Phương trình bậc nhất một ẩn | Cách giải và bài tập

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, với a ≠ 0, và luôn có nghiệm duy nhất x = −b/a. Đây là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 8. Bài viết hệ thống khái niệm, quy tắc chuyển vế, nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0; hướng dẫn cách giải phương trình, kiểm tra nghiệm và vận dụng qua các dạng bài tập có lời giải.

Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn x có dạng ax + b = 0, trong đó a, b là các số đã cho và a ≠ 0. Đây là nội dung Bài 25 – Toán 8, tập hai, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống. [1]

Trong đó:

• Hệ số a được gọi là hệ số của x.

• Hệ số b được gọi là hạng tử tự do. [1]

Người học cần lưu ý chỉ khi a khác 0 thì phương trình ax + b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

x là ẩn số. Một giá trị của x là nghiệm của phương trình nếu khi thay vào, hai vế nhận cùng giá trị. Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm; tập hợp các nghiệm được ký hiệu là S.

Ví dụ nhận biết: Xét ba phương trình sau:

a. -2x = 0

b. 10x + 5 = 0

c. 0.x + 1 = 0

Cả ba phương trình trên đều được viết dưới dạng ax + b = 0, nhưng phương trình c không được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn do hệ số của x bằng 0.

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c, với a và b không đồng thời bằng 0; đây là dạng có hai ẩn x, y. Bài viết này tập trung vào phương trình chỉ có một ẩn x.

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Hai quy tắc biến đổi phương trình

• Quy tắc chuyển vế: Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Ví dụ, 4x − 2 = 0 tương đương 4x = 2.

• Quy tắc nhân hoặc chia: Nhân hoặc chia cả hai vế với cùng một số khác 0 để được phương trình có cùng tập nghiệm. Không tự ý chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn vì biểu thức đó có thể bằng 0.

Hai phương trình có cùng tập nghiệm được gọi là phương trình tương đương, ký hiệu bằng dấu ⇔. [1]

Công thức nghiệm và các bước giải

Phương trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 (với a khác 0) được giải như sau:

\[ax+b=0\]

\[\Leftrightarrow ax=-b\]

\[\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}\]

Với a ≠ 0, phương trình ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất \(x=-\dfrac{b}{a}\). [1] Khi áp dụng công thức, cần xác định đúng dấu của a và b sau khi thu gọn.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 4x - 2 = 0

b. 7x + 21 = 0

c. x - 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài tập này yêu cầu người học tìm nghiệm của các phương trình đã cho. Để xác định được nghiệm, người học cần xác định đúng hệ số a đứng trước x và hạng tử tự do b của phương trình.

a. Phương trình 4x - 2 = 0 có các hệ số a = 4, b = -2. Do đó nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{4}=\frac12\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {\(\frac12\)}.

b. Phương trình 7x + 21 = 0 có các hệ số a = 7, b = 21. Do đó nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=-\frac{b}{a}=-\frac{21}{7}=-3\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}.

c. Phương trình x - 1 = 0 có các hệ số a = 1, b = -1. Do đó nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Quy trình giải: Bỏ ngoặc, khử mẫu hằng số nếu có; chuyển vế và thu gọn; xác định hệ số của x; chia hai vế cho hệ số khác 0 để tìm x; thay lại vào phương trình ban đầu và kết luận tập nghiệm. Với mẫu chứa ẩn, phải xét điều kiện xác định và cách biến đổi riêng, không áp dụng máy móc quy trình khử mẫu hằng số.

Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Trong phạm vi số thực, sau khi thu gọn một phương trình hoặc xét tham số, có thể gặp ba trường hợp sau:

Hai trường hợp a = 0 không phải phương trình bậc nhất một ẩn. Vì vậy, câu hỏi “phương trình bậc nhất một ẩn có bao nhiêu nghiệm?” luôn có đáp án là một nghiệm duy nhất; bảng trên mở rộng cho toàn bộ dạng ax + b = 0.

Ví dụ có tham số: (m − 2)x + 3 = 0. Nếu m ≠ 2 thì x = −3/(m − 2); nếu m = 2 thì phương trình trở thành 3 = 0, nên vô nghiệm. Cần xét hệ số trước khi chia.

Một số dạng toán về phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình được đưa về dạng ax + b = 0

Một số phương trình có ngoặc hoặc mẫu là hằng số có thể đưa về dạng ax + b = 0 bằng các phép biến đổi tương đương. [1]

Sau khi thu gọn, phải kiểm tra a: nếu a ≠ 0 thì dùng công thức nghiệm; nếu a = 0 thì xét tính đúng, sai của đẳng thức còn lại.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 3(x - 2) = 2x + 4

b. 5(2x - 1) - 3(x + 2) = 4 - x

c. \(\frac{x+2}{4}-\frac{x-3}{6}=2\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Các phương trình đã cho đều là các phương trình ẩn x chưa được rút gọn. Người học cần rút gọn các phương trình này bằng cách khai triển và chuyển vế để tạo thành một phương trình có dạng ax + b = 0.

a. Khai triển và chuyển vế phải sang vế trái của phương trình, thu được:

\[3\left(x-2\right)=2x+4\]

\[\Leftrightarrow3x-6=2x+4\]

\[\Leftrightarrow3x-6-2x-4=0\]

\[\Leftrightarrow x-10=0\]

\[\Leftrightarrow x=10\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {10}.

b. Khai triển và chuyển vế phải sang vế trái của phương trình, thu được:

\[5\left(2x-1\right)-3\left(x+2\right)=4-x\]

\[\Leftrightarrow10x-5-3x-6-4+x=0\]

\[\Leftrightarrow 8x-15=0\]

\[\Leftrightarrow x=\frac{15}{8}\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {\(\frac{15}{8}\)}.

c. Quy đồng, nhân cả hai vế với 12 để khử mẫu, sau đó bỏ ngoặc và thu gọn:

\[\frac{x+2}{4}-\frac{x-3}{6}=2\]

\[\Leftrightarrow\frac{3(x+2)}{12}-\frac{2(x-3)}{12}=2\]

\[\Leftrightarrow\frac{3(x+2)-2(x-3)}{12}=2\]

\[\Leftrightarrow3x+6-2x+6=2\cdot12\]

\[\Leftrightarrow x+12=24\]

\[\Leftrightarrow x=12\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {12}.

Lưu ý: Không bắt buộc đưa mọi phương trình về vế phải bằng 0. Có thể chuyển các hạng tử chứa x về một vế, các hạng tử không chứa x về vế còn lại, rồi thu gọn. Khi có dấu trừ trước ngoặc, phải đổi dấu tất cả hạng tử trong ngoặc.

Dạng 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Đây là những bài toán thực tế có thể áp dụng cách lập phương trình để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Đối với dạng toán này, người học cần:

Bước 1: Lập phương trình.

• Chọn ẩn số và điều kiện thích hợp của ẩn số.

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

• Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. [2]

Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi từ B quay về A, ô tô chạy với vận tốc 50 km/h. Thời gian về ít hơn thời gian đi là 45 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài có các đại lượng liên hệ với nhau sau: vận tốc đi và về (cho trước); thời gian đi và về giữa A và B (không được cho trước) và chiều dài quãng đường AB (cần tính). Do đó người học có thể chọn ẩn x đại diện cho một đại lượng chưa biết của bài toán, sau đó biểu diễn các đại lượng còn lại theo x và lập phương trình liên hệ.

Giải:

• Bước 1: Xác định ẩn x và biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x, lập phương trình

Gọi x (km) là chiều dài quãng đường AB (x > 0). Khi đó thời gian đi từ A đến B là \(\frac{x}{40}\) (giờ), thời gian đi từ B về A là \(\frac{x}{50}\) (giờ).

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 45 phút = \(\frac34\) giờ, do đó thu được phương trình:

\[\frac{x}{40}-\frac{x}{50}=\frac34\]

• Bước 2: Giải phương trình

Biến đổi phương trình:

\[\frac{x}{40}-\frac{x}{50}=\frac34\]

\[\Leftrightarrow x\left(\frac{1}{40}-\frac{1}{50}\right)=\frac34\]

\[\Leftrightarrow x\cdot\frac{1}{200}=\frac34\]

\[\Leftrightarrow x=150\]

• Bước 3: Kết hợp với điều kiện của ẩn để ra kết luận

Nhận thấy x = 150 > 0, nên nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của ẩn và phù hợp với bài toán.

Vậy quãng đường AB dài 150 km. Kiểm tra: thời gian đi là 150/40 = 3,75 giờ, thời gian về là 150/50 = 3 giờ; chênh lệch 0,75 giờ = 45 phút.

Ví dụ 2: Một xưởng may dự định mỗi ngày may 50 áo. Khi thực hiện, nhờ cải tiến kỹ thuật, mỗi ngày xưởng may được 60 áo. Do đó, xưởng không những hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày mà còn may vượt mức thêm 20 áo. Hỏi theo kế hoạch, xưởng phải may tổng cộng bao nhiêu áo?

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài có các đại lượng liên hệ với nhau như sau: số lượng áo may được mỗi ngày dự định và thực tế (cho trước); số ngày hoàn thành may áo theo kế hoạch và thực tế (không được cho trước); và số áo xưởng cần phải may theo kế hoạch (cần tính). Do đó, người học có thể chọn ẩn x là một trong các đại lượng chưa biết ở trên, sau đó biểu diễn các đại lượng còn lại theo x và lập phương trình liên hệ.

Giải:

• Bước 1: Xác định ẩn x và biểu diễn các đại lượng chưa biết theo x, lập phương trình

Gọi x (áo) là số áo cần may theo kế hoạch, với \(x\in\mathbb{N}^{*}\).

Do dự định mỗi ngày may được 50 áo, số ngày cần để hoàn thành số lượng áo trên theo kế hoạch là \(\frac{x}{50}\) (ngày)

Số áo thực tế đã may là x + 20, mỗi ngày may được 60 áo, do đó số ngày thực tế đã may áo là \(\frac{x+20}{60}\) (ngày).

Do số ngày may áo thực tế đã giảm 1 ngày so với kế hoạch, thu được phương trình:

\[\frac{x+20}{60}=\frac{x}{50}-1\]

• Bước 2: Giải phương trình

Biến đổi phương trình:

\[\frac{x+20}{60}=\frac{x}{50}-1\]

\[\Leftrightarrow 5(x+20)-6x+300=0\]

\[\Leftrightarrow5x+100-6x+300=0\]

\[\Leftrightarrow 400-x=0\]

\[\Leftrightarrow x=400\]

• Bước 3: Kết hợp với điều kiện của ẩn để ra kết luận

Giá trị x = 400 là số nguyên dương, thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy theo kế hoạch, xưởng cần may 400 áo. Kiểm tra: dự định 400/50 = 8 ngày; thực tế (400 + 20)/60 = 7 ngày, đúng là sớm 1 ngày.

Bài tập phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

Bài 1: Giải phương trình: \(\frac{3x - 1}{4} - \frac{2x + 5}{3} = \frac{x - 3}{6} - 2\)

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho trước một phương trình ẩn x. Nhận thấy hai vế của phương trình đều là biểu thức bậc nhất của x, do đó người học có thể chuyển phương trình về dạng ax + b = 0, sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

Giải:

Biến đổi phương trình:

\[\frac{3x-1}{4}-\frac{2x+5}{3}=\frac{x-3}{6}-2\]

\[\Leftrightarrow 3(3x-1)-4(2x+5)=2(x-3)-24\]

\[\Leftrightarrow9x-3-8x-20-2x+6+24=0\]

\[\Leftrightarrow -x+7=0\]

\[\Leftrightarrow x=7\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {7}.

Bài 2: Giải phương trình: (x + 2)(x - 2) - x(x - 3) = 5

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Khai triển vế trái, các hạng tử bậc hai x² triệt tiêu nhau. Phương trình sau thu gọn là phương trình bậc nhất 1 ẩn, từ đó tìm nghiệm.

Giải:

Biến đổi phương trình:

\[(x+2)(x-2)-x(x-3)=5\]

\[\Leftrightarrow x^2-4-x^2+3x-5=0\]

\[\Leftrightarrow 3x-9=0\]

\[\Leftrightarrow x=3\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}.

Bài 3: Một học viên tích lũy điểm kinh nghiệm (XP) trên nền tảng học tập trực tuyến. Trong đợt 1 (kéo dài 5 ngày), mỗi ngày người học đạt cùng một lượng XP. Sang đợt 2 (kéo dài 7 ngày), do các bài tập khó hơn, mỗi ngày người học đạt cùng một lượng XP, ít hơn đợt 1 là 150 XP. Biết rằng tổng số XP đạt được trong cả đợt 1 bằng chính xác tổng số XP đạt được trong đợt 2. Hỏi mỗi ngày ở đợt 1, học viên đó đã đạt được bao nhiêu XP?

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán có hai đại lượng chưa biết: số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 1 và số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 2. Số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 2 nhỏ hơn 150 XP so với đợt 1, do đó người học có thể chọn số XP mỗi ngày trong đợt 1 làm ẩn x, khi đó người học có thể biểu diễn số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 2 theo x và lập phương trình liên hệ giữa tổng số XP của hai đợt.

Giải:

Gọi x (XP) là số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 1, với x là số nguyên và x > 150.

Khi đó tổng số XP đạt được trong đợt 1 là 5x.

Do trong đợt 2 mỗi ngày số XP đạt được giảm đi 150 XP so với đợt 1, nên số XP đạt được mỗi ngày trong đợt 2 là x - 150.

Khi đó tổng số XP đạt được trong đợt 2 là 7(x - 150).

Tổng số XP đạt được trong đợt 1 bằng tổng số XP đạt được trong đợt 2 nên thu được phương trình:

\[5x=7\left(x-150\right)\]

\[\Leftrightarrow5x=7x-1050\]

\[\Leftrightarrow 2x=1050\]

\[\Leftrightarrow x=525\]

Giá trị x = 525 là số nguyên lớn hơn 150, nên thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy mỗi ngày ở đợt 1, người học đạt 525 XP. Kiểm tra: đợt 1 đạt 5 × 525 = 2 625 XP; đợt 2 đạt 7 × (525 − 150) = 2 625 XP.

Bài 4: Hai ngăn sách có tổng cộng 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì số sách ở ngăn thứ hai sẽ bằng \(\frac45\) số sách ở ngăn thứ nhất. Tìm số sách lúc đầu ở mỗi ngăn.

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho hai đại lượng chính: số sách ở ngăn thứ nhất và số sách ở ngăn thứ hai, ở thời điểm ban đầu và sau khi chuyển. Tổng số sách của cả hai ngăn (không đổi sau lần chuyển) là 450 cuốn, do đó người học có thể chọn số sách ở ngăn thứ nhất tại thời điểm ban đầu làm ẩn x, sau đó biểu diễn các đại lượng còn lại theo x và lập phương trình liên hệ.

Giải:

Gọi số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất là x (cuốn), với \(x \in \mathbb{N}, 50 \le x \le 450\).

Khi đó số sách ban đầu ở ngăn thứ hai là 450 - x.

Sau khi chuyển 50 cuốn từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai thì:

• Số sách còn lại ở ngăn thứ nhất là x - 50.

• Số sách ở ngăn thứ hai lúc này là 450 - x + 50 = 500 - x.

Do sau khi chuyển thì số sách ở ngăn thứ hai sẽ bằng \(\frac45\) số sách ở ngăn thứ nhất, thu được phương trình:

\[500-x=\frac45\left(x-50\right)\]

\[\Leftrightarrow500-x=\frac{4}{5}x-40\]

\[\Leftrightarrow \frac95x=540\]

\[\Leftrightarrow x=300\]

Giá trị x = 300 là số nguyên và thỏa mãn 50 ≤ x ≤ 450, nên phù hợp với điều kiện của ẩn.

Vậy ban đầu ngăn thứ nhất có 300 cuốn, ngăn thứ hai có 150 cuốn. Sau khi chuyển: hai ngăn có 250 và 200 cuốn; 200 = (4/5) × 250, đúng yêu cầu.

Những lỗi thường gặp khi giải phương trình

• Chuyển vế nhưng quên đổi dấu, hoặc bỏ ngoặc sai dấu.

• Khử mẫu nhưng quên nhân tất cả hạng tử của cả hai vế với mẫu chung khác 0.

• Dùng x = −b/a khi a = 0; hoặc tự ý chia cho biểu thức chứa ẩn, làm mất nghiệm.

• Nhầm nghiệm của phương trình với đáp số bài toán: nghiệm còn phải thỏa mãn điều kiện thực tế và đơn vị.

• Quên kiểm tra nghiệm hoặc kết luận tập nghiệm.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax+b=0\), với \(a\ne0\), và có nghiệm duy nhất \(x=-\dfrac{b}{a}\). Để giải đúng, học sinh cần vận dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 và kiểm tra nghiệm. Với bài toán có lời văn, cần đặt điều kiện cho ẩn và đối chiếu kết quả với yêu cầu đề bài.

Học sinh có thể củng cố kiến thức qua các bài giảng Toán 8 theo tại ZIM Academy.