Hình có trục đối xứng lớp 6 | Cách nhận biết và bài tập

Hình có trục đối xứng là hình có một đường thẳng mà khi gấp hình theo đường đó, hai phần chồng khít lên nhau. Đường thẳng này gọi là trục đối xứng. Trong Toán 6 Kết nối tri thức, học sinh học cách nhận biết, xác định số trục đối xứng của các hình như tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật và tìm hình có trục đối xứng trong thực tế.

Hình có trục đối xứng là gì?

Hình có trục đối xứng là hình có một đường thẳng mà khi gấp hình theo đường đó, hai phần của hình chồng khít lên nhau. Đường thẳng ấy được gọi là trục đối xứng. Đây là nội dung Bài 21, Chương V: Tính đối xứng của hình phẳng trong tự nhiên, Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống. [1]

Ví dụ, hình chữ nhật không phải hình vuông có hai trục đối xứng: các đường thẳng đi qua trung điểm của từng cặp cạnh đối diện. Khi gấp hình theo một trong hai đường này, hai phần của hình chồng khít lên nhau.

Ngược lại, một hình có thể được chia thành hai phần bằng nhau về diện tích nhưng chưa chắc có trục đối xứng. Hai phần phải tương ứng với nhau về hình dạng và vị trí để có thể chồng khít khi gấp.

Vì vậy, khi xác định trục đối xứng, học sinh không nên chỉ hỏi: “Đường này có chia hình thành hai phần bằng nhau không?” mà cần hỏi: “Khi gấp hình theo đường này, hai phần có chồng khít hoàn toàn không?” Nếu câu trả lời là có, đường thẳng đó mới là trục đối xứng.

Đặc điểm của hình có trục đối xứng

Trục đối xứng là một đường thẳng, không phải chỉ là đoạn thẳng nằm bên trong hình. Khi biểu diễn trên hình vẽ, em có thể chỉ cần vẽ phần đường thẳng đi qua hình để thể hiện vị trí của trục.

Với hai điểm A và A′ tương ứng qua trục d, đoạn thẳng AA′ vuông góc với d và bị d chia thành hai đoạn bằng nhau. Nếu A nằm trên d thì điểm tương ứng chính là A. Có thể hiểu trực quan bằng cách đánh dấu một điểm rồi gấp giấy để tìm điểm trùng với nó.

Đối với hình phẳng, học sinh cần kiểm tra toàn bộ hình chứ không chỉ một vài điểm hoặc một phần đường bao. Nếu một đường thẳng chia hình thành hai phần nhưng có một cạnh, góc hoặc chi tiết không tương ứng ở phía bên kia, đường thẳng đó không phải trục đối xứng.

Cách nhận biết nhanh bằng thao tác gấp hình

Dự đoán một đường gấp, tưởng tượng gấp hình rồi kiểm tra toàn bộ các đỉnh, cạnh và chi tiết có chồng khít hay không. Quy trình kiểm tra đầy đủ được trình bày ở phần tiếp theo.

Một hình có thể không có trục đối xứng, có một trục hoặc có nhiều trục đối xứng. Vì vậy, sau khi tìm được một trục, học sinh nên tiếp tục kiểm tra những hướng khác.

Các hình có trục đối xứng và số trục của từng hình

Một hình có thể có một, nhiều hoặc vô số trục đối xứng. Cần xác định đúng loại hình trước khi đếm trục; không phải mọi hình phẳng đều có trục đối xứng. [1]

Lưu ý khi đọc bảng và làm bài: Nếu không nói khác, tam giác cân dưới đây là tam giác cân không đều; hình chữ nhật và hình thoi là các hình không phải hình vuông; hình bình hành thông thường là hình bình hành không phải hình chữ nhật hoặc hình thoi; hình thang cân được xét có hai đáy khác nhau.

Tam giác cân và tam giác đều

Tam giác cân không đều có một trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh chung của hai cạnh bằng nhau và trung điểm cạnh đáy. Tam giác đều là trường hợp đặc biệt, được xét riêng bên dưới.

Tam giác đều có ba trục đối xứng. Mỗi trục đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện. Do ba cạnh và ba góc của tam giác đều bằng nhau, cả ba hướng này đều chia hình thành hai phần chồng khít.

Tam giác có ba cạnh khác nhau không có trục đối xứng. Vì vậy, không phải tam giác nào cũng có trục đối xứng.

Hình chữ nhật và hình vuông

Hình chữ nhật không phải hình vuông có hai trục đối xứng. Hai trục lần lượt đi qua trung điểm của hai cặp cạnh đối diện và song song với các cạnh còn lại.

Hình vuông có bốn trục đối xứng, gồm hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện.

Điểm cần ghi nhớ là hình vuông có bốn trục, nhiều hơn hình chữ nhật thông thường. Hai đường chéo của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng là trục đối xứng. Chỉ trong trường hợp hình chữ nhật là hình vuông, hai đường chéo mới đồng thời là trục đối xứng.

Hình thoi và hình thang cân

Hình thoi không phải hình vuông có hai trục đối xứng là hai đường thẳng chứa hai đường chéo. Nếu hình thoi là hình vuông, hình có thêm hai trục qua trung điểm các cặp cạnh đối diện, tổng cộng bốn trục.

Hình thang cân có hai đáy khác nhau có một trục đối xứng: đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy và vuông góc với hai đáy.

Học sinh cần phân biệt hình thang cân với hình thang thông thường. Một hình thang bất kỳ không nhất thiết có trục đối xứng. Tương tự, không phải hình tứ giác nào có các cặp cạnh song song cũng có trục đối xứng.

Hình lục giác đều và hình tròn

Hình lục giác đều có sáu trục đối xứng: ba đường thẳng đi qua từng cặp đỉnh đối diện và ba đường thẳng đi qua trung điểm của từng cặp cạnh đối diện.

Hình tròn có vô số trục đối xứng. Mọi đường thẳng đi qua tâm hình tròn đều là một trục đối xứng vì khi gấp hình theo đường đó, hai nửa hình tròn chồng khít lên nhau.

Bảng tổng hợp trục đối xứng của các hình thường gặp

Bảng số trục đối xứng của các hình phẳng

Cách xác định hình nào có trục đối xứng

Khi gặp câu hỏi “Hình nào dưới đây có trục đối xứng?”, học sinh không nên chỉ dựa vào cảm giác hình trông cân đối. Hãy kiểm tra từng hình theo một quy trình thống nhất.

Quy trình xác định trục đối xứng

Bước 1: Quan sát toàn bộ hình. Xem xét đường bao, các đỉnh, cạnh và chi tiết bên trong. Nếu hình có hoa văn, chữ viết hoặc màu sắc thì cần xác định đề bài đang xét đường bao hình học hay toàn bộ hình ảnh.

Bước 2: Dự đoán đường thẳng có thể là trục. Thử xét đường thẳng đứng, đường ngang hoặc đường chéo tùy hình. Không nên mặc định mọi trục đối xứng đều phải nằm theo phương thẳng đứng.

Bước 3: Kiểm tra các phần tương ứng. Tưởng tượng gấp hình theo đường đã chọn hoặc so sánh các điểm ở hai phía. Những điểm tương ứng phải cách trục những khoảng bằng nhau theo phương vuông góc.

Bước 4: Kiểm tra đường đã chọn. Nếu hai phần chồng khít khi gấp, đó là một trục đối xứng. Nếu không, chỉ loại đường vừa xét; chưa thể kết luận hình không có trục đối xứng vì có thể còn hướng khác.

Bước 5: Tìm các trục còn lại. Tiếp tục xét những hướng có thể có để đếm đủ số trục. Chỉ kết luận hình không có trục đối xứng khi mọi đường có khả năng là trục đều không thỏa mãn.

So sánh các hình dễ nhầm lẫn

So sánh các hình dễ nhầm

Hình bình hành thông thường có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng. Có các cặp cạnh song song hoặc có hai đường chéo không đủ để kết luận hình có trục đối xứng.

Những lỗi thường gặp khi xác định trục đối xứng

• Chỉ kiểm tra trục thẳng đứng: Một hình có thể có trục ngang hoặc trục chéo. Em cần xét nhiều hướng.

• Nhầm đường chia đôi với trục đối xứng: Hai phần có diện tích bằng nhau chưa chắc chồng khít khi gấp.

• Chỉ xét đường bao ngoài: Với hình gồm nhiều chi tiết, tất cả các chi tiết cũng phải tương ứng qua trục.

• Đếm thiếu trục: Sau khi tìm được một trục, hãy kiểm tra những hướng còn lại, đặc biệt với hình vuông và hình lục giác đều.

• Nhầm hình đặc biệt với hình thông thường: Hình vuông có nhiều trục hơn hình chữ nhật không phải hình vuông; hình vuông cũng có nhiều trục hơn hình thoi thông thường.

Bảng tự kiểm tra khi gặp hình mới

Bảng tự kiểm tra khi gặp hình mới

Hình có trục đối xứng trong thực tế

Có thể quan sát hình có trục đối xứng trong thực tế qua cánh bướm, một số chiếc lá, biển báo và công trình kiến trúc. Các vật tự nhiên thường chỉ gần đối xứng; bài tập hình học sử dụng mô hình lí tưởng hoặc hình vẽ kèm điều kiện cụ thể.

Ví dụ về hình ảnh có trục đối xứng

• Con bướm nhìn từ trên xuống: Hình dạng hai cánh thường gần đối xứng qua đường đi dọc thân bướm. Tuy nhiên, cánh bướm thực tế có thể có những khác biệt nhỏ.

• Một số chiếc lá: Đường gân chính có thể chia phiến lá thành hai phần gần cân đối. Không phải mọi loại lá đều có trục đối xứng chính xác.

• Một số bông hoa: Hoa có số cánh và cách sắp xếp cân đối có thể có một hoặc nhiều trục đối xứng, tùy cấu tạo.

• Biển báo giao thông: Một số biển báo có đường bao và hình vẽ bên trong đối xứng qua một đường thẳng.

• Cửa và mặt tiền công trình: Những thiết kế có hai bên được bố trí tương ứng thường thể hiện tính đối xứng trục.

• Họa tiết trang trí: Một số hoa văn được thiết kế với các chi tiết phản chiếu qua một đường thẳng.

Cách kiểm tra trục đối xứng của hình ảnh thực tế

Để phân tích một hình ảnh, em hãy xác định đường bao chính, dự đoán đường thẳng có thể chia hình thành hai phần tương ứng rồi so sánh từng chi tiết ở hai phía.

Ví dụ, một cánh cửa có hai cánh bằng nhau và được bố trí đối xứng qua đường thẳng ở giữa có thể có trục đối xứng nếu các chi tiết liên quan cũng tương ứng. Nhưng nếu chỉ có phần khung cửa cân đối còn tay nắm hoặc hoa văn được đặt lệch, toàn bộ hình ảnh có thể không còn đối xứng qua đường đó.

Tương tự, một vật thể ngoài đời có thể gần đối xứng chứ không đối xứng tuyệt đối do khác biệt tự nhiên hoặc quá trình chế tạo. Trong bài tập hình học, em cần dựa vào hình vẽ và các điều kiện được cho, thay vì suy đoán từ hình dạng thực tế.

Đường bao đối xứng nhưng toàn bộ hình ảnh không đối xứng

Đây là trường hợp học sinh rất dễ nhầm.

Một hình có thể có đường bao đối xứng, nhưng các chi tiết bên trong lại làm mất tính đối xứng của toàn bộ hình.

Ví dụ, một hình vuông có bốn trục. Đặt một chấm tròn nhỏ đúng tâm thì cả bốn trục vẫn được giữ. Nếu tâm chấm lệch khỏi tâm hình vuông nhưng nằm trên một đường chéo hoặc đường nối trung điểm hai cạnh đối diện, hình vẫn giữ một trục. Chỉ khi tâm chấm không nằm trên bất kỳ trục nào trong bốn trục ban đầu thì hình gồm hình vuông và chấm tròn mới không còn trục đối xứng.

Tương tự, chữ viết, màu sắc hoặc họa tiết trang trí cũng có thể làm thay đổi tính đối xứng. Vì vậy, khi phân tích toàn bộ hình ảnh, em không nên chỉ nhìn đường bao bên ngoài mà phải kiểm tra cả các chi tiết bên trong.

Thử sức: Hình có trục đối xứng là hình nào?

Quan sát sáu hình dưới đây và xác định hình nào có trục đối xứng. Xét các mô hình lí tưởng: bướm và cửa đối xứng qua đường dọc ở giữa; hoa có 6 cánh giống nhau bố trí đều; ngôi sao 5 cánh đều; hình 4 là hình vuông có tâm chấm tròn nằm trên đường ngang qua tâm hình vuông; hình 6 là tam giác có ba cạnh khác nhau.

Đáp án sáu mô hình minh họa

Vị trí các trục: Hình 1 và 3 có trục dọc ở giữa. Hình 2 có 6 trục qua tâm, gồm các hướng đi qua cánh và qua khe giữa các cánh. Hình 4 chỉ còn trục ngang đi qua tâm hình vuông và tâm chấm tròn. Hình 5 có 5 trục, mỗi trục qua một đỉnh ngoài và tâm ngôi sao. Hình 6 không có trục.

Phân biệt trục đối xứng và tâm đối xứng

Trục đối xứng là đường thẳng dùng để gấp hình, còn tâm đối xứng là điểm dùng để quay hình nửa vòng. Khái niệm tâm đối xứng thuộc Bài 22, bài học tiếp theo trong Chương V Toán 6 KNTT; phần so sánh dưới đây giúp phân biệt hai nội dung. [1]

Trục đối xứng là gì?

Trục đối xứng là một đường thẳng. Ta có thể kiểm tra bằng cách gấp hình theo đường đó: nếu hai phần chồng khít lên nhau thì đường thẳng ấy là trục đối xứng.

Ví dụ: Hình chữ nhật có hai trục đối xứng, còn hình vuông có bốn trục đối xứng.

Tâm đối xứng là gì?

Tâm đối xứng là một điểm mà khi quay hình một nửa vòng, tức 180°, quanh điểm đó, hình chồng khít với vị trí ban đầu.

Ví dụ: Giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật là tâm đối xứng. Khi quay hình chữ nhật 180° quanh điểm này, hình vẫn trùng với chính nó.

Bảng so sánh trục đối xứng và tâm đối xứng

Có trục đối xứng không đồng nghĩa với có tâm đối xứng. Tam giác đều có ba trục nhưng không có tâm đối xứng; hình bình hành thông thường có tâm nhưng không có trục.

Phân loại hình theo tính đối xứng

Có thể chia các hình thành bốn nhóm:

• Chỉ có trục đối xứng: Tam giác cân không đều, hình thang cân.

• Chỉ có tâm đối xứng: Hình bình hành thông thường.

• Có cả trục và tâm đối xứng: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi và hình tròn.

• Không có cả hai: Tam giác có ba cạnh khác nhau.

Khi làm bài, em hãy kiểm tra hai tính chất riêng biệt. Trước tiên, thử gấp hình để xác định trục đối xứng. Sau đó, thử quay hình 180° quanh một điểm để xác định tâm đối xứng. Không nên dùng kết quả của phép kiểm tra này thay cho phép kiểm tra kia.

Bài tập hình có trục đối xứng lớp 6 có đáp án

Sau khi nắm được khái niệm và cách xác định trục đối xứng, học sinh có thể luyện tập theo bốn mức độ: nhận biết hình có trục đối xứng → xác định số trục → vẽ trục và hoàn thiện hình → phân biệt trục đối xứng với tâm đối xứng.

Trong các bài dưới đây, áp dụng quy ước về trường hợp đặc biệt đã nêu ở đầu bảng tổng hợp. Với hình chữ nhật hoặc hình thoi không ghi kích thước, xét trường hợp không phải hình vuông. Bài tập phân biệt tâm đối xứng là phần liên hệ với Bài 22.

Bài tập nhận biết hình có trục đối xứng

Bài 1

Trong các hình sau, hãy phân loại thành hai nhóm có trục đối xứng và không có trục đối xứng:

• Tam giác cân

• Tam giác có ba cạnh khác nhau

• Hình vuông

• Hình bình hành thông thường

• Hình tròn

• Hình thang cân

Với mỗi hình có trục đối xứng, hãy chỉ ra ít nhất một vị trí của trục.

Đáp án:

• Có trục đối xứng: tam giác cân, hình vuông, hình tròn, hình thang cân.

• Không có trục đối xứng: tam giác có ba cạnh khác nhau, hình bình hành thông thường.

Vị trí trục:

• Tam giác cân: đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của đáy.

• Hình vuông: một trong bốn đường thẳng đi qua tâm, gồm hai đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện và hai đường chéo.

• Hình tròn: mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng.

• Hình thang cân: đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy và vuông góc với hai đáy.

Bài 2

Cho các hình: tam giác đều, tam giác có ba cạnh khác nhau, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành thông thường và hình thang cân.

Hãy:

• Xếp các hình có trục đối xứng vào một nhóm.

• Xếp các hình không có trục đối xứng vào một nhóm.

• Với mỗi hình có trục đối xứng, hãy nêu một trục đối xứng.

Đáp án:

• Có trục đối xứng: tam giác đều, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân.

• Không có trục đối xứng: tam giác có ba cạnh khác nhau, hình bình hành thông thường.

Ví dụ:

• Tam giác đều: bất kỳ đường nào từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.

• Hình chữ nhật: hai đường thẳng đi qua tâm và song song với các cạnh.

• Hình thoi: hai đường chéo.

• Hình thang cân: đường thẳng vuông góc với hai đáy và đi qua trung điểm của hai đáy.

Bài 3

Một bạn cho rằng: “Hình bình hành có hai đường chéo nên chắc chắn có trục đối xứng”.

Em có đồng ý với nhận xét trên không? Giải thích.

Đáp án:

Không đồng ý.

Hình bình hành thông thường không có trục đối xứng; hai đường chéo không tạo hai phần chồng khít khi gấp. Tuy nhiên, nếu hình bình hành là hình chữ nhật hoặc hình thoi thì có trục; không thể suy ra kết luận chỉ từ việc hình có hai đường chéo.

Bài 4

Cho bốn hình: tam giác đều, hình vuông, hình thoi và hình tròn.

Hãy xác định hình nào có trục đối xứng và chỉ ra hướng của một trục đối xứng của mỗi hình.

Đáp án:

Cả bốn hình đều có trục đối xứng.

• Tam giác đều: trục đi từ một đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện.

• Hình vuông: một đường chéo.

• Hình thoi: một đường chéo.

• Hình tròn: bất kỳ đường kính nào cũng nằm trên một trục đối xứng.

Bài 5

Một hình vuông có một chấm tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong. Tâm chấm không nằm trên bất kỳ đường nào trong bốn trục đối xứng ban đầu của hình vuông.

Hình gồm cả hình vuông và chấm tròn có còn trục đối xứng không? Giải thích.

Đáp án:

Không.

Mọi trục của hình mới phải đồng thời giữ nguyên hình vuông và chấm tròn. Tâm chấm không nằm trên bất kỳ trục nào của hình vuông nên khi gấp theo mỗi trục, chấm không trùng với chính nó. Vì vậy hình mới không có trục đối xứng.

Lưu ý: Khi xác định trục đối xứng, phải xét cả đường bao và các chi tiết bên trong hình.

Bài tập xác định số trục đối xứng

Bài 1

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

a) Tam giác đều có ... trục đối xứng.

b) Hình chữ nhật không phải hình vuông có ... trục đối xứng.

c) Hình vuông có ... trục đối xứng.

d) Hình thoi không phải hình vuông có ... trục đối xứng.

e) Hình lục giác đều có ... trục đối xứng.

f) Hình tròn có ... trục đối xứng.

Đáp án:

a) 3

b) 2

c) 4

d) 2

e) 6

f) Vô số.

Bài 2

Một bộ thẻ có các hình liệt kê trong bảng. Điền số trục đối xứng của từng thẻ. Với hình có hữu hạn trục, hãy vẽ đủ các trục; riêng hình tròn, vẽ ba trục khác nhau và giải thích vì sao còn vô số trục khác.

Bài tập đếm số trục đối xứng

Đáp án đếm số trục đối xứng

Bài 3

Không cần ghi số lượng trước, hãy vẽ tất cả các trục đối xứng của:

a) Một hình vuông.

b) Một hình thoi không phải hình vuông.

c) Một hình lục giác đều.

Đáp án:

• Hình vuông: vẽ 4 trục, gồm 2 đường chéo và 2 đường thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện.

• Hình thoi: vẽ 2 trục, chính là hai đường chéo.

• Hình lục giác đều: vẽ 6 trục, mỗi trục đi qua tâm và một cặp đỉnh đối diện hoặc trung điểm của một cặp cạnh đối diện.

Bài 4

Chọn số thích hợp trong các số 0, 1, 2, 3, 4, 6, vô số.

a) Hình vuông có bao nhiêu trục đối xứng?

b) Hình chữ nhật không phải hình vuông có bao nhiêu trục đối xứng?

c) Hình tròn có bao nhiêu trục đối xứng?

d) Hình thoi không phải hình vuông có bao nhiêu trục đối xứng?

e) Tam giác đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Đáp án:

a) 4

b) 2

c) Vô số

d) 2

e) 3

Bài 5

Một học sinh vẽ hai đường chéo của hình vuông để làm nếp gấp trang trí.

Bạn kết luận: “Đã vẽ hết các trục đối xứng của hình vuông”.

Kết luận đúng hay sai? Nếu còn thiếu, mô tả các đường cần vẽ thêm.

Đáp án:

Câu trả lời chưa đúng.

Hình vuông có 4 trục. Bạn mới vẽ hai đường thẳng chứa hai đường chéo, còn thiếu hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cặp cạnh đối diện.

Cần kiểm tra cả hướng chéo và hướng song song với cạnh để đếm đủ số trục.

Bài tập hoàn thiện hình qua trục đối xứng

Bài 1

Trên giấy kẻ ô vuông, vẽ đường thẳng d trùng với một đường kẻ dọc. Chọn điểm A là một giao điểm lưới bên trái d, cách d 3 ô theo phương ngang.

Hãy xác định vị trí điểm A' đối xứng với A qua d.

Đáp án:

Điểm A′ nằm trên cùng đường kẻ ngang với A, ở bên phải d và cách d 3 ô.

Khi gấp giấy theo d, A trùng với A′. Chỉ đặt A′ ở khoảng cách 3 ô mà khác hàng với A thì chưa đúng.

Bài 2

Trên giấy kẻ ô vuông, vẽ d trùng một đường kẻ dọc. Đặt A và B ở các giao điểm lưới bên trái d:

• A cách d 2 ô, nằm trên hàng ngang thứ nhất.

• B cách d 4 ô, nằm trên hàng ngang thứ ba tính từ hàng của A.

Hãy vẽ A' và B' lần lượt là các điểm đối xứng của A và B qua d.

Đáp án:

• A′ nằm bên phải d, cách d 2 ô và cùng hàng ngang với A.

• B′ nằm bên phải d, cách d 4 ô và cùng hàng ngang với B.

Sau khi vẽ, ta có:

Đoạn AA′ vuông góc với d và bị d chia thành hai đoạn bằng nhau.

Đoạn BB′ cũng có tính chất tương tự.

Bài 3

Trên giấy kẻ ô, vẽ d trùng một đường kẻ dọc. Lấy A và B trên d, A ở trên B và AB dài 4 ô. Lấy C bên trái B, cách B 2 ô và cùng hàng ngang với B. Nối A, C, B để được một nửa hình tam giác. Hãy hoàn thiện nửa còn lại bên phải d.

Yêu cầu:

1. Xác định điểm đối xứng của từng đỉnh qua d.

2. Nối các điểm đối xứng theo đúng thứ tự.

3. Kiểm tra hai phần có chồng khít khi gấp theo d hay không.

Đáp án:

A và B nằm trên d nên giữ nguyên. Lấy C′ cùng hàng ngang với C, bên phải d và cách d 2 ô. Nối A với C′, C′ với B; tam giác ACC′ là hình hoàn chỉnh, có trục đối xứng d.

Hình hoàn chỉnh phải có hai phần chồng khít khi gấp theo d.

Bài 4

Trên giấy kẻ ô vuông, vẽ d trùng một đường kẻ dọc. Chọn A, B, C ở bên trái d theo các vị trí:

• A cách d 1 ô, trên hàng ngang thứ nhất;

• B cách d 3 ô, trên hàng ngang thứ ba;

• C cách d 2 ô, trên hàng ngang thứ năm.

Hãy vẽ A', B', C' đối xứng với A, B, C qua d, sau đó nối A'B'C' tương ứng.

Đáp án:

• A′ cách d 1 ô ở bên phải và cùng hàng ngang với A.

• B′ cách d 3 ô ở bên phải và cùng hàng ngang với B.

• C′ cách d 2 ô ở bên phải và cùng hàng ngang với C.

Nối A'B'C' theo đúng thứ tự tương ứng với ABC để tạo thành phần đối xứng của hình.

Bài 5

Vẽ đường d theo một đường kẻ dọc trên giấy ô vuông và tự vẽ một nửa họa tiết bên trái d, gồm các đỉnh A, B, C, D.

Hãy hoàn thiện nửa còn lại sao cho d là trục đối xứng.

Một học sinh đặt các điểm A′, B′, C′, D′ ở bên phải, cùng hàng ngang với điểm tương ứng, nhưng khoảng cách từ A′ và B′ đến d không bằng khoảng cách từ A và B đến d. Cách vẽ đó có làm d thành trục đối xứng không?

Đáp án:

Không.

Muốn d là trục đối xứng thì mỗi cặp điểm tương ứng phải:

• nằm ở hai phía của d;

• cách d một khoảng bằng nhau;

• đoạn nối hai điểm tương ứng phải vuông góc với d.

Vì A′ và B′ sai khoảng cách tương ứng nên hai nửa không chồng khít khi gấp theo d. Điểm nằm sẵn trên d, nếu có, được giữ nguyên.

Bài tập phân biệt trục đối xứng và tâm đối xứng

Bài 1

Phân loại các hình sau vào bốn nhóm:

• Tam giác đều

• Hình bình hành thông thường

• Hình vuông

• Tam giác có ba cạnh khác nhau

• Hình thoi

• Hình thang cân

Các nhóm gồm:

• Chỉ có trục đối xứng

• Chỉ có tâm đối xứng

• Có cả trục đối xứng và tâm đối xứng

• Không có cả hai

Đáp án:

• Chỉ có trục đối xứng: tam giác đều, hình thang cân.

• Chỉ có tâm đối xứng: hình bình hành thông thường.

• Có cả hai: hình vuông, hình thoi.

• Không có cả hai: tam giác có ba cạnh khác nhau.

Giải thích:

• Tam giác đều và hình thang cân có thể gấp theo trục thích hợp để hai phần chồng khít, nhưng không trùng lại khi quay nửa vòng.

• Hình bình hành không có trục đối xứng nhưng có tâm đối xứng tại giao điểm hai đường chéo.

• Hình vuông và hình thoi vừa có trục đối xứng vừa có tâm đối xứng.

• Tam giác có ba cạnh khác nhau không có cả hai loại đối xứng.

Bài 2

Xét các hình: tam giác đều, hình chữ nhật, hình bình hành thông thường, tam giác có ba cạnh khác nhau.

Hình nào có thể:
a) Gấp theo một đường thẳng để hai phần chồng khít?
b) Quay nửa vòng quanh một điểm để hình trùng với chính nó?

Đáp án:

a) Có trục đối xứng: tam giác đều, hình chữ nhật.

b) Có tâm đối xứng: hình chữ nhật, hình bình hành.

Như vậy:

• Tam giác đều: chỉ có trục đối xứng.

• Hình chữ nhật: có cả hai.

• Hình bình hành: chỉ có tâm đối xứng.

• Tam giác có ba cạnh khác nhau: không có cả hai.

Bài 3

Một học sinh nhận xét:

“Hình thang cân có một trục đối xứng nên chắc chắn có tâm đối xứng.”

Nhận xét trên đúng hay sai? Giải thích bằng hai thao tác gấp hình và quay nửa vòng.

Đáp án:

Sai.

• Khi gấp hình theo đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy và vuông góc với đáy, hai phần của hình thang cân chồng khít. Vì vậy hình thang cân có trục đối xứng.

• Tuy nhiên, khi quay nửa vòng 180°, hình không trùng với chính nó vì hai đáy có độ dài khác nhau.

Do đó, hình thang cân chỉ có trục đối xứng, không có tâm đối xứng.

Bài 4

Cho các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi và hình tròn.

Hãy xác định:

• Hình nào có trục đối xứng?

• Hình nào có tâm đối xứng?

• Hình nào có cả hai?

Đáp án:

Cả bốn hình đều có trục đối xứng và tâm đối xứng.

• Hình vuông: 4 trục, 1 tâm.

• Hình chữ nhật: 2 trục, 1 tâm.

• Hình thoi: 2 trục, 1 tâm.

• Hình tròn: vô số trục, 1 tâm.

Bài 5

Hãy điền “Có” hoặc “Không” vào bảng sau:

Sau đó chọn một hình mà em dễ nhầm nhất và giải thích bằng thao tác gấp hoặc quay.

Đáp án:

Giải thích các trường hợp dễ nhầm:

• Tam giác đều: có 3 trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

• Hình bình hành: không có trục đối xứng nhưng có tâm đối xứng tại giao điểm hai đường chéo.

• Hình thang cân: có 1 trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

Có thể ghi nhớ bằng hai thao tác:

• Trục đối xứng → gấp theo đường thẳng.

• Tâm đối xứng → quay nửa vòng 180° quanh một điểm.

Hình có trục đối xứng là hình có ít nhất một đường thẳng mà khi gấp theo đó, hai phần chồng khít lên nhau. Khi xác định và đếm số trục đối xứng, học sinh cần xét toàn bộ đường bao, chi tiết bên trong và các hướng có thể có của trục. Cần phân biệt trục đối xứng là đường thẳng với tâm đối xứng là điểm mà khi quay hình 180° quanh đó, hình trùng với vị trí ban đầu. Người học có thể củng cố kiến thức và luyện tập thêm tại chuyên mục Toán 6.