Sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước.

Lý thuyết chung về hàm số mũ:

Dạng cơ bản nhất của hàm số mũ là:

f(x) = a(b)^x

Trong đó:

• a là giá trị khởi tạo hoặc tung độ gốc. Điều kiện: a khác 0.

• b là cơ số hay hệ số nhân. Điều kiện: b > 0 và b khác 1.

• Nếu b > 1: Hàm số thể hiện sự tăng trưởng mũ.

• Nếu 0 < b < 1: Hàm số thể hiện sự suy giảm mũ. 

Ngoài ra, hàm số mũ có thể xuất hiện dưới các dạng biến thể phức tạp hơn như f(x) = a(b)^(x + c) + d. Tập xác định của các hàm số mũ cơ bản này thường là toàn bộ tập số thực R.

Lý thuyết về cách giải phương trình mũ

Để tìm được nghiệm của phương trình mũ khác cơ số, người học có 3 cách giải: biến đổi phương trình về cùng cơ số, phép biến đổi đại số và phương pháp đồ thị.

Trường hợp 1: Nếu g(x) có thể được biểu diễn dưới dạng một lũy thừa của cùng cơ số a, phương trình có thể được đưa về dạng:

a^f(x) = a^h(x).

Vì a > 0 và a ≠ 1, ta có f(x) = h(x).

Sau đó, người học giải phương trình đại số thu được.

Ví dụ: Ta có phương trình

4^x = 2^(x+2)

Ta có: 4 = 2^2 -> Ta có thể biến đổi phương trình

(2^2)^x = 2^(x+2) -> 2^2x = 2^(x + 2) -> 2x = x + 2 -> x = 2.

Trường hợp 2: Trong nhiều phương trình, g(x) không phải ngay lập tức là một lũy thừa cùng cơ số với vế trái. Tuy nhiên, bằng cách phân tích, đặt ẩn phụ hoặc sử dụng các tính chất của lũy thừa, người học có thể đưa phương trình về một phương trình đại số quen thuộc.

Ví dụ: 2^2x - 5 ⋅ 2x + 6 = 0.

Nhận thấy: 2^2x = (2^x)^2, ta có thể đặt t = 2x.

Khi đó phương trình trở thành: t^2 - 5t + 6 = 0.

-> (t - 2)(t - 3)=0.

Do đó: t = 2 hoặc t = 3.

Thay t = 2x:

2x = 2 -> x = 1, hoặc 2x = 3.

Phương trình thứ hai không cho nghiệm nguyên và không phải dạng thường được giải chính xác bằng các kiến thức cốt lõi của SAT nếu không có thêm thông tin.

Trong những trường hợp như vậy, đồ thị hoặc công cụ máy tính có thể được sử dụng để xác định nghiệm gần đúng.

Trường hợp 3: Người học có thể giải phương trình mũ khác cơ số bằng phương pháp đồ thị, được trình bày ở mục kế tiếp.

Mối liên hệ giữa phương trình mũ khác cơ số và đồ thị

Xét phương trình mũ có dạng tổng quát a^f(x) = b^g(x). Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai hàm số riêng biệt đại diện cho hai vế:

• Vế trái tương ứng với hàm số y = a^f(x)

• Vế phải tương ứng với hàm số y = b^g(x)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị của các hàm số mũ này thường là những đường cong. Như vậy, việc giải phương trình a^f(x) = b^g(x) tương đương với việc tìm hoành độ giao điểm x sao cho đồ thị của vế trái và vế phải cắt nhau.

Ví dụ, với phương trình sau: 4^x = 2^(x+2), ta xét vế trái: 4^x và vế phải 2^(x+2). Như vậy, nghiệm x của phương trình sẽ là giao điểm của hai đồ thị này.

Như ở trên người học tìm được, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vì vậy, đường cong 4^x cắt đường cong 2^(x+2) tại điểm có hoành độ x = 2.

Fig. 1. Equation 4^x = 2^(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có một nghiệm duy nhất (hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm), đối với phương trình mũ, ta còn có các trường hợp đặc biệt sau::

1. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ hoàn toàn không cắt nhau. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) ≠ b^g(x).

Ví dụ: 2^2x = 4^(x + 1)

Giải phương trình, ta có: 2^2x = (2^2)^(x + 1) -> 2^2x = 2^(2x + 2) -> 2x = 2x + 2 (Vô lý)

-> Phương trình vô nghiệm, và hai đồ thị không cắt nhau.

Fig. 2. Equation 2^2x = 4^(x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô số nghiệm

Khi phương trình có vô số nghiệm, đồ thị của hai vế sẽ trùng khít hoàn toàn lên nhau. Khi đó, biểu thức hai vế thực chất là một, với mọi giá trị của x, ta luôn có a^f(x) = b^g(x).

Ví dụ: 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x

Ta nhận thấy rằng 5 ⋅ 5^x có thể được biến đổi thành 5^1 ⋅ 5^x = 5^(1 + x)

-> 5^(x + 1) = 5^(1 + x) -> Đúng với mọi x.

-> Phương trình vô số nghiệm, hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 3. Equation 5^(x + 1) = 5 ⋅ 5^x on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước là rất đa dạng. Thí sinh có thể được yêu cầu tìm hệ số tăng trưởng, hoặc tính toán chu kỳ của một mô hình thực tế (như lãi suất kép, sự phân rã phóng xạ, sự phát triển dân số) thông qua một dữ kiện đầu ra cho trước.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp. Người học cần xác định rõ biểu thức hàm số, vị trí của hằng số cần tìm, và dữ kiện mục tiêu (giá trị x được cho và kết quả f(x) tương ứng).

Bước 2: Tạo lập Bảng (Table) trên DESMOS và nhập các phương án. Người học bấm vào biểu tượng dấu cộng (+) ở góc trái màn hình DESMOS, chọn Table. Tại tiêu đề của cột thứ nhất (mặc định là x1), người học đổi tên thành ký tự của hằng số cần tìm (ví dụ: k, c). Sau đó, nhập lần lượt 4 giá trị từ các đáp án A, B, C, D vào các hàng dọc của cột này.

Bước 3: Nhập biểu thức hàm số để đối chiếu. Tại tiêu đề của cột thứ hai (mặc định là y1), người học nhập nguyên vẹn biểu thức của hàm số, nhưng thay biến x bằng con số cụ thể mà đề bài đã cho.

Bước 4: Đối chiếu kết quả và lựa chọn đáp án đúng. DESMOS sẽ tự động tính toán và điền kết quả vào cột thứ hai tương ứng với từng đáp án của hằng số. Người học chỉ cần tìm giá trị kết quả nào bằng (hoặc xấp xỉ gần nhất) với giá trị mục tiêu của đề bài, từ đó suy ngược ra đáp án đúng ở cột thứ nhất.

Ví dụ minh hoạ:

The function f is defined by f(x) = 300(1.05)^(x + k), where k is a constant. If f(12) = 600, what is the value of k, to the nearest hundredth?

A. 1.21

B. 2.21

C. 12.00

D. 14.21

Hướng dẫn giải bằng Desmos: 

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp:

Biểu thức hàm số: f(x) = 300(1.05)^(x + k).

Dữ kiện mục tiêu: Khi x = 12, hàm số phải có giá trị là 600. Hằng số cần tìm là k.

Bước 2: Tạo lập Bảng và nhập các phương án:

Tạo Table trên DESMOS. Đổi tên tiêu đề cột 1 thành k. Nhập các đáp án vào cột k: 1.21, 2.21, 12.00, 14.21.

Bước 3: Nhập biểu thức hàm số để đối chiếu:

Tại tiêu đề cột 2, nhập biểu thức của hàm số nhưng thay x = 12. Cụ thể, gõ: 300(1.05)^(12 + k).

Bước 4: Đối chiếu kết quả:

Tại hàng k = 1.21, cột 2 trả kết quả xấp xỉ 571.42 (Không bằng 600).

Tại hàng k = 2.21, cột 2 trả kết quả xấp xỉ 599.98 (Gần bằng 600 nhất, sai số do làm tròn ở phần trăm).

Tại hàng k = 12.00, cột 2 trả kết quả xấp xỉ 967.53.

Tại hàng k = 14.21, cột 2 trả kết quả xấp xỉ 1077.58.

Giá trị mục tiêu của đề bài là 600, do đó đáp án B (2.21) là chính xác nhất. => Chọn đáp án B.

Fig. 6. Equation f(x) = 300(1.05)^(x + k) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Đọc thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm biểu thức đa thức tương đương bằng đồ thị

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function g is defined by g(t) = 150(1.08)^(t - c), where c is a constant. If g(10) = 450, what is the value of c, to the nearest hundredth?

A. -4.27

B. -1.42

C. 4.27

D. 14.27

Answer: A

Question 2:

The population of a species of insects is modeled by the function P(x) = 500(0.85)^(x + m), where x is the number of weeks since the initial observation and m is a constant. If the population is approximately 250 after 5 weeks, what is the value of m, to the nearest hundredth?

A. -0.74

B. 0.74

C. 1.26

D. 4.27

Answer: A

Question 3:

A financial analyst models the value of an investment using the function V(t) = 1200(1.12)^(c * t), where V is the value in dollars, t is the time in years, and c is a constant. If the investment's value is exactly 2400 after 4 years, which of the following is closest to the value of c?

A. 1.53

B. 2.45

C. 3.06

D. 6.12

Answer: A

Question 4:

The total amount of money in a savings account after t years is modeled by the function A(t) = 5000(1 + r/4)^(4t), where r is the annual interest rate expressed as a decimal. If the account balance is approximately 6094.97 after 5 years, what is the value of r?

A. 0.02

B. 0.03

C. 0.04

D. 0.05

Answer: C

Question 5:

A radioactive isotope decays such that the mass remaining after d days is given by M(d) = 320(0.5)^(d/h) grams, where h is the half-life of the isotope in days. If exactly 40 grams of the isotope remain after 24 days, what is the value of the constant h?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

Answer: C

Question 6:

The temperature T, in degrees Fahrenheit, of a cooling object m minutes after being placed in a room is modeled by T(m) = 70 + 130(k)^m, where k is a positive constant. If the temperature of the object is 153.2 degrees Fahrenheit after 2 minutes, what is the value of k?

A. 0.64

B. 0.72

C. 0.80

D. 0.85

Answer: C

Question 7:

An exponential function is given by the equation y = a(b)^x, where a and b are positive constants. The graph of this function in the xy-plane passes through the points (2, 36) and (4, 324). What is the value of the constant a?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 9

Answer: B

Question 8:

The functions f and g are defined by f(x) = 3 4^(x - k) and g(x) = 48 2^(x - 3), where k is a constant. If the graphs of f and g intersect at exactly one point in the xy-plane where x = 5, what is the value of k?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: B

Question 9:

The resale value of a certain car t years after it was purchased new is modeled by the function V(t) = 25000(1 - r)^t, where r is a constant representing the annual depreciation rate. If the car's value is exactly 12800 after 3 years, what is the value of r?

A. 0.15

B. 0.20

C. 0.25

D. 0.30

Answer: B

Question 10:

The population of City A is modeled by P(t) = 10000(1.04)^t and the population of City B is modeled by Q(t) = 5000(1.08)^t, where t is the number of years from now. In approximately how many years will the population of City B be equal to the population of City A?

A. 16

B. 18

C. 20

D. 22

Answer: B

Xem thêm tại: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hằng số/hệ số chưa biết của phương trình mũ với điều kiện cho trước. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.