Phép tịnh tiến | Định nghĩa, tính chất, công thức và bài tập

Phép tịnh tiến là phép biến hình trong mặt phẳng, dịch chuyển mỗi điểm theo cùng một vectơ, bảo toàn khoảng cách, góc, hình dạng và kích thước. Nội dung này thuộc Bài 2, Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức.

Bài viết hệ thống định nghĩa, tính chất và công thức tọa độ của phép tịnh tiến, hướng dẫn tìm ảnh của điểm, đường thẳng và đường tròn, kèm các dạng bài tập có lời giải.

Phép tịnh tiến là gì?

Cho vectơ \(\vec{v}\) trong mặt phẳng. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{MM'} = \vec{v}\) được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\). [1].

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) thường được ký hiệu là \(T_{\vec{v}}\). . Trong đó, vectơ \(\vec{v}\) được gọi là vectơ tịnh tiến.

Ký hiệu \(T_{\vec{v}}(M) = M'\) tương đương hoàn toàn với đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{MM'} = \vec{v}\).

Trong Bài 2, Chuyên đề 1: Phép biến hình trong mặt phẳng, sách Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức, phép tịnh tiến được xác định bởi một vectơ cho trước.

Phép biến hình là quy tắc gán mỗi điểm M trong mặt phẳng với duy nhất một điểm ảnh M′. Phép tịnh tiến là một trường hợp của phép biến hình; do bảo toàn khoảng cách, nó cũng là một phép dời hình.

Trong trường hợp đặc biệt, khi vectơ tịnh tiến \(\vec{v}\) là vectơ-không (ký hiệu \(\vec{0}\)), phép tịnh tiến \(T_{\vec{0}}\) biến mỗi điểm \(M\) thành chính nó. Khi đó, phép tịnh tiến được gọi là phép đồng nhất.

Nếu \(\vec{v}\ne\vec{0}\), không có điểm nào là ảnh của chính nó. Điều này khác với việc một đường thẳng có thể được biến thành chính đường thẳng đó.

Công thức phép tịnh tiến trong hệ tọa độ Oxy

Với vectơ tịnh tiến \(\vec{v}=(a;b)\), công thức tọa độ giúp tìm điểm ảnh, điểm gốc và vectơ dịch chuyển.

Giả sử trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ tịnh tiến \(\vec{v} = (a; b)\) và điểm \(M(x; y)\). Gọi điểm \(M'(x'; y')\) là ảnh của điểm \(M\) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\)..

Theo định nghĩa phép tịnh tiến, đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{MM'} = \vec{v}\) tương đương với mối liên hệ giữa các tọa độ tương ứng:

\[\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}\]

Hệ phương trình trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).

Từ biểu thức tọa độ này, người học có thể suy ra hai bài toán ngược quan trọng trong tính toán.

Thứ nhất, khi biết tọa độ điểm ảnh \(M'(x'; y')\) và vectơ tịnh tiến \(\vec{v} = (a; b)\), tọa độ điểm gốc \(M(x; y)\) được xác định bởi công thức: \(x = x' - a\) và \(y = y' - b\).

Thứ hai, khi biết tọa độ điểm gốc \(M(x; y)\) và điểm ảnh \(M'(x'; y')\), tọa độ của vectơ tịnh tiến \(\vec{v} = (a; b)\) được tính bằng: \(a = x' - x\) và \(b = y' - y\).

Ví dụ áp dụng: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M(3; -2)\) và vectơ \(\vec{v} = (-1; 5)\). Tìm tọa độ điểm \(M'\) là ảnh của điểm \(M\) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).

Lời giải: Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\), tọa độ điểm \(M'(x'; y')\) được tính như sau: \(x' = 3 + (-1) = 2\) và \(y' = -2 + 5 = 3\). Vậy điểm \(M'\)có tọa độ là \((2;3)\).

Tính chất của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến sở hữu nhiều tính chất hình học đặc trưng, trong đó tính chất cơ bản nhất là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Tính chất 1: Bảo toàn khoảng cách

Nếu phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) biến hai điểm \(M, N\) lần lượt thành hai điểm \(M', N'\) thì \(M'N' = MN\).

Việc chứng minh tính chất này dựa vào biểu thức vectơ: \[\begin{aligned}\overrightarrow{M'N'} &= \overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NN'} \\&= -\vec{v} + \overrightarrow{MN} + \vec{v} \\&= \overrightarrow{MN}\end{aligned}\]

Từ đó suy ra độ dài đoạn thẳng \(M'N'\) bằng độ dài \(MN\).

Tính chất 2: Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự điểm

Nội dung: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa ba điểm đó.

Tính chất 3: Ảnh của đoạn thẳng và tam giác

Nội dung: Phép tịnh tiến biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành tam giác bằng nó.

Tính chất 4: Ảnh của đường tròn

Nội dung: Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và tâm của đường tròn ảnh là ảnh của tâm đường tròn ban đầu.

Tính chất 5: Bảo toàn số đo góc

Nội dung: Phép tịnh tiến biến một góc thành góc bằng nó.

Cách tìm ảnh của đường thẳng và đường tròn

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành gì?

Phép tịnh tiến biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó; đường thẳng ảnh không nhất thiết khác đường ban đầu.

Cho đường thẳng d và phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\). Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\). Khi đó, đường thẳng d’ luôn song song hoặc trùng với đường thẳng d:

Với \(d:Ax+By+C=0\), \(A^2+B^2>0\) và \(\vec{v}=(a;b)\), phương trình đường thẳng ảnh là:

\[d^{\prime}:A(x-a)+B(y-b)+C=0\]

\[\Longleftrightarrow Ax+By+C-Aa-Bb=0\]

• Nếu \(Aa+Bb=0\) thì d′ trùng d, bao gồm cả vectơ tịnh tiến bằng 0.

• Nếu \(Aa+Bb\ne0\) thì d′ song song với d và không trùng d.

Khi vectơ tịnh tiến khác 0, điều kiện d′ trùng d tương đương vectơ tịnh tiến cùng phương với vectơ chỉ phương của d.

Để lập phương trình đường thẳng ảnh d', người học có thể lựa chọn một trong hai phương pháp giải chi tiết và dễ nhớ dưới đây.

Phương pháp 1: Thế biểu thức tọa độ

Phương pháp này áp dụng trực tiếp biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến qua ba bước:

• Bước 1: Lấy điểm \(M(x; y)\) bất kỳ thuộc d. Gọi \(M'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M)\) là ảnh của M qua vectơ tịnh tiến \(\vec{v} = (a; b)\).

• Bước 2: Biểu diễn x, y theo x', y’ dựa vào công thức: \(x = x' - a\) và \(y = y' - b\).

• Bước 3: Thay x và y vừa rút vào phương trình đường thẳng d, thu gọn phương trình bậc nhất giữa x’ và y'. Đó chính là phương trình đường thẳng d'.

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất song song

Do d’ song song hoặc trùng với d, hai đường thẳng này có cùng vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=(A;B)\):

• Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d’ dưới dạng \(Ax + By + C' = 0\).

• Bước 2: Chọn một điểm cụ thể \(M_0(x_0; y_0)\) thuộc d, tìm tọa độ ảnh \(M_0'(x_0'; y_0') = T_{\vec{v}}(M_0)\).

• Bước 3: Thay tọa độ \(M_0'\) vào phương trình d’ để tìm hằng số C', từ đó kết luận phương trình d'.

Ví dụ minh họa chi tiết

Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng \(d: 3x - 2y + 1 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v} = (2; -1)\).

Lời giải:

Cách 1 - Thế tọa độ:

Lấy điểm \(M(x; y)\) thuộc d và \(M'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M)\). Theo biểu thức tọa độ, người học có \(x = x' - 2\) và \(y = y' + 1\).

Thay x và y vào phương trình đường thẳng d:

\[3(x' - 2) - 2(y' + 1) + 1 = 0\]

Rút gọn phương trình:

\[3x^{\prime}-6-2y^{\prime}-2+1=0\iff3x^{\prime}-2y^{\prime}-7=0\]

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x - 2y - 7 = 0\).

Cách 2 - Dùng tính chất song song:

Vì d’ song song hoặc trùng với d nên phương trình d’ có dạng \(3x - 2y + C' = 0\).

Chọn điểm \(M_0(1; 2)\) thuộc đường thẳng d vì \(3(1) - 2(2) + 1 = 0\). Tọa độ ảnh \(M_0'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M_0)\) thỏa mãn \(x' = 1 + 2 = 3\) và \(y' = 2 + (-1) = 1\), suy ra \(M_0'(3; 1)\).

Do \(M_0' \in d'\), thay tọa độ \(M_0'(3; 1)\) vào phương trình d':

\[3(3)-2(1)+C^{\prime}=0\iff7+C^{\prime}=0\iff C^{\prime}=-7\]

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x - 2y - 7 = 0\).

Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến

Cho đường tròn \((C):(x-h)^2+(y-k)^2=R^2\), R>0. Qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}=(a;b)\), tâm I(h;k) biến thành I′(h+a;k+b), còn bán kính không đổi. Do đó:

\[(C^{\prime}):[x-(h+a)]^2+[y-(k+b)]^2=R^2\]

Có thể kiểm tra bằng cách thay x−a, y−b vào phương trình đường tròn ban đầu. Với một hình có phương trình \(F(x;y)=0\), phương trình ảnh là \(F(x-a;y-b)=0\).

Học sinh có thể ôn lại cách xác định tâm và bán kính từ phương trình đường tròn trước khi tìm đường tròn ảnh.

Ứng dụng thực tế của phép tịnh tiến

Ứng dụng trong đội hình diễu hành

Trong các buổi diễu hành hoặc đồng diễn thể thao, các thành viên di chuyển theo cùng một hướng và cùng một khoảng cách. Mỗi bước tiến của toàn đội hình tương ứng với một phép tịnh tiến theo cùng một vectơ \(\vec{v}\). Nhờ tính chất bảo toàn khoảng cách của phép tịnh tiến, cự ly và hình dạng của đội hình luôn được duy trì ổn định trong suốt quá trình di chuyển.

Ứng dụng trong lát sàn và trang trí

Trong cách lát sàn theo lưới bằng các viên gạch vuông cùng kích thước và cùng hướng họa tiết, những viên gạch tương ứng có thể là ảnh của nhau qua phép tịnh tiến. Vectơ dịch chuyển được xác định theo số hàng, số cột và cạnh viên gạch; không phải mọi kiểu lát sàn đều chỉ sử dụng phép tịnh tiến.

Ứng dụng trong kỹ thuật và chuyển động

Trong cơ khí và đời sống hàng ngày, các thiết bị như pít-tông di chuyển trong xilanh, cửa trượt tự động hay thang máy đều thực hiện chuyển động tịnh tiến. Ngoài ra, trong công nghệ đồ họa máy tính, thuật toán dịch chuyển đối tượng cũng dựa trên biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để di chuyển hình ảnh trên màn hình mà không làm biến dạng vật thể.

Bài tập phép tịnh tiến có lời giải

Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm và điểm gốc

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ tịnh tiến \(\vec{v} = (3; -4)\), điểm \(A(-2; 5)\) và điểm \(B'(4; 1)\).

a) Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).

b) Tìm tọa độ điểm B sao cho điểm B’ là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Gọi \(A'(x_{A'}; y_{A'})\) là ảnh của điểm \(A(-2; 5)\) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) với \(\vec{v} = (3; -4)\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, học sinh tính toán như sau:

\[\begin{cases} x_{A'} = x_A + a = -2 + 3 = 1 \\ y_{A'} = y_A + b = 5 + (-4) = 1 \end{cases}\]

Vậy tọa độ điểm ảnh \(A'\) là \(A'(1; 1)\).

b) Gọi \(B(x_B; y_B)\) là điểm gốc cần tìm sao cho \(T_{\vec{v}}(B) = B'(4; 1)\).

Theo công thức tính tọa độ điểm gốc, người học suy ra:

\[\begin{cases} x_B = x_{B'} - a = 4 - 3 = 1 \\ y_B = y_{B'} - b = 1 - (-4) = 5 \end{cases}\]

Vậy tọa độ điểm gốc \(B\) là \(B(1; 5)\).

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn ảnh

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\). Lập phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) với vectơ \(\vec{v} = (2; -5)\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) ban đầu.

Phương trình (C) có dạng \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 2, b = -3, c = -3\).

Tâm của (C) là I(2; -3) và bán kính \[R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-3)} = \sqrt{16} = 4\]

Bước 2: Tìm tâm I’ của đường tròn ảnh (C').

Do \((C') = T_{\vec{v}}((C))\) nên tâm \(I'(x'; y')\) của (C') là ảnh của tâm I(2; -3) qua \(T_{\vec{v}}\) với \(\vec{v} = (2; -5)\).

Áp dụng biểu thức tọa độ, học sinh thu được:

\[\begin{cases} x' = x_I + a = 2 + 2 = 4 \\ y' = y_I + b = -3 + (-5) = -8 \end{cases}\]

Do đó, đường tròn (C') có tâm là I'(4; -8).

Bước 3: Lập phương trình đường tròn ảnh (C').

Theo tính chất phép tịnh tiến, đường tròn ảnh (C') có bán kính bằng bán kính đường tròn (C), tức là R' = R = 4.

Phương trình đường tròn (C') tâm I'(4; -8) và bán kính R' = 4 là:

\[(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16\]

Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng và xác định vectơ

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M(1; 3), M'(5; -1) và đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0.

a) Tìm tọa độ vectơ \(\vec{v}\) sao cho phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) biến M thành M'.

b) Lập phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\)vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

a) Theo định nghĩa phép tịnh tiến, \(T_{\vec{v}}(M)=M^{\prime}\iff\vec{v}=\overrightarrow{MM'}\).

Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{MM'}\) được xác định bằng cách lấy tọa độ điểm M’ trừ tọa độ điểm M:

\[\vec{v} = (5 - 1; -1 - 3) = (4; -4)\]

Vậy vectơ tịnh tiến cần tìm là \(\vec{v} = (4; -4)\).

b) Để tìm phương trình đường thẳng d', áp dụng phương pháp thế biểu thức tọa độ.

Lấy điểm \(P(x; y)\) bất kỳ thuộc đường thẳng d và \(P'(x'; y') = T_{\vec{v}}(P)\).

Từ công thức tọa độ tịnh tiến theo \(\vec{v} = (4; -4)\), người học rút ra:

\[\begin{cases} x = x' - 4 \\ y = y' - (-4) = y' + 4 \end{cases}\]

Thay biểu thức của x và y vào phương trình đường thẳng \(d: 2x - y + 4 = 0\):

\[2(x' - 4) - (y' + 4) + 4 = 0\]

Biến đổi và thu gọn phương trình:

\[2x^{\prime}-8-y^{\prime}-4+4=0\iff2x^{\prime}-y^{\prime}-8=0\]

Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm là \(2x - y - 8 = 0\).

Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải chi tiết:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm N(-4; 3) và vectơ \(\vec{v} = (5; -2)\). Tìm tọa độ điểm N’ là ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức biểu thức tọa độ: \(x' = -4 + 5 = 1\) và \(y' = 3 + (-2) = 1\).

Đáp số: N'(1; 1).

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng \(\Delta'\) là ảnh của đường thẳng \(\Delta: 4x + 3y - 5 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v} = (-1; 2)\).

Hướng dẫn giải: Thế x = x' + 1 và y = y' - 2 vào phương trình đường thẳng \(\Delta\). Người học thu được \[\begin{gathered}4(x^{\prime}+1)+3(y^{\prime}-2)-5=0\\\iff 4x^{\prime}+3y^{\prime}-7=0\end{gathered}\]

Đáp số: \(\Delta': 4x + 3y - 7 = 0\).

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25\). Tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) với \(\vec{v} = (-2; 4)\).

Hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) và bán kính R = 5. Tâm I’ của (C') có tọa độ \(x' = 3 - 2 = 1, y' = -1 + 4 = 3\). Bán kính R' = R = 5.

Đáp số: \((C'): (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 25\).

Bài 4: Cho hai đường thẳng \(d_1: x - y + 1 = 0\) và \(d_2: x - y - 3 = 0\). Tìm tọa độ vectơ \(\vec{v}\) có phương vuông góc với \(d_1\) sao cho phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) biến đường thẳng \(d_1\) thành đường thẳng \(d_2\).

Hướng dẫn giải: Chọn \(M(0; 1) \in d_1\). Vectơ \(\vec{v}\) vuông góc \(d_1\) có dạng \(\vec{v} = (k; -k)\). Điểm \(M'(k; 1 - k) = T_{\vec{v}}(M)\) thuộc \[d_2 \implies k - (1 - k) - 3 = 0 \implies k = 2\]

Đáp số: \(\vec{v} = (2; -2)\).

Bài tập nhận biết đường thẳng ảnh trùng đường ban đầu

Bài 5: Cho \(d:2x+3y-7=0\) và \(\vec{v}=(6;-4)\). Tìm ảnh d′ của d và cho biết điểm M(2;1) có giữ nguyên vị trí hay không.

Lời giải: Ta có \(2\cdot6+3\cdot(-4)=0\) nên d′ trùng d. Tuy nhiên, M′=(2+6;1−4)=(8;−3), khác M. Hai điểm đều thuộc d. Vì vậy, đường thẳng biến thành chính nó không có nghĩa mọi điểm trên đường thẳng đều giữ nguyên.

Những lỗi thường gặp khi giải bài tập phép tịnh tiến

• Tìm điểm ảnh bằng \(x^{\prime}=x+a,\ y^{\prime}=y+b\); tìm điểm gốc bằng \(x=x^{\prime}-a,\ y=y^{\prime}-b\). Không đảo dấu hai quy trình.

• Khi lập phương trình ảnh, thay x−a và y−b vào phương trình ban đầu, không thay x+a và y+b.

• Đường thẳng ảnh có thể trùng đường ban đầu. Với đường tròn, chỉ dịch chuyển tâm và giữ nguyên bán kính.

Phép tịnh tiến biến mỗi điểm thành ảnh theo một vectơ xác định, bảo toàn khoảng cách và số đo góc. Để giải bài tập, học sinh cần nắm chắc định nghĩa, công thức tọa độ và cách xác định ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn; lưu ý đường thẳng ảnh có thể song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

Người học có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức về phép biến hình và kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ.