Sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để lập hàm luỹ thừa từ bảng toạ độ, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số mũ

Hàm số mũ có dạng tổng quát là:

y=f(x)=Bg(x)

Trong đó:

• g(x) là biểu thức đại số theo biến x

• B được gọi là cơ số. Trong SAT, ta luôn xét B > 0 và a ≠ 1.

• Ví dụ hàm mũ: Người học xét hàm số y = f(x) = 3(2x+1) . Với f(x), cơ số là 3, g(x) sẽ là (2x + 1).

• Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, hàm số số mũ sẽ được biểu diễn dưới dạng một đường cong.

Hàm số mũ cũng có thể được biến đổi thành dạng sau bằng cách rút gọn số mũ:

y=f(x)=Bg(x)=A⋅Bx

Để biến đổi hàm số, người học theo các bước như sau:

Khi g(x) là một biểu thức bậc nhất có dạng: g(x) = mx + n, ta có: y = B^(mx + n)

Sử dụng tính chất của lũy thừa:

B^(mx + n) = B^n ⋅ B^mx và: B^mx=(B^m)^x

-> Ta có: y = B^n ⋅ (B^m)^x

Đặt: A = B^n, Bmới​ = B^m ta thu được dạng: y = A ⋅ (Bmới)^x​​

Ví dụ: Xét hàm số: y = 3^(2x + 1)

Ta tách số mũ -> y = 3^2x ⋅ 3

Vì: 3^2x = (3^2)^x = 9^x nên: y = 3 ⋅ 9^x

Do đó, hàm số y = 3^(2x + 1) có thể biến đổi thành dạng: y = 3 ⋅ 9^x​

Lý thuyết về giá trị của hàm lũy thừa

Dạng bài tìm giá trị của hàm số lũy thừa là một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu người đọc tìm giá trị của hàm số tại một điểm cho trước. Điều này có nghĩa là người đọc cần tính giá trị của f(x) khi biết giá trị của x. Để giải quyết bài toán này, người đọc chỉ cần thay giá trị của x vào hàm số rồi thực hiện các phép tính để xác định giá trị của f(x).

Ví dụ:

The function f is defined by f(x) = 3 ⋅ 2^x. What is the value of f(4)?

A. 24B. 36C. 48D. 64

Để giải quyết bài toán này, người học chỉ cần thay x = 4 vào hàm số: f(4) = 3 ⋅ 2^4 = 3 ⋅ 16 = 48

Vậy đáp án của bài toán là C.

Fig. 1. Function f(x) = 3 ⋅ 2^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Lý thuyết về mối liên hệ giữa hàm lũy thừa và bảng toạ độ

Tất cả các cặp giá trị (x, y) trên một bảng tọa độ của hàm lũy thừa đều là các cặp giá trị thỏa mãn hàm lũy thừa và là các điểm nằm trên đồ thị của hàm số.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = 3 ⋅ 2^x và bảng toạ độ sau:

Ta xét hai giá trị này:

3 = 3 ⋅ 3^0 = 3 ⋅ 1 -> 3 = 3 (Đúng)

48 = 3 ⋅ 2^4 = 3 ⋅ 16 -? 48 = 48 (Đúng).

Từ việc này, người học cũng có thể dùng một bảng toạ độ hoặc các điểm để tìm ra hàm luỹ thừa.

Để lập hàm số lũy thừa đi qua các điểm đã cho, ta sử dụng dạng tổng quát của hàm luỹ thừa:

y=f(x)=A⋅Bx

Vì có 2 ẩn số, nên người học cần ít nhất 2 điểm khác nhau thuộc đồ thị để lập hệ phương trình và tìm các giá trị của A và B.

Khi có được ít nhất 2 điểm, người học thay tọa độ từng điểm vào công thức. Sau đó, giải hệ phương trình để tìm ra giá trị của A và B. Cuối cùng, thay các giá trị này vào dạng tổng quát để viết phương trình hàm số mũ.

Ví dụ: Cho hai điểm A(0, 2) và B(2, 18).

Bước 1: Ta viết dạng tổng quát của hàm số mũ:

y = A · B^x

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình.

• Với A(0, 2): 2 = A · B^0 -> 2 = A

• Với B(2, 18): 18 = A · B^2

Bước 3: Thay A = 2 vào phương trình thứ hai:

-> 18 = 2B^2 -> B^2 = 9 -> B = 3 hoặc B = -3.

Vì cơ số của hàm số mũ phải dương, ta chọn B = 3.

Bước 4: Thay các giá trị của A và B vào dạng tổng quát.

Ta có: A = 2 và B = 3

Do đó, phương trình hàm số mũ là: y = 2 · 3^x

Fig. 2. Function y = 2 · 3^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source [2])

Tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm giá trị x, giá trị y, giá trị tổng x + y và các phép toán khác, hay trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa

Để sử dụng DESMOS để lập tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình kèm theo tính năng bảng. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để hiểu rõ được những dữ kiện được cho như là hàm luỹ thừa và giá trị bảng được cho. Ngoài ra, người học cũng nên xác định rõ câu hỏi đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

Trong trường hợp này, người học trước hết viết phương trình của hàm luỹ thừa được cho vào giao diện DESMOS.

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị của hàm số trên mặt phẳng toạ độ.

Bước 3: Sau khi đã thấy được đồ thị hàm số, người học bắt đầu lập bảng. Trước hết, người học bấm vào dấu cộng và chọn “table” để lập một bảng.

Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài (toạ độ điểm) vào ô nhập dữ liệu của phần bảng trong DESMOS graphing calculator.

Trong trường hợp này, thay vì để yên bảng, người học nên sửa lại bảng để cột bên trái thể hiện giá trị của x, và cột bên phải thể hiện các giá trị của hàm số được cho. Ví dụ, nếu người học được cho hàm số f(x), thì bảng của người học nên được sửa thành như sau:

Sau khi người học sửa được bảng, người học lần lượt lập các giá trị được cho trong bảng trên đề bài, vào một cột và bảng sẽ tự động tính các giá trị còn lại. Nhờ tính năng này, người học có thể tìm được giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm lũy thừa. Sau khi tìm được giá trị còn thiếu, người học trả lời các câu hỏi khác của đề bài nếu có.

Ngoài ra, nếu giá sử đề bài bắt tìm giá trị còn thiếu ở cột x mà cho trước giá trị ở cột f(x), thì người học có thể thay từng đáp án vào cột x để xem giá trị x nào sẽ tạo được giá trị f(x) cho trước.

Bước 4: (nếu cần) Người học thay giá trị còn thiếu vào trong hàm số để kiểm tra.

Ví dụ minh hoạ:

The function

f(x) = 48(1/2​)^(x + 1)

is used to generate the values in the table.

What is the value of k?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = 48(1/2​)^(x + 1)

• Đề bài cho các giá trị trong bảng.

• Người học cần tìm giá trị k, là giá trị của f(x) khi x = 3.

Bước 2: Người học nhập các dữ liệu cần thiết vào trong DESMOS. Trong trường hợp này, người học trước hết nhập f(x) = 48(1/2​)^(x + 1) vào dòng đầu tiên của giao diện.

Lưu ý, với số mũ, người học có thể bấm bàn phím hoặc nên sử dụng phần bàn phím của DESMOS như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

DESMOS sẽ tự động cho thấy đồ thị của hàm số trên mặt phẳng toạ độ.

Fig. 6. Function f(x) = 48(1/2​)^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người học cần bắt đầu lập bảng bằng cách bấm vào dấu cộng trên giao diện.

Fig. 7. Interface of the Desmos Graphing Calculator with the Table function. (Source: [7])

Sau khi bấm được “table”, người học sẽ có được một bảng như sau:

Fig. 8. The Table function of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Người học cần sửa lại bảng để cột bên trái hiện giá trị của x và cột bên phải hiện giá trị f(x), và nên có được một bảng hiện dữ liệu như sau.

Bây giờ, người học dần dần nhập các giá trị vào bảng. Trong trường hợp này, giá trị cần tìm nằm ở cột f(x), nên người học nhập trước giá trị của x vào bảng.

Fig. 9. Function f(x) = 48(1/2​)^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Người học có thể thấy rằng bảng sẽ tự động tính các giá trị của f(x) khi người học nhập x vào, và khi người học nhập x = 3, bảng ra được giá trị f(x) = 3. Đây chính là giá trị k cần tìm.

-> Chọn đáp án A

Bước 4: Người học có thể thử lại giá trị (x, y) = (3, 3) vào hàm số ban đầu:

3 = 48(1/2​)^(3 + 1)

-> 3 = 48(1/2)^4

-> 3 = 48(1/16)

-> 3 = 3 (Đúng)

-> Xác định đáp án được chọn là đúng.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

• Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa [9]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function

f(x) = 120(5/4)^x

is used to generate the values in the table.

What is the value of k?

A. 120

B. 132

C. 144

D. 156

Answer: A

Question 2:

The function

R(x) = 125(2/5)^(x - 1)

is used to generate the values in the table.

What is the value of k?

A. -1

B. 0

C. 3

D. -2

Answer: B

Question 3:

The function

h(x) = 4(2)^(x + 2) - 7

is used to generate the values in the table.

What is the value of 2k + 1?

A. 13

B. 15

C. 17

D. 19

Answer: D

Question 4:

The function

g(x) = -96(3/2)^(x - 2)

is used to generate the values in the table.

What is the value of -k/2?

A. 48

B. 64

C. 72

D. 96

Answer: C

Question 5:

The function

f(x) = 72(2/3​)^(x - 1) + 18.

is used to generate the values in the table.

What is the value of k^2 - 1?

A. 5

B. 1

C. 3

D. -1

Answer: D

Question 6:

The function

f(x) = 5(4)^(x - 1) + 6

is used to generate the values in the table.

What is the value of k + n?

A. 86

B. 88

C. 90

D. 92

Answer: B

Question 7:

The function

q(x) = 3(1/3​)^(x - 2) + 5.

is used to generate the values in the table.

What is the value of 2(k - n)?

A. 126

B. 114

C. 108

D. 92

Answer: C

Question 8:

The function f is defined by f(x) = 3^(x - 2).

A new function g is defined as g(x) = 2f(x + 1) - 1

The table represents g.

What is the value of k?

A. -2/3

B. 2/3

C. 1/3

D. -1/3

Answer: D

Question 9:

The function r is defined by r(x) = 2^x.

A new function s is defined as s(x) = 4r(x - 2) + 3.

The table represents s.

What is the value of k - n?

A. 4

B. 3

C. -3

D. -4

Answer: A

Question 10:

A chemical solution is being stored in a controlled environment. The amount of a particular compound in the solution decreases by 20% every hour.

At the beginning of the experiment, the solution contains 1,800 grams of the compound.

The technician records the following measurements.

What is the value of k?

A. 1152

B. 922

C. 740

D. 590

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tm giá trị còn thiếu trong bảng toạ độ của hàm luỹ thừa. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.