Bất phương trình logarit | Công thức, cách giải và tìm tập nghiệm

Trong chương trình Toán 11, bất phương trình logarit là nội dung thuộc chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit, yêu cầu học sinh nắm vững điều kiện xác định, các phép biến đổi logarit và tính đơn điệu của hàm số logarit để xác định đúng chiều bất phương trình.

Bài viết trình bày cách giải bất phương trình logarit theo từng dạng và từng trường hợp của cơ số, đồng thời hướng dẫn cách tìm tập nghiệm của bất phương trình, xác định điều kiện và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình logarit qua các ví dụ, bài tập vận dụng.

Bất phương trình logarit là gì?

Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa ẩn trong biểu thức lấy logarit. Trong chương trình Toán 11, nội dung này được học cùng bất phương trình mũ và logarit; trọng tâm là điều kiện xác định, tính đơn điệu của hàm số logarit và cách xác định tập nghiệm. [1]

Ví dụ:

• \(\log_2(x - 3) > 1\)(cơ số 2 lớn hơn 1, ẩn nằm dưới dấu logarit).

• \(\log_{0.5}(2x + 1) \le -2\)(cơ số 0.5 nằm giữa 0 và 1).

• \(\log_3(x^2 - 4) < \log_3(3x)\) (bất phương trình logarit cùng cơ số 3).

Các dạng bất phương trình logarit cơ bản

Với cơ số a thỏa mãn \(a > 0,\ a \ne 1\) và \(b \in \mathbb{R}\), các bất phương trình logarit cơ bản gồm:

• \(\log_a x > b\)

• \(\log_a x < b\)

• \(\log_a x \ge b\)

• \(\log_a x \le b\)

Trong thực tế, các bất phương trình logarit thường xuất hiện dưới dạng tổng quát như \(\log_a f(x) > b\) hoặc

\[\log_a f(x) > \log_a g(x).\]

Khi giải các bất phương trình dạng này, cần xác định điều kiện của biểu thức logarit và dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit. Cụ thể, \(y=\log_a x\) đồng biến khi \(a>1\) và nghịch biến khi \(0<a<1\); đây là yếu tố quyết định việc giữ hoặc đổi chiều bất phương trình.

Cách giải bất phương trình logarit cơ bản

Cách giải bất phương trình logarit cơ bản dựa trên điều kiện xác định và tính đơn điệu của \(y=\log_a x\). Mục tiêu là khử logarit để đưa bất phương trình về dạng đại số tương đương trên miền xác định.

Với các dạng mở rộng, có thể đưa hai vế về cùng cơ số, sử dụng công thức biến đổi logarit hoặc đặt ẩn phụ khi biểu thức có cấu trúc phù hợp.

Trường hợp cơ số lớn hơn 1

Khi \(a > 1\), hàm số \(y = \log_a x\)đồng biến trên \((0; +\infty)\). Do đó, khi bỏ dấu logarit, chiều bất phương trình được giữ nguyên:

• \(\log_{a}x>b\iff x>a^{b}\) (vì \(a^b > 0\) nên \(x > 0\) tự động thỏa mãn).

• \(\log_{a}x\ge b\iff x\ge a^{b}\).

• \(\log_{a}x<b\iff0<x<a^{b}\) (bắt buộc phải kết hợp điều kiện xác định \(x > 0\)).

• \(\log_{a}x\le b\iff0<x\le a^{b}\).

Với dạng so sánh hai biểu thức cùng cơ số \(a > 1\):

\[\log_a f(x)>\log_a g(x)\iff\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\f(x)>g(x)\end{cases}\]

Ví dụ áp dụng:

Giải bất phương trình: \(\log_3(2x - 1) \le 2\).

Lời giải:

Vì cơ số \(a = 3 > 1\), hàm số đồng biến nên chiều bất phương trình giữ nguyên:

\[0<2x-1\le3^2\iff0<2x-1\le9\]

\[1<2x\le10\iff\dfrac{1}{2}<x\le5\]

Vậy tập nghiệm là \(S = \left(\dfrac{1}{2}; 5\right]\).

Trường hợp cơ số nằm giữa 0 và 1

Khi \(0 < a < 1\), hàm số \(y = \log_a x\) nghịch biến trên \((0; +\infty)\). Do đó, khi bỏ dấu logarit, chiều bất phương trình bị đảo ngược:

• \(\log_{a}x>b\iff0<x<a^{b}\)(đổi dấu ">" thành "<" và kẹp \(x > 0\)).

• \(\log_{a}x\ge b\iff0<x\le a^{b}\).

• \(\log_{a}x<b\iff x>a^{b}\) (đổi dấu "<" thành ">", \(x > a^b > 0\)).

• \(\log_{a}x\le b\iff x\ge a^{b}\).

Với dạng so sánh hai biểu thức cùng cơ số \(0 < a < 1\):

\[\log_a f(x)>\log_a g(x)\iff\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\f(x)<g(x)\end{cases}\]

Ví dụ áp dụng:

Giải bất phương trình: \(\log_{\frac14}(x+3)\ge -1\).

Lời giải:

Vì \(0<\frac14<1\), hàm số logarit nghịch biến nên khi khử logarit cần đổi chiều bất phương trình và kết hợp điều kiện xác định:

\[0<x+3\le\left(\frac14\right)^{-1}=4\]

\[-3<x\le1\]

Vậy tập nghiệm là \(S=(-3;1]\).

Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình logarit

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu logarit

Biểu thức \(\log_a u(x)\) chỉ xác định khi \(u(x) > 0\). Nếu bất phương trình chứa nhiều logarit, cần đặt điều kiện cho tất cả biểu thức đồng thời dương:

\[\begin{cases} u_1(x) > 0 \\ u_2(x) > 0 \end{cases}\]

Giải hệ này thu được tập xác định \(D\). Đây là bước bắt buộc để tránh nhận nghiệm ngoại lai.

Bước 2: Biến đổi và giải bất phương trình

Biến đổi biểu thức logarit về dạng thuận lợi, ưu tiên đưa về cùng cơ số hoặc sử dụng các công thức logarit phù hợp.

Khử logarit theo tính đơn điệu: giữ nguyên chiều khi \(a>1\) và đổi chiều khi \(0<a<1\).

Giải bất phương trình đại số thu được miền nghiệm \(S_0\).

Bước 3: Kết hợp điều kiện và kết luận tập nghiệm

Tập nghiệm chính thức \(S\) là giao của miền nghiệm \(S_0\) với tập xác định \(D\):

\(S = S_0 \cap D\)

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Biểu diễn tập xác định D và miền nghiệm S₀ trên trục số; phần giao của hai tập chính là tập nghiệm S.

Lỗi thường gặp:

Với \(\log_2(x - 1) < 2\), nếu chỉ giải \(x-1<4\iff x<5\) và kết luận \((-\infty; 5)\) là sai vì thiếu điều kiện \(x-1>0\iff x>1\). Tập nghiệm đúng phải là \((1; 5)\).

Ứng dụng của bất phương trình logarit trong bài toán thực tế

Bất phương trình logarit có thể được sử dụng để xác định khoảng giá trị thỏa mãn một điều kiện trong các mô hình có chứa hàm mũ hoặc logarit.

Bài toán áp suất khí quyển theo độ cao

Xét một mô hình minh họa trong đó áp suất khí quyển thay đổi theo độ cao bằng hàm số mũ.

Áp suất khí quyển \(P\) (\(\text{mmHg}\)) ở độ cao \(h\) (mét) được mô hình hóa bởi:

\[P(h) = 760 \cdot e^{-0.00012 h}\]

Suy ra độ cao tính theo áp suất:

\[h = -\dfrac{1}{0.00012}\ln\left(\dfrac{P}{760}\right)\]

Bài toán: Một máy bay yêu cầu áp suất khí quyển xung quanh tối thiểu \(300\text{ mmHg}\) để đảm bảo an toàn. Xác định độ cao tối đa máy bay được phép hoạt động.

Giải:

Yêu cầu an toàn dẫn tới:

\[P(h)\ge300\iff760\cdot e^{-0.00012h}\ge300\iff e^{-0.00012h}\ge\dfrac{300}{760}\]

\[-0.00012 h \ge \ln\left(\dfrac{300}{760}\right) \approx -0.9296\]

\[h \le \dfrac{-0.9296}{-0.00012} \approx 7747\text{ m}\]

Theo mô hình, độ cao thỏa điều kiện là \(h\le7747\text{ m}\).

Bài toán pH và nồng độ ion hydrogen

Trong hóa học, logarit được sử dụng để biểu diễn độ axit hoặc bazơ của một dung dịch thông qua đại lượng pH. Nhờ mối quan hệ logarit giữa pH và nồng độ ion (\(H^+\)), có thể xác định nồng độ ion tương ứng với một khoảng pH cho trước.

Độ pH được tính bằng công thức:

\(\text{pH} = -\log[H^+]\)

Trong đó \([H^+]\) là nồng độ ion hydrogen (\(\text{mol/L}\)).

Bài toán: Nước sinh hoạt đạt chuẩn cần có độ pH từ \(6.5\) đến \(8.5\). Tìm khoảng biến thiên nồng độ \([H^+]\).

Giải:

Có bất đẳng thức kép:

\[6.5\le-\log[H^{+}]\le8.5\iff-8.5\le\log[H^{+}]\le-6.5\]

\(10^{-8.5} \le [H^+] \le 10^{-6.5}\)

\[3.16 \times 10^{-9}\text{ mol/L} \le [H^+] \le 3.16 \times 10^{-7}\text{ mol/L}\]

Bất phương trình logarit giúp xác định khoảng nồng độ ion tương ứng với điều kiện pH đã cho.

Ví dụ minh họa và bài tập vận dụng bất phương trình logarit

Ví dụ giải bất phương trình logarit có lời giải

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình: \(\log_2(3x - 5) > 3\).

Lời giải:

Điều kiện: \(3x-5>0\iff x>\dfrac{5}{3}\).

\[3x-5>2^3\iff3x-5>8\iff3x>13\iff x>\dfrac{13}{3}\]

Kết hợp với điều kiện \(x > \dfrac{5}{3}\), thu được \(x > \dfrac{13}{3}\).

Vậy tập nghiệm là \(S = \left(\dfrac{13}{3}; +\infty\right)\).

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: \(\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 3x + 1) \ge -1\).

Lời giải:

Điều kiện: \[x^2-3x+1>0\iff x\in\left(-\infty;\dfrac{3-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\dfrac{3+\sqrt5}{2};+\infty\right)\quad(1).\]

\[x^2-3x+1\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\iff x^2-3x+1\le3\iff x^2-3x-2\le0\]

\[\dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\le x\le\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\quad(2)\]

Kết hợp (1) và (2), tập nghiệm là:

\[S = \left[\dfrac{3 - \sqrt{17}}{2}; \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}; \dfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\right]\]

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình: \(\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) \le 3\).

Lời giải:

Điều kiện: \(\begin{cases}x+1>0\\ x-1>0\end{cases}\iff x>1\).

Biến đổi tổng thành tích logarit:

\[\log_2[(x+1)(x-1)]\le3\iff\log_2(x^2-1)\le3\]

\[x^2-1\le2^3\iff x^2-1\le8\iff x^2\le9\iff-3\le x\le3\]

Kết hợp điều kiện \(x > 1\), thu được tập nghiệm \(S = (1; 3]\).

Bài tập tự luyện bất phương trình logarit

Bài tập 1: Giải bất phương trình \(\log_5(2x - 3) < 2\).

Hướng dẫn:

Điều kiện \(x > \dfrac{3}{2}\).

Vì cơ số \(5 > 1\) nên \(2x-3<25\iff x<14\).

Vậy \(S = \left(\dfrac{3}{2}; 14\right)\).

Bài tập 2: Giải bất phương trình \(\log_{0.2}(4 - x) \ge -1\).

Hướng dẫn:

Điều kiện \(x < 4\). Vì \(0.2 < 1\) nên \[4-x\le(0.2)^{-1}=5\iff x\ge-1\]

Vậy \(S = [-1; 4)\).

Bài tập 3: Giải bất phương trình \(\log_3(x^2 - 2x) \ge 1\).

Hướng dẫn:

Vì \(3 > 1\) nên \[x^2-2x\ge3\iff x^2-2x-3\ge0\]

(Điều kiện xác định được thỏa mãn với các nghiệm thu được.)

Vậy \[S = (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\]

Bài tập 4: Giải bất phương trình \(\log_{\frac14}(x+5)>\log_{\frac14}(3x-1)\).

Hướng dẫn:

Điều kiện: \(x>\frac13\). Vì \(0<\frac14<1\), khi khử logarit cần đổi chiều: \[x+5<3x-1\iff x>3\]

Vậy tập nghiệm là \(S=(3;+\infty)\).

Bài tập 5: Giải bất phương trình \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 \le 0\).

Hướng dẫn:

Đặt \(t=\log_2x\left(x>0\right)\), bất phương trình thành \[t^2-3t+2\le0\iff1\le t\le2\iff1\le\log_2x\le2\]

\(2^1\le x\le2^2\iff2\le x\le4\)

Vậy \(S=[2;4]\)

Bài tập 6: Mức cường độ âm \(L\) (đo bằng decibel, kí hiệu là \(\text{dB}\)) được tính theo công thức:

\(L = 10 \log \left(\frac{I}{I_0}\right)\)

Trong đó \(I\) là cường độ âm tại vị trí xét (\(\text{W/m}^2\)), còn \(I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2\) là cường độ âm chuẩn. Giả sử bài toán yêu cầu \(L\le85\text{ dB}\). Xác định khoảng giá trị của \(I\).

Lời giải:

Để đảm bảo an toàn cho thính giác, mức cường độ âm phải thỏa mãn:

\[L\le85\iff10\log\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)\le85\]

\(\log \left(\frac{I}{10^{-12}}\right) \le 8{,}5\)

\[\frac{I}{10^{-12}}\le10^{8{,}5}\iff I\le10^{8{,}5}\cdot10^{-12}\iff I\le10^{-3{,}5}\]

Tính giá trị xấp xỉ:

\(I \le 3{,}16 \times 10^{-4} \text{ W/m}^2\)

Kết hợp điều kiện \(I>0\), khoảng cường độ âm thỏa yêu cầu là:

\[0<I\le3{,}16\times10^{-4}\text{ W/m}^2\]

Bài tập 7: Giả sử sau \(t\) ngày học, tỉ lệ phần trăm kiến thức còn ghi nhớ được mô tả bởi công thức:

\[R(t) = 85 - 25 \log_{10}(t + 1) \quad (\%)\]

(với \(t \ge 0\)). Một giáo viên muốn học sinh của mình ôn tập lại bài trước khi lượng kiến thức ghi nhớ bị tụt xuống dưới \(50\%\). Hỏi học sinh cần phải ôn tập lại bài học đó trong vòng bao nhiêu ngày?

Lời giải:

Điều kiện để lượng kiến thức còn ghi nhớ đạt từ \(50\%\) trở lên là:

\[R(t)\ge50\iff85-25\log_{10}(t+1)\ge50\]

\[-25\log_{10}(t+1)\ge-35\iff\log_{10}(t+1)\le\frac{-35}{-25}=1{,}4\]

\(t+1\le10^{1{,}4}\iff t\le10^{1{,}4}-1\)

Tính giá trị xấp xỉ:

\[10^{1{,}4} \approx 25{,}12 \implies t \le 25{,}12 - 1 \approx 24{,}12\text{ ngày}\]

Kết hợp điều kiện thời gian \(t \ge 0\), học sinh cần ôn tập lại bài trong khoảng thời gian không quá \(24\) ngày kể từ lúc học.

Bất phương trình logarit được giải dựa trên điều kiện xác định và tính đơn điệu của hàm số logarit: giữ nguyên chiều bất phương trình khi cơ số \(a>1\) và đổi chiều khi \(0<a<1\). Khi giải bất phương trình logarit, học sinh cần xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu logarit dương, thực hiện biến đổi phù hợp và lấy giao với điều kiện ban đầu để xác định chính xác tập nghiệm của bất phương trình logarit.

Để hệ thống thêm kiến thức về hàm số mũ, hàm số logarit và các dạng bài liên quan, học sinh có thể tiếp tục ôn tập tại chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.