Cách tìm thiết diện lớp 11 | Phương pháp và bài tập có lời giải

Cách tìm thiết diện của hình chóp và tứ diện dựa trên việc xác định giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình. Học sinh cần tìm đúng các giao điểm trên cạnh, nối các đỉnh theo thứ tự và kiểm tra đa giác thiết diện khép kín.

Bài viết hệ thống khái niệm thiết diện là gì, cách xác định và vẽ thiết diện theo quy trình 4 bước, vận dụng giao tuyến, giao điểm và quan hệ song song trong Toán 11 Kết nối tri thức. Các dạng bài tập tìm thiết diện được trình bày kèm phương pháp giải, cách chứng minh hình dạng và bài tự luyện có đáp án.

Thiết diện là gì? Kiến thức nền cần nhớ trước khi tìm thiết diện

Thiết diện của hình chóp hoặc tứ diện khi cắt bởi một mặt phẳng là phần chung của mặt phẳng đó với khối hình, được giới hạn bởi các đoạn giao tuyến với các mặt. Có thể hình dung đây là “lát cắt” của khối hình.

Trong bài viết, xét hình chóp có đáy lồi và mặt phẳng cắt phần bên trong khối hình, tạo một đa giác không suy biến. Nếu mặt phẳng không cắt khối hình hoặc chỉ tiếp xúc tại một điểm, một cạnh thì không thu được thiết diện đa giác đang xét.

Kiến thức nền dựa trên Bài 10 – Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian; các ví dụ dùng quan hệ song song vận dụng thêm Bài 11–13 trong Toán 11 Kết nối tri thức. [1]

• Hình chóp S.A1A2…An gồm một đa giác đáy và các mặt bên là tam giác chung đỉnh S; SA1, SA2, … là cạnh bên, các cạnh của đa giác đáy là cạnh đáy.

• Hình tứ diện ABCD là trường hợp đặc biệt: bốn đỉnh không đồng phẳng, bốn mặt đều là tam giác, có thể coi là hình chóp tam giác với đỉnh bất kỳ.

• Cách xác định một mặt phẳng dùng khi tìm thiết diện là mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng, hoặc qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó.

Số cạnh tối đa của thiết diện không vượt quá số mặt của khối đa diện lồi. Hình chóp đáy n cạnh có n + 1 mặt nên thiết diện có tối đa n + 1 cạnh. Tứ diện có 4 mặt nên thiết diện không suy biến chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác.

Ở Hình 1, mặt phẳng (α) cắt các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD), tạo các đoạn MN, NP, PQ, QM. Bốn đoạn nối tiếp nhau thành tứ giác kín MNPQ – đó là thiết diện. Cần phân biệt:

• Giao điểm: điểm chung duy nhất của một đường thẳng và một mặt phẳng (khi đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và không song song với nó).

• Giao tuyến: đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau.

• Thiết diện: đa giác được giới hạn bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của khối hình.

Công cụ để xác định thiết diện: giao tuyến và giao điểm

Muốn vẽ đúng thiết diện, cần thành thạo hai thao tác nền tảng dưới đây – gần như mọi lỗi sai khi tìm thiết diện đều bắt nguồn từ việc thực hiện sai một trong hai thao tác này.

Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau (P), (Q), học sinh tìm hai điểm chung phân biệt; đường thẳng qua hai điểm đó là giao tuyến. Khi đã biết một điểm chung, cần tìm điểm chung thứ hai bằng các đường thẳng đồng phẳng thích hợp.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD, M thuộc AB, N thuộc AC, với AM/AB = 1/3 và AN/AC = 2/3. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD).

• Trong (ABC), hai đường thẳng MN và BC không song song do AM/AB ≠ AN/AC. Gọi T = MN ∩ BC; T nằm trên phần kéo dài của BC về phía C.

• D thuộc cả (DMN) và (BCD). T thuộc MN nên thuộc (DMN), đồng thời T thuộc BC nên thuộc (BCD).

• D và T là hai điểm chung phân biệt, vì vậy (DMN) ∩ (BCD) = DT.

T là điểm phụ trên đường thẳng BC. Khi tìm thiết diện, chỉ lấy các giao điểm thuộc cạnh thật của khối hình làm đỉnh.

Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Khi đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P) và chưa có sẵn điểm chung lộ ra trên hình, ta dùng phương pháp mặt phẳng phụ: chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho dễ tìm giao tuyến của (Q) với (P); giao điểm cần tìm chính là giao điểm của d với giao tuyến đó.

Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N lần lượt nằm trong các cạnh SA, SC. Tìm giao điểm của MN với mặt phẳng (SBD).

• Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Vì O thuộc BD nên SO nằm trong (SBD).

• M, N, S, A, C cùng thuộc mặt phẳng phụ (SAC), nên MN và SO cùng nằm trong mặt phẳng này.

• Trong (SAC), MN cắt SO tại điểm I.

• I thuộc SO ⊂ (SBD) và I thuộc MN → I chính là giao điểm cần tìm.

Khi vẽ hình không gian, cần phân biệt rõ nét vẽ: nét liền cho cạnh nhìn thấy được (phía trước), nét đứt cho cạnh bị che khuất (phía sau khối hình). Vẽ đúng nét liền – nét đứt giúp hình dễ đọc và tránh nối nhầm điểm.

Cách tìm thiết diện: Phương pháp chung theo từng bước

Dù mặt phẳng cắt được cho dưới dạng nào (ba điểm, một điểm và một đường thẳng, hay kèm điều kiện song song), cách tìm thiết diện đều tuân theo một quy trình thống nhất gồm 4 bước sau.

Bước 1 – Xác định mặt phẳng cắt và các điểm đã cho

Đọc kỹ đề bài, xác định mặt phẳng cắt (α), đánh dấu ngay các điểm, đường thẳng đã biết lên hình vẽ.

Bước 2 – Tìm các đoạn giao tuyến đã xác định được

Nếu hai điểm đã cho cùng thuộc một mặt, nối chúng và xét đường thẳng qua hai điểm đó. Phần giao tuyến nằm trong mặt của khối hình mới là cạnh thiết diện.

Bước 3 – Tìm thêm đỉnh bằng giao điểm, mặt phẳng phụ hoặc quan hệ song song

Có thể kéo dài đường thẳng chứa cạnh để tìm điểm phụ, sau đó xác định giao điểm mới trên các cạnh thật. Không nối trực tiếp hai điểm nếu chưa chứng minh chúng cùng nằm trên một mặt.

Bước 4 – Khép kín đa giác và kiểm tra

Nối các đỉnh liên tiếp bằng những đoạn giao tuyến thuộc từng mặt, loại các điểm phụ ở ngoài khối hình và gọi tên thiết diện theo đúng số cạnh.

Chiến thuật kiểm tra: Mỗi cạnh thiết diện phải nằm trong ít nhất một mặt của khối hình, hai đỉnh liên tiếp cùng thuộc một mặt. Nếu mặt phẳng cắt chứa một cạnh sẵn có thì cạnh đó có thể thuộc hai mặt, vì vậy không dùng điều kiện “đúng một mặt” cho mọi trường hợp.

Cách tìm thiết diện của hình chóp và hình tứ diện theo từng dạng

Sau khi nắm quy trình chung, phần này phân loại các dạng bài tìm thiết diện thường gặp nhất, mỗi dạng có một dấu hiệu nhận biết và hướng xử lý riêng.

Dạng 1: Mặt phẳng cắt ba cạnh xuất phát từ một đỉnh

Nếu M, N, P lần lượt nằm trong các cạnh SA, SB, SC của tứ diện SABC thì mỗi cặp điểm nằm trên một mặt bên. Nối MN trong (SAB), NP trong (SBC), PM trong (SCA) được tam giác MNP khép kín. Đó là thiết diện của (MNP) với tứ diện.

Không áp dụng kết luận này cho ba điểm trên ba cạnh bất kỳ của một hình chóp có nhiều mặt: cần xét tiếp giao tuyến với các mặt còn lại.

Dạng 2: Hai điểm trên cạnh bên và một điểm trong đáy

Khi chưa thể khép kín thiết diện bằng cách nối trực tiếp các điểm đã cho, cần tìm thêm giao điểm trên các cạnh. Trường hợp dưới đây dùng tính chất giao tuyến song song: Ví dụ: hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, mặt phẳng (MNP) với M nằm trong SA, N nằm trong SB (\(\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB}\)), P là một điểm nằm trong miền trong của đáy ABCD.

• M, N cùng thuộc (SAB) → giao tuyến MN, với MN // AB (tỉ số bằng nhau).

• P thuộc đáy → giao tuyến với đáy đi qua P, song song AB (vì (MNP) chứa MN // AB), cắt AD tại E và BC tại F.

• E cùng M thuộc (SAD) → giao tuyến ME; F cùng N thuộc (SBC) → giao tuyến NF.

• Thiết diện là tứ giác MNFE, là hình thang vì MN // EF.

Dạng 3: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và một điểm

Dạng này cho mặt phẳng dưới dạng mp(E, d), với d là đường thẳng cho trước (thường nằm trong đáy) và E là điểm không thuộc d. Ví dụ: hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, d là đường chéo BD, E nằm trong cạnh SA (E khác S, A).

• d = BD nối hai đỉnh có sẵn → mặt phẳng (E, d) chính là (EBD), không cần tìm thêm điểm phụ trên đáy.

• E, B cùng thuộc (SAB) → giao tuyến EB; E, D cùng thuộc (SAD) → giao tuyến ED; giao tuyến với đáy là BD có sẵn.

• Thiết diện là tam giác EBD. Hai mặt (SBC), (SCD) chỉ gặp thiết diện lần lượt tại B, D, không tạo thêm cạnh. Kết luận này đúng với mọi E nằm trong cạnh SA, không phụ thuộc E “gần A” hay “gần S”.

Dạng 4: Tìm thiết diện của hình tứ diện

Tứ diện có 4 mặt nên thiết diện không suy biến là tam giác hoặc tứ giác. Khi mặt phẳng cắt đi qua một đỉnh, cần đếm các đoạn tạo thành biên đa giác, không đếm thêm các mặt chỉ gặp thiết diện tại một điểm. Ví dụ: tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB, AC. Tìm thiết diện của (MND).

• M, N cùng thuộc (ABC) → giao tuyến MN; vì là trung điểm AB, AC nên MN là đường trung bình, MN // BC.

• M, D cùng thuộc (ABD) → giao tuyến MD; N, D cùng thuộc (ACD) → giao tuyến ND.

• Thiết diện là tam giác MND. Mặt (BCD) chỉ gặp thiết diện tại đỉnh D, không tạo thêm cạnh; MN song song với (BCD).

Dạng 5: Thiết diện liên quan đến quan hệ song song (mở rộng)

Với mặt phẳng (α) qua M và song song với đáy, dùng định lí: một mặt phẳng thứ ba cắt hai mặt phẳng song song thì hai giao tuyến song song. Ví dụ, nếu (α) ∥ (ABCD), (SAB) ∩ (α) = MN và (SAB) ∩ (ABCD) = AB thì MN ∥ AB. Đây là vận dụng kiến thức Bài 12–13. [2]

Với hình lăng trụ: Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′, M nằm trong AA′. Mặt phẳng qua M và song song với đáy cắt BB′, CC′ tại N, P. Dựng MN ∥ AB trong mặt bên ABB′A′, rồi dựng NP ∥ BC trong BCC′B′. Nối PM được thiết diện tam giác MNP; ba cạnh tương ứng song song và bằng các cạnh của tam giác đáy.

Dạng 6: Kéo dài giao tuyến để tìm thiết diện ngũ giác

Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. M, P lần lượt là trung điểm của SA, SC; N nằm trong SB sao cho SN/SB = 2/7. Tìm thiết diện của (MNP).

1. Trong mặt (SAB), kéo dài MN cắt đường thẳng AB tại T, nằm ngoài đoạn AB về phía A.

2. Trong mặt (SBC), kéo dài NP cắt đường thẳng BC tại U, nằm ngoài đoạn BC về phía C.

3. T, U cùng thuộc (MNP) và đáy, nên TU là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Đặt E = TU ∩ AD, F = TU ∩ CD; E, F nằm trên các cạnh thật.

4. Nối PF trong (SCD), FE trong đáy và EM trong (SAD), cùng với MN, NP đã có. Mỗi đoạn đều nằm trên một mặt của hình chóp.

Thiết diện là ngũ giác MNPFE. Có thể dùng định lí Menelaus trong các tam giác SAB, SBC để kiểm tra AT = (2/3)AB, CU = (2/3)BC; từ đó suy ra AE = (2/3)AD và CF = (2/3)CD. Hai điểm T, U ở ngoài khối hình chỉ dùng để dựng giao tuyến, không phải đỉnh thiết diện.

Cách chứng minh thiết diện và nhận dạng hình dạng thiết diện

Nhiều đề bài không chỉ yêu cầu tìm thiết diện mà còn yêu cầu chứng minh hình dạng của nó. Cách chứng minh một đa giác đúng là thiết diện gồm hai phần: chỉ ra từng cạnh là giao tuyến của mặt phẳng cắt với một mặt của hình, đồng thời kiểm tra không bỏ sót mặt nào.

Đếm các đoạn giao tuyến có độ dài khác 0 tạo thành biên thiết diện, không đếm một mặt chỉ chạm tại đỉnh như một cạnh mới. Với hình chóp tứ giác lồi, thiết diện có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác; ngũ giác cũng có thể xuất hiện ở các khối nhiều mặt khác. Chứng minh hình thang bằng một cặp cạnh đối song song; chứng minh hình bình hành bằng hai cặp cạnh đối song song.

Xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (α) song song với đáy cắt phần trong các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh MNPQ là hình bình hành:

• (α) // đáy và (SAB) ∩ đáy = AB, (SAB) ∩ (α) = MN, nên MN // AB.

• Tương tự (SCD) ∩ (α) = QP nên QP // DC. Mà AB // DC (đáy là hình bình hành), suy ra MN // QP.

• Lập luận tương tự với (SAD), (SBC), ta được MQ // NP.

• MNPQ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Khi đề bài yêu cầu tính thêm độ dài cạnh hoặc diện tích thiết diện, có thể vận dụng định lí Ta-lét và tỉ lệ đoạn thẳng để tính theo tỉ số cho trước (ví dụ \(\dfrac{SM}{SA}\)) – đây là bước mở rộng, chỉ thực hiện sau khi đã xác định đúng thiết diện.

Bài tập tìm thiết diện lớp 11 có đáp án và chiến thuật làm bài

Phần này tổng hợp các dạng bài tập thường gặp trong đề kiểm tra, từ nhận diện số cạnh đến tự luận vẽ hình đầy đủ.

Nhóm bài tập xác định số cạnh

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. M, N, P lần lượt nằm trong SA, SB, SC. Thiết diện của (MNP) có nhiều nhất bao nhiêu cạnh?

Đáp án: Nhiều nhất 5 cạnh. Ba giao điểm trên SA, SB, SC chưa quyết định mặt phẳng có cắt cạnh SD hay không. Nếu mặt phẳng còn cắt AD và CD thì thiết diện có thể là ngũ giác; không được mặc định chỉ có tứ giác.

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Mặt phẳng (α) cắt cả 4 cạnh bên, không đi qua mặt đáy. Thiết diện tạo thành là hình gì?

Đáp án: Tứ giác (cắt đúng 4 trong 5 mặt, bỏ qua mặt đáy).

Câu 3: Một mặt phẳng cắt phần bên trong tứ diện, không đi qua đỉnh nào. Thiết diện có thể là tam giác, tứ giác hay ngũ giác?

Đáp án: Chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác, vì tứ diện chỉ có 4 mặt.

Bài tập tìm thiết diện của hình chóp

Phương pháp: Xét lần lượt giao tuyến trên các mặt chứa dữ kiện. Nếu phải kéo dài cạnh để dựng điểm phụ, chỉ giữ các giao điểm nằm trên cạnh thật làm đỉnh thiết diện.

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Gọi M là trung điểm SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MBD).

Lời giải: Mặt phẳng (MBD) chứa BD nên giao với đáy theo BD. B, M cùng thuộc (SBC), do đó BM là cạnh thiết diện; D, M cùng thuộc (SCD), do đó DM là cạnh thiết diện. Ba cạnh BD, BM, MD khép kín thành tam giác BMD.

Gọi O = AC ∩ BD. Trong tam giác SAC, O và M là trung điểm của AC, SC nên OM ∥ SA; không tồn tại giao điểm N = OM ∩ SA như một phép dựng thông thường. Hai mặt (SAB), (SAD) chỉ gặp thiết diện tại B, D.

Bài tập tìm thiết diện của hình tứ diện

Bài tập: Cho tứ diện ABCD. Lấy M, N, P lần lượt trong AB, AC, AD sao cho AM/AB = AN/AC = AP/AD = 2/5. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi (MNP), rồi tính tỉ số diện tích thiết diện và tam giác BCD.

Đáp án: Trong (ABC), định lí Ta-lét cho MN ∥ BC; tương tự NP ∥ CD và MP ∥ BD. Ba đoạn MN, NP, PM khép kín nên thiết diện là tam giác MNP. Tam giác này đồng dạng với BCD theo tỉ số \(\dfrac{2}{5}\). Vì vậy, \(\dfrac{S_{MNP}}{S_{BCD}}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2=\dfrac{4}{25}\). Mặt phẳng cắt song song với (BCD).

Bài tập chứng minh hình dạng và tính diện tích

Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 12 cm, AD = 9 cm. M thuộc SA và SM/SA = 2/3. Mặt phẳng (α) qua M, song song với đáy, cắt SB, SC, SD tại N, P, Q. Xác định hình dạng và tính diện tích thiết diện.

Lời giải: Theo các cặp giao tuyến song song, MN ∥ AB, NP ∥ BC, PQ ∥ CD, QM ∥ DA, nên MNPQ là hình bình hành. Lại có AB ⟂ BC nên MN ⟂ NP, do đó MNPQ là hình chữ nhật.

Trong các tam giác SAB và SAD, áp dụng Ta-lét: MN = (2/3)AB = 8 cm và MQ = (2/3)AD = 6 cm. Diện tích thiết diện bằng 8 × 6 = 48 cm².

Chiến thuật làm bài

Chiến thuật làm bài: Vẽ nét liền cho cạnh thấy, nét đứt cho cạnh khuất; đặt tên điểm mới theo thứ tự tìm được; ghi rõ mỗi đoạn thiết diện thuộc mặt nào. Trước khi kết luận, rà lại các cạnh thật của khối hình và loại điểm phụ nằm trên phần kéo dài.

Những lỗi thường gặp

• Nhầm điểm phụ với đỉnh thiết diện: Có thể kéo dài đường thẳng chứa cạnh để tìm giao điểm hỗ trợ, nhưng điểm ngoài cạnh thật không phải đỉnh thiết diện. Cần kiểm tra vị trí điểm trước khi nối đa giác.

• Nối hai điểm không cùng thuộc một mặt: lỗi nghiêm trọng nhất, tạo ra một "cạnh" không phải giao tuyến thật. Trước khi nối, luôn tự hỏi hai điểm có cùng nằm trên một mặt của hình không.

• Vội kết luận thiết diện là hình thang, hình bình hành chỉ vì "nhìn giống": hình vẽ không gian là hình chiếu, không phản ánh đúng tỉ lệ thật. Chỉ kết luận hình dạng sau khi đã chứng minh quan hệ song song bằng lập luận.

Cách tìm thiết diện của hình chóp và tứ diện dựa trên việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng và vận dụng quan hệ song song. Học sinh cần xác định đủ các đỉnh trên cạnh thật của khối hình, nối theo thứ tự để tạo đa giác khép kín; các giao điểm trên phần kéo dài chỉ dùng làm điểm phụ.

Khi chứng minh hình dạng thiết diện, cần dựa vào các quan hệ hình học đã chứng minh, đồng thời kiểm tra mỗi cạnh nằm trên một mặt của khối hình và không bỏ sót đỉnh. Học sinh có thể củng cố kiến thức qua các bài giảng Toán 11 theo bộ Kết nối tri thức tại ZIM Academy.