Sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang, một dạng bài phổ biến trong SAT Math.

Lý thuyết chung về hàm số chứa căn

Để tìm hàm số chứa căn đi qua các điểm đã cho, ta sử dụng dạng tổng quát của hàm chứa căn:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Vì hàm số có 3 ẩn số là a, h, và k, nên người học cần ít nhất 3 điểm khác nhau thuộc đồ thị để lập hệ phương trình và tìm các hệ số.

Khi có ít nhất 3 điểm, người học thay tọa độ từng điểm vào phương trình để tạo thành hệ phương trình. Sau đó, người học giải hệ để tìm giá trị của a, h, và k. Cuối cùng, thay các giá trị vừa tìm được vào dạng tổng quát để viết phương trình của hàm số.

Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2), B(5, 6), và C(10, 8).

Bước 1: Viết dạng tổng quát của hàm số: y = a√(x - h) + k

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình.

Với A(1, 2) -> 2 = a√(1 - h) + k 

Với B(5, 6) -> 6 = a√(5 - h) + k 

Với C(10, 8) -> 8 = a√(10 - h) + k 

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta nhận thấy, để đơn giản hóa việc giải hệ, ta dự đoán điểm A(1, 2) là điểm bắt đầu của đồ thị (do có x = 1 nhỏ nhất).

Từ đó, biểu thức dưới căn tại A sẽ bằng 0 → 1 - h = 0 → h = 1

→ k = 2

Thay vào hai phương trình còn lại:

6 = a√(5 - 1)+2 -> a = 2

Kiểm tra với điểm C:

8 = 2√(10 - 1) + 2 -> 8 = 6 + 2 (Đúng).

Đẳng thức đúng, nên các giá trị đã tìm được là chính xác.

Vậy phương trình của hàm số là:

y = 2√(x - 1) + 2.

Fig. 1. Function y = 2√(x - 1) + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Lưu ý rằng không phải mọi bộ ba điểm đều xác định được một hàm số căn thức dạng y = a√(x - h) + k. Chỉ những bộ điểm phù hợp với dạng hàm này mới cho nghiệm thực của hệ phương trình. Vì vậy, trong các bài toán Digital SAT, các điểm được cho thường được lựa chọn sao cho tồn tại một hàm số căn thức phù hợp.

Lý thuyết về sự biến đổi ngang của hàm số chứa căn

Trong các bài toán SAT, các bài toán hàm số chứa căn biến đổi là một dạng bài quen thuộc. Thay vì cho trực tiếp ký hiệu toán học, đề bài thường dùng từ ngữ miêu tả đồ thị. Nhiệm vụ của người học là diễn giải ngôn ngữ đó thành ký hiệu hàm số.

Dạng bài này biến đổi hàm số theo chiều ngang, nên ta có (1) hàm số gốc f(x) là một hàm số chứa căn và (2) hàm số biến đổi g(x) = f(b.x), với b khác 0. Ta xét các trường hợp co/giãn và phản chiếu ngang như sau:

• Co theo phương ngang (Horizontal compression): Khi |b| > 1. Đồ thị bị "ép" lại gần trục Oy, làm đồ thị trở nên dốc hơn. Tung độ giao điểm với trục Oy (nếu có) giữ nguyên, nhưng các nghiệm (giao điểm với Ox) bị co lại gần gốc tọa độ. 

• Giãn theo phương ngang (Horizontal stretch): Khi 0 < |b| < 1. Đồ thị bị kéo giãn ra xa trục Oy, làm cho đường cong trở nên thoải hơn. Các nghiệm bị đẩy ra xa gốc tọa độ. 

• Phản chiếu qua trục tung (Reflection across the y-axis): Khi b = -1. Đồ thị bị lật ngược hoàn toàn qua trục Oy, các giá trị hoành độ đổi dấu trong khi tung độ y giữ nguyên. 

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = √x (điều kiện x ≥ 0)

• Hàm số co theo phương ngang với hệ số là 2 (|2| > 1) → g(x) = f(2x) = √(2x). Đồ thị bị “ép” thu lại ½ khoảng cách về phía trục Oy

• Hàm số giãn theo phương ngang với hệ số là 0.5 (0 < |0.5| < 1) → h(x) = f(0.5x) =  √(0.5x). Đồ thị bị kéo giãn ra xa trục Oy gấp 2 lần. 

• Phản chiếu qua trục tung → k(x) = f(-x) = √-x

  

Fig. 2. Horizontal transformations of the radical functions on the Desmos Graphing Calculator (Source [2])

Lưu ý: Khi thực hiện phép biến đổi ngang g(x) = f(b.x), điểm (h, k) trên đồ thị sẽ trở thành (h/b, k) trên đồ thị g(x). Các điểm nằm trên trục Oy (có x=0) sẽ giữ nguyên vị trí.

Tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về sự thay đổi của việc nhân một hằng số vào giá trị x, xác định biến đổi (giãn/nén/phản chiếu) của hàm số theo phương ngang, chọn mô tả đúng về mối quan hệ giữa hai đồ thị, hoặc tìm phương trình mới sau khi đồ thị được giãn/nén/phản chiếu theo chiều ngang.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang

Để dùng DESMOS tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị.

Bước 1: Người học nhập hàm số gốc f(x) vào ô nhập dữ liệu của Desmos. Phần mềm sẽ vẽ đồ thị tương ứng.

Bước 2: Người học dựa vào ngôn ngữ miêu tả (giãn/nén theo hệ số nào, có phản chiếu hay không) và xác định sự biến đổi ngang của hàm số g(x) theo đề bài. Sau đó, người học nhập biểu thức g(x) = f(b.x). 

Bước 3: Người học lần lượt nhập 4 đáp án A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu và đối chiếu với đồ thị g(x) đã được vẽ ở bước 2. Nếu hai đồ thị trùng khớp thì đáp án đó chính là đáp án của đề bài.

Lưu ý: Khi hai đường đồ thị trùng nhau, đường gõ sau sẽ đè hoàn toàn lên đường gõ trước khiến người học khó quan sát. Người học nên nhấn trực tiếp vào biểu tượng hình tròn màu ở đầu mỗi ô nhập liệu để bật/tắt (ẩn/hiện) từng đồ thị, từ đó kiểm tra xem hai nét vẽ có thực sự trùng khít với nhau hay không.

Ví dụ minh họa:

In the xy-plane, the graph of the function f(x) = 2√(x-1) + 3 is transformed to form the graph of g(x). The graph of g(x) is obtained by horizontally stretching the graph of  f(x) away from the x-axis by a factor of 3 and then reflecting it across the y-axis. Which equation defines function g(x)? 

A) g(x) = 2√(-3x-1) + 3 

B) g(x) = 2√(-x/3 - 1) + 3

C) g(x) = -2√(x/3 - 1) - 3

D) g(x) = -2√(x/3-1) + 3 

Bước 1: Người học nhập hàm số f(x) vào ô nhập dữ liệu của Desmos.

Fig. 5. Radical function f(x) on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 2: Người học xác định sự biến đổi ngang. Đề bài yêu cầu sự giãn ngang (horizontally stretching) 3 đơn vị

→ g(x) = f(x/3)

 và phản chiếu qua trục Oy ( reflecting across the y-axis) 

→ g(x) = f(-x/3)

Người học nhập hàm số g(x) = f(-x/3) vào ô nhập dữ liệu

Fig. 6. Radical function f(x) and g(x) on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 3: Người học lần lượt nhập bốn đáp án A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu và đối chiếu.

Fig. 7. Four answer choices compared with g(x) on the Desmos Graphing Calculator. (Source [5])

Từ đó, người học có thể xác định đồ thị màu cam hay đồ thị ở đáp án B trùng khớp với đồ thị g(x) đã vẽ ở bước 2

Vậy đáp án chính xác là B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

In the xy-plane, the graph of function f(x) = √(x−3) + 2 passes through the points (4, 3), (7, 4), and (12, 5). The graph of g(x) is horizontally compressed by a factor of 3. Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = √(3x−3) + 2 

B. g(x) = √(x/3 − 3) + 2 

C. g(x) = 3√(x−3) + 2 

D. g(x) = √((x−3)/3) + 2 

Answer: A

Question 2: 

The graph of f(x) = 4√(x+5) − 2 is transformed to form g(x) by horizontally stretching f(x) away from the y-axis by a factor of 4 and then reflecting the result across the y-axis. Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = 4√(−4x+5) − 2 

B. g(x) = 4√(−x/4 + 5) − 2 

C. g(x) = −4√(x/4 + 5) − 2 

D. g(x) = 4√(x/4 + 5) + 2 

Answer: B

Question 3: Function h passes through the points (3, 2), (6, 5), and (10, 8). If g(x) = h(−3x), what is the value of g(−2)? 

A. −15 

B. −5 

C. 5 

D. 15 

Answer: C

Question 4: 

The graph of f(x) = √(x+1) + 3 passes through (−1, 3), (3, 5), and (8, 6). The graph of g(x) is horizontally compressed by a factor of 2 and reflecting across the y-axis. What is g(−4)? 

A. 3 

B. 5 

C. 6 

D. −6 

Answer: C

Question 5 

In the xy-plane, function f(x) = √(x−2) + 4 has an endpoint at (2, 4) and contains the points (6, 6) and (11, 7). Function g is formed by horizontally stretching f away from the y-axis by a factor of 5 and reflecting across the y-axis. What is the starting point (endpoint) of g(x)? 

A. (−10, 4) 

B. (−2/5, 4) 

C. (10, −4) 

D. (−10, −4) 

Answer: A

Question 6 

The monthly revenue of a coffee shop chain (in thousands of dollars) after x months of operation (x ≥ 1) is modeled by the function f(x) = 3√(x−1) + 1. Following a restructuring, the time model shifts to g(x) = f(b·x) (where b > 0). If the chain reaches a revenue of $10,000 in the 2.5th month (g(2.5) = 10), what is the value of the scaling factor b? 

Answer: 4

Question 7 

Function f passes through points (0, 1), (2, 5), and (8, 9). If g(x) = f(b·x) represents a horizontal stretch of f(x) away from the y-axis such that g(6) = 5, find the equation of g(x). 

A. g(x) = f(3x) 

B. g(x) = f(x/3) 

C. g(x) = f(x/2) 

D. g(x) = f(2x) 

Answer: B

Question 8 

A civil engineering firm models the height profile of an arched pedestrian bridge using f(x) passing through (4, 15), (9, 18), and (16, 21). To design a modified support structure, the profile is transformed to g(x) by reflecting f(x) across the y-axis and horizontally stretching it by a factor of 2. Which point lies on g(x)? 

A. (−8, 15) 

B. (−2, 15) 

C. (−18, 18) 

D. (−8, −15) 

Answer: A

Question 9 

In the xy-plane, f(x) = √(x+4) − 1 passes through (0, 1), (5, 2), and (12, 3). Function g(x) is formed by horizontally compressing f(x) toward the y-axis by a factor of 1/4 and reflecting across the y-axis. What is g(−3)? 

A. −3 

B. 1 

C. 3 

D. 4 

Answer: C

Question 10 

Function f contains the points (−2, 1), (4, 5), and (9, 7). The graph of g(x) = f(b·x) passes through the point (−3, 5). Which of the following best describes the transformation from f(x) to g(x)? 

A. Horizontal stretch by a factor of 4/3, with reflection across the y-axis 

B. Horizontal compression by a factor of 4/3, with reflection across the y-axis 

C. Horizontal compression by a factor of 3/4, no reflection 

D. Horizontal stretch by a factor of 3/4, with reflection across the y-axis 

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm số chứa căn trước/sau biến đổi ngang. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.