Một số bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5 có lời giải

Một số bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5 gồm hai dạng: tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số. Bài viết hệ thống dấu hiệu nhận biết, công thức và cách giải bằng sơ đồ đoạn thẳng theo chương trình Toán 5 Kết nối tri thức, kèm bài tập từ cơ bản đến nâng cao với tổng, hiệu hoặc tỉ số còn ẩn.

Phân biệt bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5

Ý nghĩa bản chất của tỉ số

Tỉ số giữa hai đại lượng là yếu tố then chốt để xây dựng sơ đồ đoạn thẳng. Tỉ số cho biết mối quan hệ về số phần bằng nhau giữa đại lượng thứ nhất và đại lượng thứ hai.

Nếu bài toán cho biết tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai là \(\frac23\), điều đó có nghĩa là nếu chia số thứ nhất thành 2 phần bằng nhau thì số thứ hai sẽ gồm 3 phần bằng nhau như thế. Mỗi phần ở cả hai số đều có giá trị hoàn toàn bằng nhau.

Người học cần chú ý thứ tự xuất hiện của các đại lượng khi đọc tỉ số. Nếu số A bằng \(\frac35\) số B thì số A chiếm 3 phần, số B chiếm 5 phần. Việc hiểu đúng ý nghĩa này giúp học sinh không bị nhầm lẫn khi vẽ sơ đồ.

Dấu hiệu nhận biết từng dạng toán

Dấu hiệu nhận biết bài toán tổng tỉ là đề bài cung cấp trực tiếp hoặc gián tiếp tổng của hai đại lượng, đi kèm với tỉ số giữa chúng. Bài toán yêu cầu xác định giá trị riêng biệt của từng đại lượng dựa trên tổng số phần gộp lại.

Dấu hiệu nhận biết bài toán hiệu tỉ là đề bài cho biết độ chênh lệch: nhiều hơn, ít hơn, hơn kém nhau, … giữa hai đại lượng, đi kèm với tỉ số giữa chúng. Bài toán yêu cầu xác định từng đại lượng dựa trên giá trị của phần chênh lệch. [1]

Đại lượng ứng với tử số không nhất thiết là số bé. Vì mỗi phần có cùng giá trị, đại lượng có nhiều phần hơn là đại lượng lớn hơn. Chẳng hạn, A : B = 5 : 3 thì A là số lớn, gồm 5 phần; B gồm 3 phần.

Bảng so sánh và sơ đồ tổng quan

Để giúp học sinh có cái nhìn tổng quan, bảng dưới đây so sánh các tiêu chí quan trọng giữa hai dạng toán:

Công thức tổng tỉ: Số bé = Tổng : Tổng số phần × Số phần của số bé; số lớn = Tổng − Số bé.

Công thức hiệu tỉ: Số bé = Hiệu : Hiệu số phần × Số phần của số bé; số lớn = Số bé + Hiệu.

Với bài hiệu tỉ, lấy số phần của số lớn trừ số phần của số bé. Hai số phải có tỉ số khác 1 để tìm được hiệu số phần khác 0. Tỉ số phải đúng thứ tự hai đại lượng và các đại lượng cùng loại cần được đổi về cùng đơn vị trước khi so sánh.

Cách giải bài toán tổng tỉ lớp 5

Quy trình 5 bước giải bằng sơ đồ đoạn thẳng

Có thể giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số theo 5 bước sau:

• Bước 1: Xác định chính xác tổng số lượng và tỉ số của hai đại lượng cần tìm.

• Bước 2: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu diễn hai số bằng các phần bằng nhau theo đúng tỉ số đã cho.

• Bước 3: Tìm tổng số phần bằng nhau bằng cách lấy số phần của đại lượng thứ nhất cộng với số phần của đại lượng thứ hai.

• Bước 4: Tìm giá trị của một phần bằng cách lấy tổng hai số chia cho tổng số phần bằng nhau.

• Bước 5: Tìm từng số bằng cách lấy giá trị một phần nhân với số phần tương ứng của số đó.

Hướng dẫn kiểm tra và thử lại kết quả

Sau khi hoàn thành các phép tính, học sinh không nên dừng lại ngay mà cần thực hiện bước kiểm tra lại kết quả.

Cách kiểm tra thứ nhất:

Lấy hai số vừa tìm được cộng lại với nhau xem có bằng đúng tổng đề bài cho hay không.

Cách kiểm tra thứ hai:

Lấy số thứ nhất chia cho số thứ hai để kiểm tra xem tỉ số thu được có rút gọn về đúng tỉ số ban đầu hay không.

Ví dụ minh họa bài toán tổng tỉ

Ví dụ 1: Tỉ số dạng phân số

Tổng của hai số là 35. Tỉ số của hai số đó là \(\frac23\). Tìm hai số đó.

Bài giải:

Theo đề bài, nếu coi số bé là 2 phần bằng nhau thì số lớn là 3 phần bằng nhau như thế.

Sơ đồ đoạn thẳng:

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 2 + 3 = 5 (phần)

Giá trị của một phần là:

35 : 5 = 7.

Số bé là: 7 × 2 = 14

Số lớn là: 35 - 14 = 21

Vậy số bé: 14, số lớn: 21.

Thử lại: 14 + 21 = 35; 14 : 21 = 2 : 3.

Ví dụ 2: Tỉ số dạng "gấp... lần"

Khối 5 có 120 học sinh. Số học sinh nữ gấp 3 lần số học sinh nam. Tính số học sinh nam và nữ.

Bài giải:

Vì số học sinh nữ gấp 3 lần số học sinh nam nên tỉ số giữa số học sinh nam và nữ là \(\frac13\).

Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 3 = 4 (phần)

Số học sinh nam là: 120 : 4 × 1 = 30 (học sinh).

Số học sinh nữ là:

120 - 30 = 90 (học sinh)

Vậy có 30 học sinh nam và 90 học sinh nữ.

Thử lại: 30 + 90 = 120; 90 : 30 = 3.

Những lỗi sai phổ biến cần tránh

Lỗi sai thứ nhất: Lấy tổng chia trực tiếp cho tử số hoặc mẫu số của tỉ số thay vì chia cho tổng số phần bằng nhau.

Lỗi sai thứ hai: Xác định nhầm số phần của từng đại lượng, dẫn đến việc nhân sai số phần ở bước tìm đáp số.

Lỗi sai thứ ba: Không thể hiện rõ số phần tương ứng của hai đại lượng nên khó kiểm tra lập luận. Học sinh nên vẽ sơ đồ hoặc diễn đạt rõ cách chia thành các phần bằng nhau; yêu cầu trình bày cụ thể phụ thuộc đề bài.

Cách giải bài toán hiệu tỉ lớp 5

Quy trình 5 bước giải bằng sơ đồ đoạn thẳng

Để giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số, học sinh thực hiện theo 5 bước sau:

• Bước 1: Xác định rõ hiệu và tỉ số của hai số trong bài toán.

• Bước 2: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thể hiện số phần bằng nhau của đại lượng lớn và đại lượng bé.

• Bước 3: Tìm hiệu số phần bằng nhau bằng cách lấy số phần của đại lượng lớn trừ số phần của đại lượng bé.

• Bước 4: Tìm giá trị một phần bằng cách lấy hiệu hai số chia cho hiệu số phần bằng nhau.

• Bước 5: Tìm từng số bằng cách lấy giá trị một phần nhân với số phần tương ứng.

Ví dụ minh họa bài toán hiệu tỉ

Ví dụ: Câu lạc bộ thể thao khối 5 có số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ là 6 em. Tỉ số giữa số học sinh nam và nữ là \(\frac45\). Tính số học sinh nam và nữ của câu lạc bộ.

Bài giải:

Theo đề bài, nếu coi số học sinh nam là 4 phần bằng nhau thì số học sinh nữ là 5 phần bằng nhau như thế.

Sơ đồ đoạn thẳng:

Hiệu: 6 em

Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là:

5 - 4 = 1 (phần)

Giá trị của một phần là:

6 : 1 = 6 (học sinh)

Số học sinh nam là:

6 × 4 = 24 (học sinh)

Số học sinh nữ là:

24 + 6 = 30 (học sinh)

Đáp số: Nam: 24 em; Nữ: 30 em.

Thử lại: 30 − 24 = 6; 24 : 30 = 4 : 5.

So sánh quy trình giải hiệu tỉ với tổng tỉ

Điểm tương đồng giữa hai quy trình là đều sử dụng sơ đồ đoạn thẳng và tìm giá trị của một phần trước khi tính các đại lượng.

Điểm khác biệt quan trọng nằm ở Bước 3 và Bước 4. Trong bài tổng tỉ, học sinh thực hiện phép cộng số phần và lấy tổng chia cho tổng số phần. Trong bài hiệu tỉ, học sinh thực hiện phép trừ số phần và lấy hiệu chia cho hiệu số phần.

Những lỗi sai phổ biến cần tránh

Lỗi thứ nhất: Lấy số phần cộng lại với nhau trong bài toán hiệu tỉ thay vì thực hiện phép trừ.

Lỗi thứ hai: Nhầm lẫn giữa từ chỉ độ chênh lệch ("nhiều hơn", "ít hơn") với tổng số lượng.

Lỗi thứ ba: Trừ số phần theo thứ tự ngược làm sai bản chất sơ đồ.

Các dạng bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5 thường gặp

Dạng cho trực tiếp tổng hoặc hiệu và tỉ số

Đây là dạng toán nền tảng nhất trong chương trình. Đề bài cung cấp đầy đủ và trực tiếp các số liệu về tổng hoặc hiệu cùng với tỉ số của hai đại lượng.

Khi gặp dạng này, học sinh chỉ cần xác định số phần tương ứng của từng đại lượng, vẽ sơ đồ đoạn thẳng và áp dụng trực tiếp quy trình 5 bước để giải.

Ví dụ 1 (Tổng - Tỉ): Hai kho chứa tất cả 180 tấn gạo. Tỉ số gạo giữa kho A và kho B là \(\frac45\). Tính số gạo ở mỗi kho.

Đáp số: Kho A có 80 tấn, Kho B có 100 tấn.

Ví dụ 2 (Hiệu - Tỉ): Đoạn thẳng AB ngắn hơn đoạn thẳng CD là 15 cm. Tỉ số độ dài giữa AB và CD là \(\frac25\). Tính độ dài mỗi đoạn thẳng.

Đáp số: AB dài 10 cm, CD dài 25 cm.

Dạng cho tỉ số dưới cách diễn đạt “gấp ... lần”

Trong nhiều bài toán thực tế, tỉ số không được cho dưới dạng phân số mà được diễn đạt qua các cụm từ như "gấp n lần" hoặc "bằng 1 phần n".

Học sinh cần chủ động chuyển đổi câu văn "Đại lượng A gấp n lần đại lượng B" thành tỉ số phân số \(A : B = n : 1\). Từ đó xác định đại lượng A ứng với n phần, đại lượng B ứng với 1 phần.

Ví dụ: Đề bài cho "Số lớn gấp 4 lần số bé", học sinh chuyển thành tỉ số số bé và số lớn là \(\frac14\). Khi đó số bé gồm 1 phần, số lớn gồm 4 phần.

Người học cần phân biệt rõ ràng giữa câu "A gấp n lần B" để chỉ tỉ số với câu "A hơn B n đơn vị" để chỉ hiệu. Sự nhầm lẫn này sẽ dẫn đến việc chọn sai phương pháp giải.

Dạng bài toán hình học

Các bài toán hình học kết hợp tổng tỉ hoặc hiệu tỉ thường khai thác mối quan hệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Đối với bài toán tổng tỉ hình học: Đề bài thường cho biết chu vi hình chữ nhật. Học sinh phải thực hiện phép tính tìm nửa chu vi để xác định tổng chiều dài và chiều rộng.

Đối với bài toán hiệu tỉ hình học: Đề bài cho biết chiều dài hơn chiều rộng một số m (chính là hiệu) kèm theo tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng.

Sau khi áp dụng quy trình tổng tỉ hoặc hiệu tỉ để tìm ra chiều dài và chiều rộng, học sinh tiếp tục thực hiện các bước tính chu vi hoặc diện tích theo yêu cầu của đề bài.

Dạng bài toán về tuổi

Bài toán về tuổi là dạng toán rất quen thuộc nhưng dễ gây nhầm lẫn nếu học sinh không nắm vững nguyên tắc cốt lõi.

Nguyên tắc quan trọng nhất cần ghi nhớ: Hiệu số tuổi của hai người luôn không thay đổi theo thời gian. Dù trải qua bao nhiêu năm, người này vẫn hơn người kia đúng một số tuổi cố định.

Tuy nhiên, tỉ số tuổi giữa hai người lại thay đổi qua từng thời điểm. Do đó, khi đề bài cho tỉ số tuổi ở thời điểm nào (ví dụ: sau 3 năm hay trước 2 năm), học sinh phải giải bài toán hiệu tỉ tại đúng thời điểm đó.

Sau khi tính được tuổi của từng người tại thời điểm có tỉ số, học sinh thực hiện phép cộng hoặc trừ số năm để quay về xác định tuổi hiện tại.

Một số bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5 có lời giải

Bài tập tổng tỉ cơ bản

Bài 1: Tổng của hai số là 144. Tỉ số của hai số đó là \(\frac35\). Tìm hai số đó và tính hiệu của hai số.

Bài giải:

Theo đề bài, tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)

Giá trị của một phần là:

144 : 8 = 18

Số bé là: 18 × 3 = 54

Số lớn là: 18 × 5 = 90

Hiệu của hai số là:

90 - 54 = 36

Đáp số: Số bé: 54; Số lớn: 90; Hiệu: 36.

Bài 2: Một cửa hàng bán được 240 kg gạo trong hai ngày. Số gạo bán ngày thứ nhất bằng \(\frac13\) số gạo bán ngày thứ hai. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu kg gạo?

Bài giải:

Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)

Số gạo bán ngày thứ nhất là:

240 : 4 × 1 = 60 (kg)

Số gạo bán ngày thứ hai là:

240 - 60 = 180 (kg)

Đáp số: Ngày 1: 60 kg; Ngày 2: 180 kg.

Bài 3: Hai kệ sách có tất cả 150 quyển sách. Số sách ở kệ thứ nhất gấp 4 lần số sách ở kệ thứ hai. Tìm số sách ở mỗi kệ.

Bài giải:

Tỉ số giữa số sách kệ hai và kệ một là \(\frac14\).

Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)

Số sách ở kệ thứ hai là:

150 : 5 × 1 = 30 (quyển)

Số sách ở kệ thứ nhất là:

150 - 30 = 120 (quyển)

Đáp số: Kệ 1: 120 quyển; Kệ 2: 30 quyển.

Bài tập hiệu tỉ cơ bản

Bài 1: Hiệu của hai số là 85. Tỉ số của hai số đó là \(\frac27\). Tìm hai số đó.

Bài giải:

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 - 2 = 5 (phần)

Giá trị một phần là: 85 : 5 = 17

Số bé là: 17 × 2 = 34

Số lớn là: 34 + 85 = 119

Đáp số: Số bé: 34; Số lớn: 119.

Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 18 m. Biết chiều rộng bằng \(\frac35\) chiều dài. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất.

Bài giải:

Hiệu số phần bằng nhau là: 5 - 3 = 2 (phần)

Chiều rộng mảnh đất là:

18 : 2 × 3 = 27 (m)

Chiều dài mảnh đất là:

27 + 18 = 45 (m)

Đáp số: Chiều rộng: 27 m; Chiều dài: 45 m.

Bài 3: Bố hơn con 28 tuổi. Tuổi con bằng \(\frac15\) tuổi bố. Tính tuổi của mỗi người.

Bài giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 - 1 = 4 (phần)

Tuổi của con là:

28 : 4 × 1 = 7 (tuổi)

Tuổi của bố là:

7 + 28 = 35 (tuổi)

Đáp số: Con: 7 tuổi; Bố: 35 tuổi.

Bài tập phân biệt tổng tỉ và hiệu tỉ

Học sinh hãy xác định dạng toán trước khi tham khảo lời giải:

Bài 1: Quãng đường từ nhà đến trường dài hơn quãng đường từ nhà đến chợ 400 m. Tỉ số độ dài quãng đường từ nhà đến trường và từ nhà đến chợ là \(\frac31\). Tính độ dài mỗi quãng đường.

Xác định dạng: Hiệu - Tỉ (Dấu hiệu: "dài hơn 400 m").

Bài giải:

Hiệu số phần: 3 - 1 = 2 (phần).

Quãng đường đến chợ:

400 : 2 × 1 = 200 (m).

Quãng đường đến trường:

200 + 400 = 600 (m).

Đáp số: Đến trường 600 m; đến chợ 200 m.

Bài 2: Tổng số tiền mẹ mua rau và mua thịt là 160 000 đồng. Số tiền mua rau bằng \(\frac13\) số tiền mua thịt. Tính số tiền mẹ mua mỗi loại.

Xác định dạng: Tổng - Tỉ (Dấu hiệu: "Tổng số tiền là 160 000 đồng").

Bài giải:

Tổng số phần: 1 + 3 = 4 (phần).

Tiền dùng để mua rau:

160 000 : 4 × 1 = 40 000 (đồng).

Tiền dùng để mua thịt:

160 000 - 40 000 = 120 000 (đồng).

Đáp số: Mua rau 40 000 đồng; mua thịt 120 000 đồng.

Bài 3: Lớp 5B trồng nhiều hơn lớp 5A là 15 cây. Số cây lớp 5A trồng bằng \(\frac47\) số cây lớp 5B trồng. Tính số cây mỗi lớp trồng.

Xác định dạng: Hiệu – tỉ, vì đề cho số cây chênh lệch và tỉ số giữa số cây hai lớp.

Bài giải:

Hiệu số phần: 7 - 4 = 3 (phần).

Số cây lớp 5A trồng là:

15 : 3 × 4 = 20 (cây).

Số cây lớp 5B trồng là:

20 + 15 = 35 (cây).

Đáp số: Lớp 5A trồng 20 cây; lớp 5B trồng 35 cây.

Bài 4: Một sợi dây dài 90 cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất dài gấp 2 lần đoạn thứ hai. Tính độ dài mỗi đoạn dây.

Xác định dạng: Tổng - Tỉ (Dấu hiệu: "sợi dây dài 90 cm" là tổng độ dài).

Bài giải:

Tỉ số 2 đoạn dây là: \(\frac21\).

Tổng số phần: 2 + 1 = 3 (phần).

Chiều dài đoạn dây thứ hai:

90 : 3 × 1 = 30 cm.

Chiều dài đoạn dây thứ nhất:

90 - 30 = 60 cm.

Đáp số: Đoạn thứ nhất 60 cm; đoạn thứ hai 30 cm.

Một số bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5 nâng cao

Dạng ẩn tổng hoặc ẩn hiệu

Trong các bài toán nâng cao, đề bài thường che giấu dữ kiện tổng hoặc hiệu. Học sinh phải thực hiện các bước tính trung gian để tìm ra tổng hoặc hiệu thực sự trước khi lập sơ đồ giải.

Ví dụ cấu trúc 1: Cho biết chu vi hình chữ nhật và tỉ số giữa chiều dài, chiều rộng. Học sinh phải lấy chu vi chia 2 để tìm nửa chu vi (chính là tổng chiều dài và chiều rộng).

Ví dụ cấu trúc 2: Cho biết tổng của ba số và giá trị của số thứ ba, biết tỉ số của số thứ nhất và số thứ hai. Học sinh lấy tổng ba số trừ đi số thứ ba để ra tổng của hai số còn lại.

Bài toán mẫu: Chu vi một mảnh đất hình chữ nhật là 120 m. Biết chiều rộng bằng \(\frac13\) chiều dài. Tính diện tích mảnh đất đó.

Bài giải:

Nửa chu vi (tổng chiều dài và chiều rộng) mảnh đất là:

120 : 2 = 60 (m)

Tổng số phần bằng nhau là:

1 + 3 = 4 (phần)

Chiều rộng mảnh đất là:

60 : 4 × 1 = 15 (m)

Chiều dài mảnh đất là:

60 - 15 = 45 (m)

Diện tích mảnh đất là:

45 × 15 = 675 (\(m^2\))

Đáp số: 675 \(m^2\).

Ví dụ ẩn hiệu: Ngăn trên có số sách bằng \(\frac74\) số sách ngăn dưới. Chuyển 12 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì hai ngăn có số sách bằng nhau. Tính số sách mỗi ngăn lúc đầu.

Bài giải: Khi chuyển 12 quyển, ngăn trên giảm 12 quyển và ngăn dưới tăng 12 quyển. Vì vậy, hiệu số sách ban đầu là: 12 × 2 = 24 (quyển).

Hiệu số phần là: 7 − 4 = 3 (phần).

Số sách ngăn dưới lúc đầu là: 24 : 3 × 4 = 32 (quyển).

Số sách ngăn trên lúc đầu là: 32 + 24 = 56 (quyển).

Đáp số: Ngăn trên 56 quyển; ngăn dưới 32 quyển.

Thử lại: 56 − 12 = 32 + 12 = 44 (quyển).

Dạng thay đổi một hoặc hai đại lượng rồi xuất hiện tỉ số mới

Ở dạng bài này, đề bài cho dữ kiện ban đầu kèm thao tác thêm hoặc bớt một lượng ở một hoặc hai đại lượng, từ đó tạo ra tỉ số mới.

Học sinh cần phân tích sự thay đổi của tổng hoặc hiệu sau thao tác thêm/bớt. Nếu cùng thêm (hoặc cùng bớt) một lượng như nhau ở cả hai số thì hiệu hai số không thay đổi.

Lưu ý quan trọng: Tỉ số mới mô tả mối quan hệ của các đại lượng ở thời điểm sau khi đã thêm hoặc bớt. Học sinh phải áp dụng sơ đồ cho thời điểm mới, sau đó mới tính ngược lại giá trị ban đầu.

Bài toán mẫu: Thùng thứ nhất có nhiều hơn thùng thứ hai 20 lít dầu. Nếu thêm vào mỗi thùng 5 lít dầu thì số dầu ở thùng thứ hai bằng \(\frac35\) số dầu ở thùng thứ nhất. Tính số dầu ở mỗi thùng lúc đầu.

Bài giải:

Vì cùng thêm vào mỗi thùng 5 lít dầu nên hiệu số dầu giữa thùng thứ nhất và thùng thứ hai không đổi, vẫn là 20 lít.

Hiệu số phần bằng nhau lúc sau là:

5 - 3 = 2 (phần)

Giá trị một phần là:

20 : (5 - 3) = 10 (lít)

Số dầu ở thùng thứ hai lúc sau là:

10 × 3 = 30 (lít)

Số dầu ở thùng thứ hai lúc đầu là:

30 - 5 = 25 (lít)

Số dầu ở thùng thứ nhất lúc đầu là:

25 + 20 = 45 (lít)

Đáp số: Thùng một: 45 lít; Thùng hai: 25 lít.

Dạng thay đổi tỉ số theo thời gian

Đây là dạng toán về tuổi nâng cao. Tỉ số tuổi của hai người thay đổi ở các thời điểm khác nhau (quá khứ, hiện tại, tương lai), nhưng hiệu số tuổi luôn giữ nguyên.

Phương pháp giải là lập sơ đồ đoạn thẳng tại thời điểm đề bài cung cấp tỉ số cụ thể. Sau khi giải bài toán hiệu tỉ ở thời điểm đó, học sinh cộng/trừ số năm để đưa kết quả về hiện tại.

Bài toán mẫu: Hiện nay mẹ hơn con 24 tuổi. Sau 3 năm nữa, tuổi con bằng \(\frac14\) tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

Bài giải:

Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên sau 3 năm nữa mẹ vẫn hơn con 24 tuổi.

Hiệu số phần bằng nhau sau 3 năm nữa là:

4 - 1 = 3 (phần)

Giá trị một phần là:

24 : 3 = 8 (tuổi)

Tuổi con sau 3 năm nữa là:

8 × 1 = 8 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là:

8 - 3 = 5 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là:

5 + 24 = 29 (tuổi)

Đáp số: Con: 5 tuổi; Mẹ: 29 tuổi.

Dạng kết hợp tổng tỉ hoặc hiệu tỉ với kiến thức hình học

Dạng bài này kết hợp các thao tác biến đổi kích thước hình học (tăng/giảm chiều dài, chiều rộng) để đưa bài toán về dạng tổng tỉ hoặc hiệu tỉ.

Bài toán: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12 m. Nếu tăng chiều rộng thêm 4 m và giữ nguyên chiều dài thì chiều rộng mới bằng \(\frac23\) chiều dài. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu.

Phân tích bài toán: Khi tăng chiều rộng thêm 4 m, hiệu giữa chiều dài và chiều rộng mới giảm đi 4 m. Hiệu mới sẽ là: 12 - 4 = 8 m. Bài toán trở về dạng hiệu tỉ cơ bản với hiệu mới là 8 m và tỉ số \(\frac23\).

Bài giải: Hiệu số phần ở trạng thái mới là: 3 − 2 = 1 (phần).

Chiều rộng mới là: 8 : 1 × 2 = 16 (m).

Chiều rộng ban đầu là: 16 − 4 = 12 (m).

Chiều dài ban đầu là: 12 + 12 = 24 (m).

Đáp số: Chiều rộng 12 m; chiều dài 24 m.

Thử lại: 24 − 12 = 12 (m); (12 + 4) : 24 = 2 : 3.

Dạng ẩn tỉ số

Bài toán: Một hộp có 45 viên bi đỏ và xanh. Biết 2 lần số bi đỏ bằng 3 lần số bi xanh. Tính số bi mỗi màu.

Bài giải: Vì 2 lần số bi đỏ bằng 3 lần số bi xanh nên số bi đỏ gấp \(\frac32\) số bi xanh. Nếu coi số bi xanh là 2 phần thì số bi đỏ là 3 phần bằng nhau như thế.

Tổng số phần là: 3 + 2 = 5 (phần).

Số bi đỏ là: 45 : 5 × 3 = 27 (viên).

Số bi xanh là: 45 − 27 = 18 (viên).

Đáp số: Bi đỏ 27 viên; bi xanh 18 viên.

Thử lại: 27 + 18 = 45; 27 × 2 = 18 × 3 = 54.

Quy trình phân tích bài toán nâng cao

Quy trình phân tích chung cho tất cả các bài toán nâng cao gồm 5 bước cốt lõi:

• Bước 1: Xác định chính xác hai đại lượng cần tìm.

• Bước 2: Xác định thời điểm hoặc trạng thái mà tỉ số đang mô tả.

• Bước 3: Tìm tổng hoặc hiệu thực sự tương ứng với tỉ số ở thời điểm đó.

• Bước 4: Lập sơ đồ đoạn thẳng và áp dụng công thức tìm hai số.

• Bước 5: Chuyển kết quả tìm được về đúng thời điểm hoặc trạng thái ban đầu mà đề bài yêu cầu và kiểm tra lại.

Để giải một số bài toán tổng tỉ và hiệu tỉ lớp 5, học sinh cần xác định đúng hai đại lượng, tỉ số và tổng hoặc hiệu. Bài tổng tỉ lấy tổng chia cho tổng số phần bằng nhau; bài hiệu tỉ lấy hiệu chia cho hiệu số phần bằng nhau để tìm giá trị một phần.

Với bài nâng cao, cần tìm dữ kiện còn ẩn hoặc đưa các đại lượng về cùng thời điểm trước khi vẽ sơ đồ. Luyện tập kết hợp thử lại kết quả giúp học sinh củng cố kĩ năng giải toán có lời văn trong Toán 5 theo Kết nối tri thức.