Sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn.

Lý thuyết chung về hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai trong tiếng Anh được gọi là Quadratic function, là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng trong bài thi SAT Math. Dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol.

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

y = f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các hằng số thực, với a ≠ 0. Trong đó, giá trị của a sẽ quyết định hàm số có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Giá trị c là giao điểm của hàm số bậc hai với trục tung.

Một điểm quan trọng của hàm số bậc hai là Đỉnh (Vertex) có tọa độ là (x,y) được xác định như sau:

• x = -b/2a

• y = -Δ/4a = -(b²-4ac)/4a = f(-b/2a)

Dựa vào tọa độ đỉnh, ta có thể xác định thêm trục đối xứng (Axis of symmetry) của hàm số bậc hai. Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia đồ thị của hàm số bậc hai thành hai phần đối xứng nhau qua đường thẳng đó. Phương trình của trục đối xứng có dạng x = -b/2a.

Dạng của đồ thị hàm số bậc hai phụ thuộc vào hệ số a:

• Trường hợp 1: a < 0. Khi a < 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng xuống, tạo thành hình “ngọn núi”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị lớn nhất.

• Trường hợp 2: a > 0. Khi a > 0, dạng đồ thị của hàm số bậc hai sẽ hướng lên, tạo thành hình “chữ U”. Từ đó, hàm số bậc hai sẽ có giá trị nhỏ nhất.

Với toạ độ đỉnh, người học có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng đỉnh (Vertex form):

y = f(x) = a(x - h)² + k

Trong đó:

• Tọa độ đỉnh (Vertex) là (h, k).

• Trục đối xứng của dạng Vertex form này có dạng x = h.

Xem thêm: Học SAT mất bao lâu?

Hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị

Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong Parabol trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi điểm (x,y) nằm trên Parabol đều thỏa mãn hàm số bậc hai. Vì vậy, bằng cách quan sát các đặc điểm của đồ thị, ta có thể xác định được hàm số bậc hai tương ứng. 

Khi đọc đồ thị của một hàm số bậc hai, tùy vào từng bài toán, người học có thể dựa vào một hoặc kết hợp nhiều đặc điểm của đồ thị dưới đây để xác định phương trình hàm số bậc hai tương ứng:

• Chiều mở của Parabol: 

  • Nếu Parabol có chiều mở hướng lên trên tạo thành chữ U thì hệ số a dương (a > 0)

  • Nếu Parabol có chiều mở hướng xuống dưới tạo thành hình ngọn núi thì hệ số a âm (a < 0)

• Tọa độ đỉnh (Vertex): Đỉnh là điểm thấp nhất hoặc cao nhất của Parabol. Parabol có điểm cao nhất khi a < 0, có điểm thấp nhất khi a > 0. 

• Trục đối xứng (Axis of symmetry): Trục đối xứng là đường thẳng đi qua đỉnh và chia Parabol thành hai phần đối xứng. Những điểm nằm đối xứng qua trục sẽ có cùng tung độ và cách trục đối xứng một khoảng bằng nhau.

• Các giao điểm với trục tọa độ: Nếu Parabol cắt trục hoành hoặc trục tung, các giao điểm này là những điểm đặc biệt giúp kiểm tra xem phương trình hàm số có phù hợp với đồ thị hay không. 

  • Giao điểm với trục tung là điểm mà đồ thị cắt trục Oy, tung độ điểm này chính là giá trị của hàm số tại x = 0. 

  • Nếu Parabol cắt trục hoành, các giao điểm này là nghiệm của phương trình bậc hai, tức là các giá trị của x khi y = 0. 

• Các điểm nguyên trên đồ thị: Trong nhiều trường hợp, đồ thị đi qua các điểm có tọa độ nguyên. Đây là những điểm dễ đọc nhất và thường được sử dụng để đối chiếu với các phương trình đã cho.

Ví dụ: Hàm số \(y=f(x)=\frac{x^2}{2}-2x+4.5\) có:

• Chiều mở: Parabol có chiều mở hướng lên trên => \(a=\frac12\) > 0

• Tọa độ đỉnh (Vertex): Đỉnh của hàm số là (2; 2.5)

Hàm số trên có thể viết dưới dạng: \(y = a(x−2)^2 + 2.5\)

• Giao điểm với trục tung: Đồ thị cắt trục Oy tại (0; 4.5)

Thay điểm này vào hàm số ta có:

\(\Leftrightarrow\) \(4.5 = a(0−2)^2+2.5\)

\(\Leftrightarrow\) 4.5 = 4a + 2.5

\(\Leftrightarrow\) \(a=\frac12\)

Fig. 1. Quadratic function (½)x² - 2x + 4.5 on the Desmos Graphing Calculator (Source: [1])

Bài toán tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, dạng bài tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị thường được trình bày dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm. Đề bài cung cấp một hình ảnh đồ thị Parabol cùng bốn phương án là các hàm số bậc hai. Thí sinh cần dựa vào các đặc điểm của đồ thị để xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho.

Sample question

Which of the following could be the equation of the graph above? A. y = (x - 1)(x + 5) B. y = (x + 1)(x - 5) C. y = (x - 1)(x - 5) D. y = (x + 1)(x + 5)

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn

Để sử dụng DESMOS tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn một cách nhanh chóng và chính xác, người học cần khai thác tính năng hiển thị/ẩn đồ thị của từng hàm số để so sánh đồ thị của đề bài với đồ thị của các hàm số trong đáp án. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Nhập lần lượt bốn hàm số trong các đáp án A, B, C và D vào ô nhập dữ liệu của DESMOS để làm cơ sở đối chiếu với đồ thị trong đề bài. Sau khi nhập xong, DESMOS sẽ hiển thị đồng thời đồ thị của cả bốn hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. 

Bước 2. Sử dụng tính năng hiển thị/ẩn đồ thị
Người học nhấn vào biểu tượng hình tròn màu ở bên trái mỗi hàm số để ẩn hoặc hiển thị đồ thị tương ứng. Người học nên ẩn tất cả các đồ thị trước, sau đó lần lượt bật từng đồ thị để việc so sánh với đồ thị trong đề bài được dễ dàng và trực quan hơn.

Bước 3. So sánh với đồ thị trong đề bài
Người học quan sát đồ thị của từng hàm số và đối chiếu với đồ thị đã cho trong đề bài. Có thể dựa vào các đặc điểm như chiều mở của Parabol, tọa độ đỉnh, giao điểm với các trục tọa độ… hoặc các đặc điểm nổi bật khác của đồ thị để so sánh.

Bước 4. Xác định đáp án đúng
Nếu đồ thị của một hàm số trùng khớp với đồ thị trong đề bài, đó chính là hàm số bậc hai cần tìm. 

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Fig. 4. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Which of the following could be the equation of the graph above?

A. y = (x−3)(x+1)

B. y = (x−2)(x+4)

C. y = (x−5)(x+1)

D. y = (x−4)(x+2)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Nhập lần lượt bốn hàm số trong các đáp án A, B, C và D vào ô nhập dữ liệu của DESMOS để làm cơ sở đối chiếu với đồ thị trong đề bài. Sau khi nhập xong, DESMOS sẽ hiển thị đồng thời đồ thị của cả bốn hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ. 

Fig. 5. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 2. Sử dụng tính năng hiển thị/ẩn đồ thị

Nhấn vào biểu tượng hình tròn màu ở bên trái mỗi hàm số để ẩn tất cả các đồ thị. Sau đó, lần lượt hiển thị từng đồ thị để so sánh với đồ thị đã cho trong đề bài.

Fig. 6. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Fig. 7. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Fig. 8. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Fig. 9. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3. So sánh với đồ thị trong đề bài

Quan sát từng đồ thị và đối chiếu với đồ thị của đề bài dựa trên các đặc điểm như tọa độ đỉnh, giao điểm với các trục tọa độ và hình dạng của đồ thị. Trong ví dụ này, đồ thị của đáp án A có đỉnh tại (1,−4) và cắt trục tung tại (0,−3), trùng với các đặc điểm của đồ thị trong đề bài. 

Các đồ thị còn lại có vị trí đỉnh hoặc giao điểm với các trục tọa độ khác với đồ thị đã cho nên có thể loại trừ. 

Fig. 10. Quadratic function x² - 2x - 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 4. Xác định đáp án đúng
Do đồ thị của đáp án A trùng khớp với đồ thị trong đề bài nên đáp án đúng là y=(x−3)(x+1)

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Fig 11. Question 1. (Source: [5])

Which of the following could be the equation of the graph above?

A. \(g(x) = (x - 4)^2 - 3\)

B. \(g(x) = (x + 4)^2 + 3\)

C. \(g(x) = (x + 4)^2 - 3\)

D. \(g(x) = (x - 4)^2 + 3\)

Answer: D

Question 2: Find the correct quadratic equation for the given figure.

Fig 12. Question 2. (Source: [6])

A. \(y = 2(x + 2)^2 - 2\)

B. \(y = 2x^2 + 8x + 8\)

C. y = (x + 1)(x + 3)

D. y = (x - 1)(x - 3)

Answer: A

Question 3: Find the correct quadratic equation for the given figure.

Fig 13. Question 3. (Source: [7])

A. \(y = 4x^2 - 16x + 12\)

B. \(y = 5x^2 - 20x + 18\)

C. \(y = 6x^2 - 24x + 23\)

D. \(y = 6x^2 - 24x + 21\)

Answer: C

Question 4: Find the correct quadratic equation for the given figure.

Fig 14. Question 4. (Source: [8])

A. y = -2(x-1)(x-4)

B. y = -(x-1)(x-4)

C. y = -2(x+1)(x+4)

D. y = 2(x-1)(x-4)

Answer: A

Question 5: A basketball player takes shots from different distances. The function H(x) gives the height, in feet, of the basketball x seconds after it is shot. The graph of the function H(x) is drawn in the xy-plane. Which equation best represents the relationship between time and the height of the basketball?

Fig 15. Question 5. (Source: [9])

A. \(H(x)=−x^2+4x+12\)

B. \(H(x)=−(x−2)^2+12\)

C. \(H(x)=(x−2)^2+12\)

D. \(H(x)=−2(x−2)^2+12\)

Answer: B

Question 6: The graphs of two quadratic functions, f(x) and g(x), are shown in the xy-plane. The graph of f(x) opens downward, and the graph of g(x) opens upward. The graphs intersect at two points, one of which is the vertex of f(x). If f(x) = −(x−2)(x−6), which of the following could be the equation of g(x)?

Fig 16. Question 6. (Source: [10])

A. g(x)= 4(x−2)(x−4)

B. g(x)= 2(x−3)(x−5)+2

C. \(g(x)=4(x−3)^2\)

D. \(g(x)=4(x−4)^2\)

Answer: C

Question 7: In the xy-plane, a line defined by the equation y = x + 2 intersects a quadratic function f(x) at exactly two points, (1, 3) and (4, 6). Which of the following could be the equation for f(x)?

Fig 17. Question 7. (Source: [11])

A. \(f(x) = x^2 - 4x + 6\)

B. \(f(x) = x^2 - 5x + 7\)

C. \(f(x) = 2x^2 - 8x + 9\)

D. \(f(x) = -x^2 + 4x + 2\)

Answer: A

Question 8: In the xy-plane, a line defined by the equation y = 10 intersects a quadratic function f(x) at exactly two points whose x-coordinates are positive integers. Which of the following could be the equation for f(x)?

Fig 18. Question 8. (Source: [12])

A. \(f(x) = 2 (x - 1)^ 2 + 10\)

B. \(f(x) = (x - 3)^ 2 + 2\)

C. \(f(x) = 2(x - 3)^ 2 + 2\)

D. \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)

Answer: C

Question 9: The graphs of two quadratic functions, f(x) and g(x), are shown in the xy-plane. Both graphs open downward and have the same x-intercepts. The graph of g(x) is narrower than the graph of f(x). The vertex of g(x) is (3,8). If f(x)=−(x−1)(x−5), which of the following equations defines g(x)?

Fig 19. Question 9. (Source: [13])

A. g(x)=−3(x−1)(x−5)

B. g(x)=−4(x−1)(x−5)

C. \(g(x)=−(x−3)^2+8\)

D. \(g(x)=−2(x−3)^2+8\)

Answer: D

Question 10: The graph of the quadratic function f(x) is shown in the xy-plane. The graph of g(x) is obtained by shifting the graph of f(x) 3 units to the right and 2 units up. Which of the following could be the equation of g(x)?

Fig 20. Question 6. (Source: [10])

A. g(x)=−(x−4)(x−8)+2

B. g(x)=−(x−5)(x−9)+2

C. g(x)=−(x−5)(x−9)−2

D. g(x)=−(x−5)(x−9)+4

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm số bậc hai tương ứng với đồ thị cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.