Sử dụng DESMOS để tìm điều kiện thoả mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết về bất phương trình bậc nhất

Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát là:

Ax + B > 0

Trong đó: A là hệ số của x, với A không bằng 0, còn B là hệ số tự do. Bất phương trình cũng có thể được biểu diễn như Ax + B < 0, Ax + B ≤ 0 hoặc Ax + B ≥ 0

Để giải bất phương trình, ta thực hiện các phép biến đổi đại số.

Ví dụ

Ax + B > 0 => Ax > -B

=>x > -B/A

Bây giờ, ta có hai trường hợp. Nếu A > 0, bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các giá trị nghiệm nằm trong khoảng:

x > -B/A

Ngược lại, nếu A < 0, thì bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các giá trị nghiệm nằm trong khoảng:

x < -B/A

Ngoài ra, bất phương trình bậc nhất cũng tồn tại dưới dạng hai ẩn, có dạng tổng quát là.

Ax + By <,≤,>,≥ C

Trong đó: 

• A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Khi biểu diễn dưới dạng slope-intercept, bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng:

y <,≤,>,≥ mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của phương trình.

• Ngoài ra, b là hệ số tự do của phương trình.

Mối liên hệ giữa nghiệm bất phương trình và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của phương trình còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị. 

Đối với bất phương trình bậc nhất một ẩn (VD: Ax + B > 0), nghiệm của nó được phân định bởi đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -B/A và đường thẳng này vuông góc với Ox. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “≥”, nửa trục Ox bên tay phải là nghiệm của bất phương trình và ngược lại, nếu bất phương trình có dấu “<” hoặc “≤” thì nửa trục Ox bên tay trái sẽ là nghiệm của bất phương trình. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì nghiệm sẽ bao gồm điểm x = -B/A; nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, nghiệm không bao gồm giá trị x này.

Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn (VD: Ax + By + C > 0), nghiệm (miền nghiệm) của nó không phải là một khoảng trên trục số mà là một miền mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng Ax + By + C = 0 đóng vai trò là ranh giới chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa riêng biệt. Một nửa mặt phẳng sẽ chứa các điểm (x, y) thỏa mãn dấu của bất phương trình, nửa còn lại chứa các điểm (x,y) khiến bất phương trình bị sai. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì nghiệm sẽ bao gồm điểm đường thẳng Ax + By + C = 0, được biểu diễn trên đồ thị dưới dạng đường gạch liền. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, nghiệm không bao gồm đường thẳng này được biểu diễn bằng đường gạch đứt.  

Ví dụ: Xét bất phương trình y ≥ 3x - 5.

Fig. 1. Inequality y ≥ 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (5/3, 0). Như vậy, bất phương trình  y ≥ 3x - 5 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x và y sao cho y ≥ 3x - 5. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x, y) để thử nghiệm miền nghiệm này.

• Điểm (0, 2): 2 > 3 x 0 - 5 -> Đúng -> (0, 2) là điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình.

• Điểm (3, 0): 0 > 3 x 3 - 5 -> Sai -> (3, 0) là điểm không thuộc miền nghiệm bất phương trình. 

Tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về việc tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất. Thí sinh có thể được hỏi về điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình, điều kiện để bất phương trình lấy một giá trị nhất định nằm trong miền nghiệm, xác định điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn của bất phương trình hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến bất phương trình.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp với nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian).

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm điều kiện thoả mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất

Để sử dụng DESMOS để tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và kỹ năng diễn giải đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để thấy được biểu thức cho sẵn cũng như là điều kiện cần tìm và giá trị cho sẵn. Nếu cần thiết, người học sẽ phải chuyển đổi phương trình (ví dụ, từ dạng standard thành dạng slope-intercept).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator, trong đó có biểu thức được cho và giá trị cần được thỏa mãn. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của biểu thức được cho cũng như miền giá trị để điều kiện của biểu thức được thỏa mãn.

Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được đường thẳng thể hiện biểu thức và một khoảng được tô màu trên giao diện. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ thỏa mãn được nhu cầu của đề bài.

Bước 4: Người học điền các tọa độ mà đề bài cho (nếu có) vào phần mềm và kiểm tra liệu các điểm đó có trong miền nghiệm được tô màu hay không. Ngoài ra, người học cũng có thể chọn một vài giá trị x thuộc miền nghiệm suy ra, thay vào biểu thức ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

The equation y = 2x + 1 represents a linear relationship between x and y. What is the smallest value of x for which y ≥ 1?

A. 0
B. 1
C. 2
D. -1

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: y = 2x + 1

• Vì ta đang cần xét giá trị của y theo x, ta có thể biến đổi vế phải phương trình thành f(x) = 2x + 1

• Vậy nên, giá trị cần được thoả mãn cũng sẽ biến y ≥ 1 thành f(x) ≥ 1

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: hàm số ở f(x) = 2x + 1

• Nhập ở dòng thứ hai: điều kiện f(x) ≥ 1

Lưu ý, với dấu “≥”, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 4. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng của biểu thức f(x) và miền giá trị thỏa mãn yêu cầu của phương trình. Ta có thể thấy là để f(x) ≥ 1 thì x ≥ 0.

Lưu ý: Để dễ nhìn, người học có thể bấm vào biểu tượng hình tròn cạnh biểu thức f(x) = 2x + 1 để ẩn đường thẳng đi, giúp người đọc tập trung hơn vào miền giá trị cần phải được xét.

Fig. 5. Line y = 2x + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [5])

Bước 4: Viết các giá trị được cho trong đáp án vào trong DESMOS để thử.

• x = -1 không nằm trong khoảng tô màu -> không thoả mãn

• x = 2 nằm trong khoảng tô màu nhưng không phải giá trị bé nhất -> không thoả mãn

• x = 1 nằm trong khoảng tô màu nhưng không phải giá trị bé nhất -> không thoả mãn

• x = 0 nằm trong khoảng tô màu và là giá trị bé nhất -> thoả mãn.

⇒ Chọn đáp án A.

Fig. 6. Line y = 2x + 1, x = 0, x = 1, x = 2, x = -1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3, …), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5, …), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Linear inequality word problems trong SAT Math – Cách làm và bài tập

• Cách làm dạng bài Solving Linear Equations and Inequalities - SAT Math

• Cách làm dạng Graphs of linear systems and inequalities trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The equation y = 2x − 5 must satisfy y ≥ 1. What is the minimum value of x that satisfies the inequality?

A. x = 2
B. x = 3
C. x = 4
D. x = 5

Answer: B

Question 2: 

The equation 2 − x + y = −4 must satisfy y ≥ 2. What is the minimum value of x that satisfies the inequality?

A. x = 5
B. x = 6
C. x = 7
D. x = 8

Answer: D

Question 3:

The inequality y = 5 − x must satisfy y < 1. What is the smallest integer value of x that satisfies this condition?

A. 4
B. 7
C. 5
D. 6

Answer: C

Question 4:

A movie streaming service models weekly usage of users by the equation y =1.5x − 2, where x is the number of hours streamed by a user. The service requires y ≥ 7. What is the least number of hours x that satisfies this requirement?

A. x = 6
B. x = 5
C. x = 8
D. x = 7

Answer: A

Question 5:

The equation y = x + k must satisfy y ≥ 6 for all values of x ≥ 4. What is the smallest value of k that ensures the inequality is always satisfied?

A. k = 0
B. k = 1
C. k = 2
D. k = 3

Answer: C

Question 6:

The equation y = 3(2x − 5) − 4(x − 1) must satisfy y ≥ -1. What is the minimum value of x that satisfies this condition?

A. x = 3
B. x = 4
C. x = 5 
D. x = 6

Answer: C

Question 7:

The inequality 2x - 34 + x + 52 < 6 must be satisfied, and x must be an integer. What is the greatest possible value of x?

A. x = 4
B. x = 5
C. x = 6
D. x = 7

Answer: A

Question 8:

The value of y is defined by y = 4x − 3 − 2(x − 5). What is the minimum integer value of x such that 9 < y ≤ 12?

A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = 3 

Answer: C

Question 9:

The inequality 3(x − 4) + 2 ≤ 2(2x − 5) + x must be satisfied, where x is an integer. What is the smallest possible value of x?

A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = 3

Answer: A

Question 10:

A school orders notebooks and binders. The total cost C, in dollars, is modeled by C = 3n + 5b, where n is the number of notebooks and b is the number of binders. The school buys twice as many notebooks as binders and must keep the total cost at most $90. What is the greatest possible number of binders the school can buy?

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

Answer: C

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải quyết các dạng bài liên quan đến việc tìm điều kiện thỏa mãn giá trị cho sẵn trong bất phương trình bậc nhất. Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.