

Bài 15.

Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=x+\frac{25}{x}\]

Bài 16.

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

\[\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\]

Bài 17.

Cho a, b \(\in\) \(R\). Chứng minh:

\[a^4+b^4\ge2a^2b^2\]

Bài 18.

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32\]

Bài 19.

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

\[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\]

Bài 20.

Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\[P=x^2+\frac{16}{x^2}\]

Đáp án và lời giải bài tập bất đẳng thức

Bài 1.

Áp dụng AM–GM:

\(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)}\)

Nhân hai vế với 2, thu được kết luận. Dấu bằng khi a = b.

Bài 2.

Theo AM–GM:

x + \(\frac{16}{x}\) ≥ 2\(\sqrt{16}\) = 8.

Dấu bằng khi x = \(\frac{16}{x}\), tức x = 4 vì x > 0. Vậy GTNN bằng 8.

Bài 3.

Áp dụng AM–GM cho ba số a³, b³, c³:

a³ + b³ + c³ ≥ 3\(\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\) = 3abc.

Dấu bằng khi a = b = c.

Bài 4.

Áp dụng Bunhiacopxki:

\[(x+y)^2\le(x^2+y^2)(1^2+1^2)\]

Suy ra kết luận. Dấu bằng khi x = y.

Bài 5.

Có:

P = \(\frac{\left(a+b\right)}{\left(ab\right)}\)= \(\frac{8}{\left(ab\right)}\).

Theo AM–GM, ab ≤ 16 nên P ≥ \(\frac{8}{16}\) = \(\frac12\)

Dấu bằng khi a = b = 4. Vậy GTNN bằng \(\frac12\).

Bài 6.

Áp dụng trực tiếp quy tắc Schur bậc ba cho ba số không âm a, b, c. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hoặc khi một biến bằng 0 và hai biến còn lại bằng nhau.

Bài 7.

Theo AM–GM:

\[x+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{9}{x}}=6\]

Dấu bằng xảy ra khi x = \(\frac{9}{x}\), suy ra x = 3.

Vậy min P = 6.

Bài 8.

Xét hiệu hai vế:

\[4a^2+9b^2-12ab=(2a-3b)^2\ge0.\]

Vậy \(4a^2+9b^2\ge12ab\). Dấu bằng xảy ra khi 2a = 3b.

Bài 9.

Khai triển và biến đổi:

\[\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\]

\[= a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\]

\[= \frac12\left\lbrack\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\rbrack\ge0\]

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Bài 10.

Theo AM–GM:

\[x^2+\frac{4}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{4}{x^2}}=4\]

Dấu bằng khi \(x^2=2\). Vì x > 0 nên \(x=\sqrt2\).

Vậy min P = 4

Bài 11.

Theo AM–GM:

\[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\]

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\), tương đương a = b.

Bài 12.

Áp dụng Cauchy–Schwarz cho hai bộ số (x, y) và (1, 2):

\[\begin{aligned}(x+2y)^2&\le(x^2+y^2)(1^2+2^2)\\&=5(x^2+y^2).\end{aligned}\]

Dấu bằng xảy ra khi y = 2x. Có thể kiểm tra bằng hiệu hai vế \(5(x^2+y^2)-(x+2y)^2=(2x-y)^2\).

Bài 13.

Có:

\[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\]

\[=\frac12\left\lbrack\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right\rbrack\ge0\]

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Bài 14.

Có:

\[P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{10}{ab}\]

Theo AM–GM:

\[ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=25\]

Do đó:

\[P=\frac{10}{ab}\ge\frac{10}{25}=\frac25\]

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 5

Vậy min P = \(\frac25\).

Bài 15.

Theo AM–GM:

\[x+\frac{25}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{25}{x}}=10\]

Dấu bằng khi x = 5

Vậy \(\min P=10\).

Bài 16.

Áp dụng Bunhiacopxki:

\[\begin{aligned}&\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a}{a}}+\sqrt{\frac{b}{b}}+\sqrt{\frac{c}{c}}\right)^2\\&= 9\end{aligned}\]

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Bài 17.

Có:

\[a^4+b^4-2a^2b^2=\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\]

Suy ra:

\[a^4+b^4\ge2a^2b^2\]

Dấu bằng xảy ra khi \(a^2=b^2\), hay \(a=\pm b\).

Bài 18.

Theo Bunhiacopxki:

\[\begin{aligned}&\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\\&=\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{c^2}{c\left(a+b\right)}\end{aligned}\]

Theo Cauchy–Schwarz:

\[\begin{aligned}\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+a)}+\frac{c^2}{c(a+b)}&\ge\frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}.\end{aligned}\]

Khai triển mẫu số thu được:

\[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)=ab+ac+bc+ab+ac+bc\]

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

\[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\]

Do đó,

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\]

Mặt khác, theo công thức đã được học:

\[\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\]

Vì a, b, c > 0, nên 2(ab + bc + ca) > 0. Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho 2(ab + bc + ca), thu được:

\[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}\]

Suy ra:

\[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac32\]

Kết hợp các kết quả trên có:

\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài 19.

Theo AM–GM

\[a+b\ge2\sqrt{ab}\]

\[b+c\ge2\sqrt{bc}\]

\[c+a\ge2\sqrt{ca}\]

Nhân ba biểu thức trên với nhau, thu được

\[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}\]

\[= 8abc\]

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Bài 20.

Theo AM–GM:

\[x^2+\frac{16}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{16}{x^2}}=8\]

Dấu bằng xảy ra khi \(x^2=4\). Vì \(x>0\), suy ra x = 2.

Vậy \(\min P=8\).

Bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopxki, Hölder, Minkowski và Schur giúp chứng minh quan hệ so sánh và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Để vận dụng hiệu quả, học sinh cần nắm điều kiện áp dụng, nhận diện cấu trúc biểu thức và kiểm tra trường hợp dấu bằng. Việc luyện chọn công cụ phù hợp và trình bày từng bước giúp xây dựng lời giải chặt chẽ. Tiếp theo, học sinh có thể ôn phương pháp tìm cực trị của hàm số trong các bài viết Toán 12 tại ZIM Academy.