Sử dụng DESMOS để phân tích các biểu thức bậc hai thành nhân tử

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về biểu thức bậc hai

Biểu thức bậc hai có dạng tổng quát là:

Ax² + Bx + C

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A ≠ 0 còn x là biến số độc lập.

Lý thuyết về nhân tử của biểu thức bậc hai

Xét biểu thức bậc hai Ax^2 + Bx + C. Biểu thức này có thể được viết thành dạng nhân tử theo công thức:

Ax² + Bx + C = A(x + D)(x + E)

Để tìm ra D và E, ta cần làm các bước sau:

• Bước 1: Liệt kê các cặp số có tích bằng số hạng tự do C.

• Bước 2: Tìm một cặp số vừa có tổng bằng hệ số của x (tức là B/A), vừa có tích bằng C/A.

  Lưu ý: Nếu A bằng 1, thì cặp số vừa có tổng bằng B và vừa có tích bằng C. Nếu A là số khác 1, thì cặp số sẽ có tổng là B/A và tích là C/A. 

• Bước 3: Viết hai ngoặc, mỗi ngoặc chứa biến x.

• Bước 4: Đặt mỗi số trong cặp tìm được vào một ngoặc. Người học không cần quan tâm đến thứ tự, nhưng cần phải để ý đến dấu của các số để tránh sai sót.

Người học cũng cần lưu ý là với các giá trị x = -D và x = -E thì biểu thức được cho sẽ bằng 0.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions

Mối liên hệ giữa biểu thức bậc hai và đồ thị

Tính chất của biểu thức bậc hai cũng có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị.

Xét biểu thức bậc hai Ax² + Bx + C. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của biểu thức Ax² + Bx + C là một parabol.

• Hệ số A sẽ quyết định chiều mở của parabol.

• Nếu A > 0: parabol mở lên hình “chữ U” (parabol giảm rồi tăng).

• Nếu A < 0: parabol mở xuống hình “quả núi” (parabol tăng rồi giảm).

Điểm đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, là giá trị nhỏ hoặc lớn nhất của biểu thức bậc hai (tuỳ vào A). Điểm đỉnh có hoành độ là x = -B/2A. Ngoài ra, thay mỗi giá trị x vào trong biểu thức sẽ tính ra được một giá trị biểu thức tương ứng, gọi là y. Các điểm với tọa độ (x, y) sẽ nằm trên đồ thị của biểu thức.

Ví dụ, với biểu thức bậc hai: x² - 4x + 3

Ta có: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Ta thay thử các giá trị x vào biểu thức

• Thay x = 1 -> Biểu thức = (1)² - 4(1) + 3 = 0 -> (1, 0) là một điểm thuộc đồ thị biểu thức x² - 4x + 3

• Thay x = 3 -> Biểu thức = (3)² - 4(3) + 3 = 0 -> (3, 0) là một điểm thuộc đồ thị biểu thức x² - 4x + 3

Vì vậy, parabol đi qua hai điểm (1, 0) và (3, 0).

Fig. 1. Expression x^2 - 4x + 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài ra, ta cũng có thể thấy x1 = -1 và x2 = -3 có tích bằng hằng số tự do C = 3, và cũng có tổng bằng hệ số của x là B = -4.

Vậy nên, ta cũng có thể phân tích biểu thức thành nhân tử:

x² − 4x + 3 -> (x - 1)(x - 3)

Fig. 2. Expression x^2 - 4x + 3 and Factors on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về các nhân tử, tìm hằng số liên quan đến nhân tử, xác định tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến nhân tử, cũng như là trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Xem thêm: 10 trung tâm luyện thi SAT tốt và uy tín tại TPHCM

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử

Để sử dụng DESMOS để phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị hoặc tính năng slider. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Cách 1: Dùng tính năng vẽ đồ thị biểu thức

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là biểu thức cũng như là nhân tử được cho trước (nếu có).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, người học cần viết biểu thức được cho vào DESMOS.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của biểu thức tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học bấm vào giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng y = 0, chính là trục hoành Ox. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là các giá trị của x ở trong các nhân tử của biểu thức, vì đây là các giá trị x khiến biểu thức bằng 0. Tuỳ vào việc này, người học có thể trả lời các câu hỏi của đề bài liên quan đến nhân tử.

Bước 4: (tuỳ chọn) Viết lại dạng nhân tử/nghiệm tìm được lên DESMOS thể thử lại đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Consider the expression:

2x² - 5x + 2

If the expression is rewritten in the form of (x - 2)(2x - k), where k is a constant, what is the value of k?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Biểu thức được cho: 2x² - 5x + 2

• Nhân tử được cho trước: (x - 2)(2x - k)

• Giá trị cần tìm: k

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: 2x² - 5x + 2 để hiện đồ thị biểu thức trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với các số mũ, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị parabol 2x² - 5x + 2 trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Expression 2x^2 - 5x + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Vì các giá trị x trong nhân tử là các giá trị x khiến biểu thức được cho = 0, người học bấm có thể vào hai giao điểm giữa parabol và đường thẳng y = 0 để tìm ra hai giao điểm là (1/2, 0) và (2, 0), tìm ra được hai nghiệm x1 = 1/2 và x2 = 2. Như vậy, biểu thức có thể được biến đổi thành nhân tử theo công thức: 2x² - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).

Đề bài cho trước nhân tử là (x - 2)(2x - k), vậy ta có thể nhận thấy được k = 1.

Bước 4: Người học có thể viết nhân tử tìm được là (x - 2)(2x - 1) lên DESMOS. 

Fig. 7. Expression 2x^2 - 5x + 2 and Factors on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Người học có thể thấy là đồ thị của biểu thức và nhân tử tìm được trùng nhau. Như vậy, giá trị k tìm được là đúng.

⇒ Chọn đáp án A.

Cách 2: Dùng tính năng slider

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là biểu thức cũng như là nhân tử được cho trước (nếu có).

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, người học cần viết biểu thức được cho vào DESMOS cũng như là nhân tử được cho (bao gồm cả hằng số).

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của biểu thức tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học bấm vào nút add slider. Điều này sẽ tạo ra một thanh slider cho giá trị hằng số mà người đọc có thể kéo sang trái/phải để thay đổi đồ thị của biểu thức chứa ẩn.

Bước 4: Người học kéo thanh slider đến khi đồ thị của hai biểu thức trùng nhau, từ đó sẽ tìm ra được giá trị của hằng số.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Consider the expression:

2x² - 5x + 2

If the expression is rewritten in the form of (x - 2)(2x - k), where k is a constant, what is the value of k?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Biểu thức được cho: 2x² - 5x + 2

• Nhân tử được cho trước: (x - 2)(2x - k)

• Giá trị cần tìm: k

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: 2x² - 5x + 2 để hiện đồ thị biểu thức trên mặt phẳng toạ độ

• Viết ở dòng thứ hai: (x - 2)(2x - k)

Desmos sẽ hiển thị parabol đồ thị của hai biểu thức trên mặt phẳng toạ độ.

Fig. 8. Expressions 2x^2 - 5x + 2 and (x - 2)(2x - k) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Bước 3: Người bấm vào nút add slider cho hằng số “k” để hiện lên thanh slider.

Fig. 9. Expressions 2x^2 - 5x + 2 and (x - 2)(2x - k) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Bước 4: Bây giờ, người học kéo thanh slider đến khi nào hai đồ thị trùng nhau.

Fig. 10. Expressions 2x^2 - 5x + 2 and (x - 2)(2x - k) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Trong trường hợp này, người học có thể thấy là giá trị k = 1 sẽ làm cho hai đồ thị trùng nhau.

⇒ Chọn đáp án A.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

• Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử [9]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Consider the expression 5x² - 13x + 6. Suppose the expression can be rewritten as (5x - 3)(x - k), where k is a constant. What is the value of k?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer: B

Question 2: 

For what value of k is the expression x² + kx + 12 equivalent to  (x + 3)(x + 4) 

A. 5

B. 6

C. 7

D. 12

Answer: C

Question 3:

A quadratic expression is written as (x + 4)(3x - k). When expanded, the expression becomes 3x² + 8x - 16. What is the value of k?

A. 4

B. 2

C. 8

D. 6

Answer: A

Question 4:

A quadratic expression is known to factor into two binomials. One of the factors is (x - 5). If the expression is 2x² - 7x - 15, what is the other factor?

A. x - 3

B. 2x - 3

C. x + 3

D. 2x + 3

Answer: D

Question 5:

The quadratic expression 6x² + x - 2 can be written in the form (3x + k)(2x - 1), where k is a constant.  What is the value of 2k - 1?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: D

Question 6:

The quadratic expression 4x² + 5x - 6 can be written in the form (2x + k)(2x + m), where k and m are constants.  What is the value of k + m?

A. 1

B. 5/2

C. 5/4

D. 7/4

Answer: B

Question 7:

The quadratic expression 6x² + 7x - 10 can be written in the form (2x + a)(3x + b), where a and n are constants.  What is the value of 2ab?

A. -50

B. -40

C. -30

D. -20

Answer: D

Question 8:

The quadratic expression 6x² + px + q is equivalent to (3x + k)(2x + 5). If p + q = 29, what is the value of k?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Answer: C

Question 9:

When expanded, the expression (5x + k)(x - 3) is equivalent to 5x² + px - 12, where p and k are constants. If p + k = -7, what is the value of k?

A. 2

B. -2

C. -4

D. 4

Answer: D

Question 10:

A company models the profit from selling a product using the expression 4x² + px - 21, where x represents the number of units sold (in thousands), x ≥ 0. The company determines that the expression can be written in factored form as (4x - 7)(x + k). What is the value of k?

A. -1

B. -3

C. 3

D. 1

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để phân tích biểu thức bậc hai thành nhân tử. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.