Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x= -b/2a

• y= -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Dựa vào tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Dạng của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math

Lý thuyết về hàm số bậc hai và đồ thị của hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi điểm (x,y) nằm trên Parabol đều thỏa mãn hàm số bậc hai. Vì vậy, bằng cách quan sát các đặc điểm của đồ thị, ta có thể xác định được hàm số bậc hai tương ứng.

Khi đọc đồ thị của một hàm số bậc hai, tùy vào từng bài toán, người học có thể dựa vào một hoặc kết hợp nhiều đặc điểm của đồ thị dưới đây để xác định phương trình hàm số bậc hai tương ứng:

• Chiều mở của Parabol:

  • Nếu Parabol có chiều mở hướng lên trên (open upward) thì hệ số a dương (a>0)

  • Nếu Parabol có chiều mở hướng xuống dưới (open downward) thì hệ số a âm (a<0)

• Tọa độ đỉnh (Vertex): Đỉnh là điểm thấp nhất hoặc cao nhất của Parabol.

• Trục đối xứng (Axis of symmetry): Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia Parabol thành hai phần đối xứng. Những điểm nằm đối xứng qua trục sẽ có cùng tung độ và cách trục đối xứng một khoảng bằng nhau.

• Các giao điểm với trục tọa độ: Nếu Parabol cắt trục hoành hoặc trục tung, các giao điểm này là những điểm đặc biệt giúp kiểm tra xem phương trình có phù hợp với đồ thị hay không.

  • Giao điểm với trục tung là điểm mà đồ thị cắt trục Oy, tung độ điểm này chính là giá trị của hàm số tại x=0.

  • Nếu Parabol cắt trục hoành, các giao điểm này là nghiệm của phương trình bậc hai, tức là các giá trị của x khi y=0.

• Các điểm nguyên trên đồ thị: Trong nhiều trường hợp, đồ thị đi qua các điểm có tọa độ nguyên. Đây là những điểm dễ đọc nhất và thường được sử dụng để đối chiếu với các phương trình đã cho.

Ví dụ: Hàm số x2/2 - 2x + 4.5 có:

• Chiều mở: Parabol có chiều mở hướng lên trên => a > 0

• Tọa độ đỉnh (Vertex): Đỉnh của hàm số là (2; 2.5)

Có thể viết dưới dạng: y = a(x−2)^2 + 2.5

• Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục Oy tại (0; 4.5)

Thay điểm này vào hàm số ta có:

4.5 = a(0−2)^2+2.5

4.5 = 4a + 2.5

a = 1/2

Fig. 1. Quadratic function (½)x² - 2x + 4.5 on the Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Bài toán tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, thí sinh có thể gặp dạng câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu xác định đồ thị tương ứng với một hàm số bậc hai đã cho. Đề bài sẽ cung cấp một hàm số bậc hai và bốn đồ thị ở các phương án A, B, C và D. Thí sinh cần chọn đồ thị biểu diễn chính xác hàm số đó.

Sample question 1

Given the function y = -0.25x² + 0.5x + 3 in the xy-plane. Which of the following graph corresponds to the given function? A. B. C. D.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn

Để sử dụng DESMOS tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn một cách nhanh chóng và chính xác, người học sử dụng tính năng vẽ đồ thị của DESMOS để so sánh đồ thị của hàm số với các phương án A, B, C và D. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1. Nhập hàm số của đề bài vào DESMOS

Người học nhập hàm số bậc hai đã cho vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Sau khi nhập xong, DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ.

Bước 2. Quan sát các đặc điểm của đồ thị

Người học quan sát các đặc điểm nổi bật của đồ thị vừa vẽ, chẳng hạn như chiều mở của parabol và nhấp chuột vào các điểm cắt trên màn hình để hiển thị tọa độ chi tiết của các điểm như tọa độ đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với các trục tọa độ hoặc các điểm đặc biệt khác nếu có.

Bước 3. So sánh với các đáp án

Người học đối chiếu đồ thị trên DESMOS với bốn đồ thị trong các đáp án A, B, C và D. Người học nên so sánh lần lượt từng đáp án dựa trên các đặc điểm đã quan sát ở bước trước thay vì chỉ nhìn vào hình dạng tổng quát của parabol.

Bước 4. Xác định đáp án đúng

Đồ thị nào có các đặc điểm trùng khớp với đồ thị trên DESMOS là đáp án cần tìm.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: Given the function y = -0.5(x - 2)(x - 6) in the xy-plane. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 4. Quadratic function y = -0.5(x - 2)(x - 6) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 1. Nhập hàm số của đề bài vào DESMOS

Fig. 5. Quadratic function y = -0.5(x - 2)(x - 6) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 2. Quan sát các đặc điểm của đồ thị

Người học có thể xác định từ đồ thị một số đặc điểm sau:

• Hệ số của x² là -0.5 < 0 nên parabol có hướng mở xuống.

• Đồ thị cắt trục hoành tại (2, 0) và (6, 0).

• Đỉnh của parabol là (4, 2).

Bước 3. So sánh với các đáp án

Người học đối chiếu các đặc điểm của đồ thị trên DESMOS với bốn đáp án A, B, C và D. Có thể thấy, đồ thị ở đáp án A có cả 3 đặc điểm trên.

Đáp án B không thỏa mãn đặc điểm giao điểm giữa đồ thị và trục hoành.

Đáp án C có hướng mở lên.

Đáp án D có đỉnh của parabol là (4, 4), khác với đỉnh của parabol đồ thị trong đề bài.

Bước 4. Xác định đáp án đúng

Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: Which of the following graphs represent the quadratic function f(x) = ax² + bx + c, where a < 0, b > 0, and c < 0?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 6. Question 1. (Source: [5])

Answer: B

Question 2: Given the function y = (2x - 4)(3x - 8) in the xy-plane. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 7. Question 1. (Source: [5])

Answer: A

Question 3: A projectile is launched from the top of a low platform. Its height y (in meters) above the ground x seconds after launch is modeled by the function y = -4.9(x - 1)² + 8.9 in the xy-plane. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 8. Question 3. (Source: [6])

Answer: C

Question 4: On a park map, a curved section of a lake's shoreline is modeled by a quadratic function y = f(x) in the xy-plane. Two straight walking paths, represented by the lines y = x + 1 and y = -x + 5, intersect at a point that lies directly on this shoreline. If the axis of symmetry of the shoreline parabola is x = 1 and its leading coefficient is a = -0.25, which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 9. Question 4. (Source: [7])

Answer: C

Question 5: The main cable of a suspension bridge forms a parabola modeled by y = 0.05(x - 40)² + 10 in the xy-plane, where x is the horizontal distance (in meters) from the left tower and y is the height above the water. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 10. Question 5. (Source: [8])

Answer: D

Question 6: Given the quadratic function y = -3x² + 6mx - 3m² - 3 in the xy-plane, where m < 0. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 11. Question 6. (Source: [9])

Answer: C

Question 7: A company's daily profit y (in thousands of dollars) from selling x units of a product is modeled by the function y = -2x² + 24x - 40 in the xy-plane. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 12. Question 7. (Source: [10])

Answer: D

Question 8: The cross-section of an archway entrance is modeled by the function y = \(-12\)(x - 1)(x - 7) in the xy-plane, where x is the horizontal distance (in meters) from the wall and y is the height of the arch. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 13. Question 8. (Source: [11])

Answer: A

Question 9: The reflective mirror of a headlight is shaped like a parabola modeled by y = \(18\)x² - x + 4 in the xy-plane. Which of the following quadratic functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 14. Question 9. (Source: [12])

Answer: B

Question 10: A firework is launched from a platform 15 meters above the ground. It reaches its maximum height of 35 meters exactly 2 seconds after launch, and eventually falls back to the ground. If the height y (in meters) x seconds after launch is modeled by a quadratic function, which of the following functions corresponds to the correct graph of y = f(x)?

A.	B.
C.	D.

Images are created on the Desmos Graphing Calculator, used with permission from Desmos Studio PBC.

Fig. 15. Question 10. (Source: [13])

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm đồ thị đúng tương ứng với hàm số bậc hai cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.