Sử dụng DESMOS để tìm giải hệ phương trình mũ - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải hệ phương trình mũ - tuyến tính.

Lý thuyết chung về phương trình mũ - tuyến tính

Phương trình tuyến tính (hay phương trình bậc nhất) là phương trình đại số mà các biến số là bậc một và đồ thị biểu diễn là một đường thẳng. Dạng tổng quát của phương trình tuyến tính là y = mx + n, hay Ax + By = C

Ax + By = C

y = mx + n

Khi phương trình tuyến tính được viết theo dạng y = mx + n thì ta có: 

• Y = Biến phụ thuộc 

• x (Variable): Biến số độc lập

• m (Slope/Coefficient): Hệ số góc 

• n (Constant): hằng số tự do (tung độ gốc)

Còn khi phương trình tuyến tính được trình bày theo dạng Ax + By = C thì ta hiểu như sau: 

• x, y (Variable): Biến số 

• A, B (Coefficients): Hệ số 

• C (Constant): Hằng số

• -A/B (Slope): Hệ số góc

Phương trình tuyến tính có các đặc điểm: (1) luôn có dạng là một đường thẳng trong hệ Oxy, và (2) thể hiện mối quan hệ tỉ lệ thuận/tỉ lệ nghịch giữa hai biến x và y.

Phương trình mũ là một hàm số phi tuyến tính. Dạng cơ bản của phương trình mũ được viết như sau:

\(y=a\cdot b^{x^{}}\left(a\ne0\right)\)

Dạng tổng quát được viết như sau:

\(y=f(x)=a(b)^{\left(x-h\right)^{}}+k\)

Trong đó: 

• a  là giá trị ban đầu của hàm (a ≠ 0)

• b  là cơ số ( b ≠ 1)

• k, h là các hằng số.

• x là biến số độc lập. 

• y  là biến số phụ thuộc. 

Lý thuyết về giải hệ phương trình mũ - tuyến tính

Để giải các bài toán về hệ phương trình mũ - tuyến tính đơn giản nhất, ta sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

Đối với phương pháp thế, ta sẽ dùng phương trình tuyến tính để rút một ẩn số theo ẩn còn lại. Sau đó, ta thế ẩn này vào phương trình còn lại để giải. Sau đó, ta tìm các nghiệm tương ứng của hệ phương trình.

Ví dụ: Cho hệ phương trình: 

x + y = 3 (1)

2^x + 2^y = 6 (2)

• Từ (1), ta rút được ẩn y theo x: y = 3 - x

• Thay vào (2): 2^x + 2^(3-x) = 6 

• Ta có: 2^x + 2^3/2^x - 6 = 0

• Đặt 2^x = t (t > 0) , phương trình mới là: t + 8/t - 6 = 0 → t^2 - 6t + 8 = 0

• Giải phương trình trên, thu được t = 2 hoặc t = 4. Từ đó người học giải tìm x và y. 

Lưu ý: Khi đặt một ẩn phụ, sau khi đã xác định được nghiệm của hệ phương trình từ ẩn phụ cho trước, người học cần thay trực tiếp nghiệm vào hệ phương trình ban đầu, để loại bỏ các giá trị nghiệm không thỏa mãn hệ phương trình. 

Đối với phương pháp vẽ đồ thị, người học vẽ đồ thị của 2 phương trình trên mặt phẳng Oxy. Khi đó, số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của 2 đồ thị trên hệ trục tọa độ 2 chiều. 

Khi hệ vô nghiệm, đồ thị của 2 phương trình trong hệ không cắt.

Fig. 1. System of x + y = 3 and 2^x + 2^y = 6 on Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Quan sát hệ phương trình trên trục tọa độ Oxy, ta thấy hệ cho 2 nghiệm phân biệt tại x = 1 và x = 2. 

Giải hệ phương trình mũ - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về hệ phương trình mũ - tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm dương, âm của hệ phương trình hoặc các hằng số thỏa mãn điều kiện nghiệm của hệ, và nhiều dạng câu hỏi khác. 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm:

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

• Cách làm dạng bài Radicals and rational exponents trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình mũ - tuyến tính

Để giải hệ phương trình mũ - tuyến tính, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị của DESMOS. 

Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài

Người học cần xác định hệ phương trình cho trước, điều kiện nghiệm nếu được yêu cầu để tìm giá trị thỏa mãn. 

Bước 2: Nhập dữ kiện lên DESMOS

• Dòng thứ nhất: Nhập phương trình tuyến tính.

• Dòng thứ hai: Nhập phương trình mũ (VD: y = 6*(2)^x)

Lưu ý: Để biểu hiện phương trình mũ trong DESMOS, người học cần nhập dấu “^” để đánh lũy thừa. 

Bước 3: Quan sát giao điểm và tìm giá trị trên DESMOS

Sau khi đã nhập hệ phương trình lên DESMOS, người học điều chỉnh màn hình sao cho hiển thị toàn bộ số giao điểm của 2 phương trình đã cho, bấm vào các giao điểm để tìm giá trị nghiệm thỏa mãn. 

Bước 4( Tùy chọn): Người học thử lại bằng cách thay giá trị cặp nghiệm tìm được vào hệ phương trình ban đầu. 

Ví dụ minh họa: 

y = 6(2)^x

2x + y = 1

If (x, y) is a solution to the system of equations, what is the value of x?

A. 3

B. -1

C. 1

D. 2

Giải: 

Bước 1: Xác định dữ kiện đề bài

• Phương trình tuyến tính: 2x + y = 1

• Phương trình mũ: y = 6(2)^x

• Yêu cầu đề bài: Tìm giá trị x của cặp nghiệm

Bước 2: Nhập dữ kiện lên DESMOS

• Dòng thứ nhất: 2x + y = 1

• Dòng thứ hai: y = 6(2)^x

Bước 3: Quan sát và tìm nghiệm trên DESMOS

Fig. 4. System of y = 6(2)^x and 2x + y = 1 on Desmos Graphing Calculator (Source: [4])

Quan sát đồ thị được vẽ trên DESMOS, ta thấy 2 phương trình trên cắt nhau tại duy nhất 1 giao điểm, tức là hệ phương trình trên cho nghiệm duy nhất, cặp nghiệm thu được là ( - 1, 3). Vậy x = -1

→ Chọn B. -1

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình mũ - tuyến tính[5].  Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

In the xy-plane, the system of equations below has a solution (a,b) where a is a positive integer:

2x+y=19

y= 3^(x - 1) + 4

What is the value of a+b?

A. 10

B. 13

C. 19

D. 16

Answer: D

Question 2: 

In the xy-plane, a system of equations consists of the linear equation 4x+3y=24 and the exponential equation y=2^(x−1). If (a,b) is the solution to the system in the first quadrant with integer coordinates, what is the distance between (a,b) and the x-intercept of the line 4x+3y=24?

A. 6

B. 3

C. 5

D. 4

Answer: C

Question 3: 

The system of equations shown below has two distinct solutions in the xy-plane, (x1 ,y1) and (x2, y2):

y=6x−8

y=2^x

What is the y-coordinate of the midpoint of the line segment connecting the two solutions?

A. 8

B. 12

C. 10

D. 14

Answer: C

Question 4: 

In the xy-plane, a system consists of the linear equation y=mx−2 and the exponential equation y=a⋅2^x − 5, where m and a are constants. If the graphs of the two equations intersect at (0,b) and (3,19), what is the value of m?

A. 7

B. 9

C. 5

D. 3

Answer: A

Question 5:

In the xy-plane, the graphs of the linear equation x+y=7 and the exponential equation y=2^(x−1) intersect at the point (a,b), where a and b are positive integers. What is the value of a^2+b^2?

A. 13

B. 25

C. 20

D. 29

Answer: B

Question 6:

In the xy-plane, a line passes through the points (0,−5) and (2,3). The graph of this line intersects the exponential curve y=c⋅2^(x−1) at the point (3,d), where c and d are constants. What is the estimated value of c+d?

A. 9

B. 7

C. 11

D. 5

Answer: A

Question 7:

In the xy-plane, the graphs of the linear function f(x)=6x−3 and the exponential function g(x)=3^x intersect at exactly two points, (x1 ,y1) and (x2, y2). What is the slope of the line that passes through the origin (0,0) and the midpoint of the line segment connecting these two points?

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Answer: C

Question 8: 

In the xy-plane, the graphs of the linear equation y=6x+1 and the exponential equation y=2^(x+2) −3 intersect at two points, P and Q. If the segment PQ is the diameter of a circle, what is the area of this circle?

A. 37π

B. 148π

C. 74π

D. 26π

Answer: A

Question 9: 

In the xy-plane, the system of equations below has two solutions, (x1 ,y1 ) and (x2, y2) 

y=4x−3

y=3^(x-1)

What is the value of (x1+x2)(y1+y2)?

A. 48

B. 24

C. 36

D. 40

Answer: D

Question 10: 

In the xy-plane, the graphs of the linear equation y=6x+4 and the exponential equation y=2^(x+2) intersect at two points, A and B. What is the distance between point A and point B?

A. 2√35

B. 6√5

C. 2√37

D. 4√10

Answer: C

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải hệ phương trình mũ - tuyến tính.  Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.