Sử dụng DESMOS để tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn, một dạng bài phổ biến trong bài thi SAT Math.

Lý thuyết chung về biểu thức chứa căn

Cho số thực a và số nguyên dương n ≥ 2. Căn bậc n của số a là một số x sao cho:

\(x^{n}=a\)

Kí hiệu: \(\sqrt[n]{a}\)

• n được gọi là chỉ số căn (với căn bậc 2 thông thường, ta thường lược chỉ số 2)

• a được gọi là biểu thức dưới dấu căn

Đối với mỗi căn thức, ta cần xác định điều kiện tồn tại của chúng

• Khi n là số lẻ, căn bậc n của a luôn xác định với mọi giá trị của a.

• Khi n là số chẳn, căn bậc n của a chỉ xác định khi giá trị của a ≥ 0.

Lý thuyết về các phép biến đổi và dạng mũ tương đương

Với a > 0, mọi biểu thức chứa căn bậc n đều có thể được biến đổi về dạng số mũ theo công thức sau:

\(\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\)

Trong đó:

• n ≥ 2

• m ∈ Z

Các quy tắc phép tính lũy thừa cùng cơ số:

1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số (Cộng số mũ): \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\)

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số (Trừ số mũ): \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\left(a\ne0\right)\)

3. Lũy thừa của lũy thừa (Nhân số mũ): \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}\)

4. Lũy thừa của một tích / một thương: \(\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\) và \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

Ví dụ:

Xét sự biến đổi biểu thức \(A=\sqrt[3]{x^4}\) về dạng mũ:

\(A=\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac43}\)

Xét sự biến đổi biểu thức \(B=\sqrt{x\sqrt[3]{x^2}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac23}}=\sqrt{x^{1+\frac23}}=\sqrt{x^{\frac53}}=x^{\frac53\div2}=x^{\frac56}\)

Tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc biến đổi các căn thức phức tạp (như căn lồng căn, tích hoặc thương của nhiều căn thức) về dạng x^k, xác định giá trị của số mũ k, hoặc chọn biểu thức tương đương đúng nhất trong 4 phương án cho sẵn.

Xem thêm: Đăng ký thi SAT ở đâu? Các bước đăng ký thi chi tiết

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn

Để dùng DESMOS tìm dạng mũ tương đương của biến thức căn, ta sử dụng tính năng nhập biểu thức và vẽ đồ thị.

Bước 1: Người học nhập biểu thức gốc đề cho vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Phần mềm sẽ vẽ đồ thị tương ứng.

Lưu ý: Để nhập được biểu thức căn bậc n, người học mở bàn phím, ấn vào nút “functions” (chức năng) ở góc phải bàn phím và kéo xuống phần “Number Theory” để chọn căn bậc n.

Bước 2: Người học lần lượt nhập các biểu thức ở các đáp án A, B, C, và D lần lượt vào ô nhập dữ liệu. 

Bước 3: Người học đối chiếu lần lượt đồ thị gốc với đồ thị ở các đáp án A, B, C, và D. Nếu hai đồ thị trùng nhau, thì đồ thị đó chính là đáp án.

Lưu ý: Khi hai đường đồ thị trùng nhau, đường gõ sau sẽ đè hoàn toàn lên đường gõ trước khiến người học khó quan sát. Người học nên nhấn trực tiếp vào biểu tượng hình tròn màu ở đầu mỗi ô nhập liệu để bật/tắt (ẩn/hiện) từng đồ thị, từ đó kiểm tra xem hai nét vẽ có thực sự trùng khít với nhau hay không. 

Ngoài ra, đối với những câu tự luận để ra được đáp án, người học vẫn có thể dùng cách được hướng dẫn để có thể check lại đáp án

Ví dụ minh họa:

Which of the following is equivalent to the expression \(\sqrt[4]{x^3}\cdot\sqrt[3]{x^2}\) for all x > 0?

A) x^(5/7)

B) x^(6/12)

C) x^(17/12)

D) x^(24/12)

Bước 1: Người học nhập biểu thức gốc vào ô nhập dữ liệu

Fig 3. Input box on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Bước 2: Người học lần lượt nhập biểu thức ở các đáp án A, B, C, D vào ô nhập dữ liệu

Fig. 4. Graphs of exponential expression on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Bước 3: Người học đối chiếu đồ thị gốc với đồ thị ở các đáp án A, B, C, và D.

Fig. 5. Graphs of exponential expressions on the Desmos Graphing Calculator (Source [3])

Dựa vào đồ thị, ta dễ dàng nhận thấy đồ thị màu cam trùng với đồ thị gốc. Từ đó, ta chọn được đáp án đúng là C.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn [4]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

For x > 0, which of the following is equivalent to

\(\sqrt[4]{x^3}\cdot\sqrt[3]{x^2}\)

A) x^(5/7)

B) x^(13/12)

C) x^(17/12)

D) x^(19/12)

Answer: C

Question 2:

For x > 0, which of the following is equivalent to \(\sqrt{x^5}\cdot\sqrt[4]{x^3}\)?

A) x^(7/4)

B) x^(13/4)0

C) x^(11/4)

D) x^(17/4)

Answer: B

Question 3:

For x > 0, \(\sqrt[3]{x^5}\div\sqrt{x}=x^{k}\)

What is the value of k?

Answer: 7/6

Question 4:

For x > 0, \(\sqrt[5]{x^3}\cdot\sqrt{x}=x^{\frac{a}{b}}\)

where a and b are positive integers and a/b is in simplest form

What is the value of a + b?

A) 21

B) 23

C) 25

D) 27

Answer: A

Question 5:

For x > 0, which of the following is equivalent to \(\sqrt[6]{x^5}\cdot\sqrt[4]{x^3}\)?

A) x^(19/12)

B) x^(8/10)

C) x^(15/24)

D) x^(17/12)

Answer: A

Question 6: 

For x > 0, which of the following is equivalent to \(\frac{\sqrt[3]{x^8}}{\sqrt[5]{x^4}}\)?

A) x^(4/15)

B) x^(28/15)

C) x^(52/15)

D) x^(2/15)

Answer: B

Question 7:

For x > 0, \(\sqrt[4]{x^5}\cdot\sqrt[12]{x^7}=x^{k}\), what is the value of k?

Answer: 11/6

Question 8:

For x > 0, \(\frac{\sqrt[3]{x^7}}{\sqrt[4]{x^5}}=x^{\frac{a}{b}}\), where a and b are positive integers and a/b is in its simplest form. What is the value of a+b?

A) 25

B) 23

C) 19

D) 17

Answer: A

Question 9:

For x > 0, which of the following is equivalent to \(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^5}}\)?

A) x^(3/2)

B) x^(7/6)

C) x^(9/6)

D) x^(7/3)

Answer: A

Question 10:

For x > 1, which of the following expressions has the greatest value?

A) \(\sqrt[3]{x^2}\)

B) \(\sqrt[4]{x^3}\)

C) \(\sqrt[5]{x^4}\)

D) \(\sqrt[6]{x^5}\)

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm dạng mũ tương đương của biểu thức chứa căn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.