Sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc, một dạng bài phổ biến của bài thi SAT Math.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a và b là các hệ số, với a ≠ 0, và c là hằng số. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là tung độ giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung (y-intercepts).

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= \(\frac{-b}{2a}\)

• y= \(\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=f\left(\frac{-b}{2a}\right)\)

Dựa vào tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Dạng của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Xem thêm: Lưu ý khi tham gia kì thi SAT

Lý thuyết về dịch chuyển dọc hàm số bậc hai

Dịch chuyển dọc là sự cộng hoặc trừ một hằng số d vào hàm số gốc. Khi hàm số dịch chuyển dọc, tung độ y của tất cả các điểm thuộc đồ thị sẽ thay đổi, tuy nhiên, hoành độ x vẫn giữ nguyên. Bên cạnh đó, độ rộng/hẹp của parabol sẽ không thay đổi.

Xét hàm số f(x) và g(x) là hàm số mới khi dịch chuyển dọc

• Đồ thị dịch chuyển lên trên d đơn vị → g(x) = f(x) + d

• Đồ thị dịch chuyển xuống dưới d đơn vị → g(x) = f(x) - d

Khi dịch chuyển dọc, chỉ có tung độ của đỉnh bị thay đổi d đơn vị, còn hoành độ của đỉnh vẫn giữ nguyên. Nếu đồ thị f(x) có giá trị nhỏ nhất là a, thì khi đồ thị dịch chuyển dọc d đơn vị, giá trị nhỏ nhất sẽ là a ± d.

Ví dụ: Hàm số f(x) = x² - 2x + 3 có đỉnh với tọa độ (1, 2)

→ hàm số g(x) = f(x) + 3 được dịch chuyển lên trên 3 đơn vị và có tung độ đỉnh là y = 2 + 3 = 5

→ hàm số h(x) = f(x) - 3 được dịch chuyển xuống dưới 3 đơn vị và có tung độ đỉnh là y = 2 - 3 = -1

Fig. 1. Quadratic function f(x) = x²-2x+3, g(x) = f(x)+3, h(x) = f(x)-3 on the Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về sự thay đổi của việc cộng hoặc trừ một hằng số vào hàm số, xác định sự tịnh tiến của đồ thị theo phương thẳng đứng, chọn mô tả đúng về mối quan hệ giữa hai đồ thị, hoặc tìm phương trình mới sau khi đồ thị được dịch chuyển dọc.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc

Để dùng DESMOS giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc, ta sử dụng tính năng nhập hàm số và vẽ đồ thị.

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người đọc đọc kĩ thông tin được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Người học nhập hàm số gốc vào ô nhập dữ liệu của Desmos và xác định sự biến đổi là dịch chuyển lên hay dịch chuyển xuống k đơn vị. Sau đó, người học nhập hàm số biến đổi g(x) = f(x) ± k, với k phụ thuộc vào sự dịch chuyển mà đề bài cung cấp. Phần mềm Desmos sẽ vẽ đồ thị.

Nếu đề bài cho hai hàm số và yêu cầu xác định sự dịch chuyển. Người học nhập lần lượt hai hàm số vào ô nhập dữ liệu và dựa vào đồ thị để xác định sự dịch chuyển.

Bước 3: Người học dựa vào đồ thị đã được vẽ để giải quyết các yêu cầu của đề bài.

Ví dụ minh họa:

Question:

The function f(x) = x² is transformed to create a new function g(x) = x² + 5. What is the vertex of g(x)?

A. (0, 5)

B. (5, 0)

C. (0, −5)

D. (−5, 0)

Bước 1: Đọc kĩ đề bài và xác định các dữ kiện quan trọng:

• Hàm số f(x) = x²

• Hàm số g(x) = x² + 5

• Tìm đỉnh (vertex) của g(x)

Bước 2:

Nhập hàm số f(x) và g(x) vào ô nhập dữ liệu của Desmos. Ở đây ta thấy g(x) = f(x) + 5, điều này nghĩa là f(x) dịch chuyển lên 5 đơn vị.

Fig. 4. Input box of f(x) = x² and g(x) = f(x) + 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [4])

Bước 3:

Fig. 5. Quadratic functions f(x) = x² and g(x) = f(x) + 5 on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Dựa vào đồ thị, ta nhận thấy tọa độ đỉnh của hàm số g(x) là (0, 5) → Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The graph of the quadratic function f(x) has a vertex at (2, -5). A new function is defined by g(x) = f(x) + 4. What are the coordinates of the vertex of g(x)?

A. (2, -1)B. (6, -5)C. (2, -9)D. (-2, -1)

Answer: A

Question 2:

The function f(x) = (x - 3)² - 7 is transformed to create a new function g(x) = f(x) - 5. If the point (5, -3) is on the graph of f, which point is on the graph of g?

A. (5, -8)B. (0, -3)C. (5, 2)D. (10, -8)

Answer: A

Question 3:

The graph of y=(x−2)²−3 is shifted vertically so that its vertex has a y-coordinate of 4.

What value must be added to or subtracted from the function?

Answer: 7

Question 4:

The function f(x) = x² + 2x - 8 has a vertex (h, k). A new function is defined as g(x) = f(x) + 6. What is the vertex of g(x) ?

A. (-1, -9)B. (-1, -3)C. (1, -3)D. (-1, 3)

Answer: B

Question 5:

The quadratic function f(x) = (x + 5)² - 2. A function g(x) is defined by g(x) = f(x) + 9. What is the minimum value of g(x)?

Answer: 7

Question 6:

The function f(x) contains the point (2, 4). A new function is defined by g(x) = f(x) + 7. Which point must be on the graph of g(x)?

A. (2, 11)B. (9, 4)C. (2, -3)D. (-2, 11)

Answer: A

Question 7:

The function f(x) = (x - 1)² + 2. A new function is defined as g(x) = f(x) - 8. Which of the following is the vertex of g(x) ?

A. (1, -6)B. (1, 10)C. (-1, -6)D. (1, -10)

Answer: A

Question 8:

The graph of f(x) has a vertex (3, -2). The graph of g(x) = f(x) + 5. What is the y-coordinate of the vertex of g(x) ?

Answer: 3

Question 9:

The function h(x) = (x + 1)² + k is a vertical shift of the function y=(x+1)²−2. If the graph of h(x) passes through the point (0,5), what is the value of k?

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer: C

Question 10:

The function f(x) = x². A new function g(x) is created by shifting the graph of f(x) downward so that g(3) = 2.

By how many units is the graph shifted downward?

Answer: 7

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải quyết các bài toán hàm số bậc hai dịch chuyển dọc. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.