Sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc, một dạng bài phổ biến trong SAT Math.

Lý thuyết chung về hàm số chứa căn

Hàm số chứa căn bậc hai cơ bản có dạng tổng quát là:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Điều kiện xác định: (x - h) ≥ 0.

Cách tìm hàm số chứa căn dựa trên các điểm bất kỳ

Để tìm hàm số chứa căn đi qua các điểm đã cho, ta sử dụng dạng tổng quát của hàm chứa căn:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Vì hàm số có 3 ẩn số là a, h, và k, nên người học cần ít nhất 3 điểm khác nhau thuộc đồ thị để lập hệ phương trình và tìm các hệ số.

Khi có ít nhất 3 điểm, người học thay tọa độ từng điểm vào phương trình để tạo thành hệ phương trình. Sau đó, người học giải hệ để tìm giá trị của a, h, và k. Cuối cùng, thay các giá trị vừa tìm được vào dạng tổng quát để viết phương trình của hàm số.

Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2), B(5, 6), và C(10, 8).

Bước 1: Viết dạng tổng quát của hàm số: y = a√(x - h) + k

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình.

Với A(1, 2) -> 2 = a√(1 - h) + k 

Với B(5, 6) -> 6 = a√(5 - h) + k 

Với C(10, 8) -> 8 = a√(10 - h) + k 

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Ta nhận thấy, để đơn giản hóa việc giải hệ, ta dự đoán điểm A(1, 2) là điểm bắt đầu của đồ thị (do có x = 1 nhỏ nhất).

Từ đó, biểu thức dưới căn tại A sẽ bằng 0 → 1 - h = 0 → h = 1

→ k = 2

Thay vào hai phương trình còn lại:

6 = a√(5 - 1)+2 -> a = 2

Kiểm tra với điểm C:

8 = 2√(10 - 1) + 2 -> 8 = 6 + 2 (Đúng).

Đẳng thức đúng, nên các giá trị đã tìm được là chính xác.

Vậy phương trình của hàm số là:

y = 2√(x - 1) + 2.

Fig. 1. Function y = 2√(x - 1) + 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Lưu ý rằng không phải mọi bộ ba điểm đều xác định được một hàm số căn thức dạng y = a√(x - h) + k. Chỉ những bộ điểm phù hợp với dạng hàm này mới cho nghiệm thực của hệ phương trình. Vì vậy, trong các bài toán Digital SAT, các điểm được cho thường được lựa chọn sao cho tồn tại một hàm số căn thức phù hợp.

Xem thêm: Square Roots trong SAT® Math

Lý thuyết về sự dịch chuyển dọc của hàm số chứa căn

Sự dịch chuyển dọc của hàm số chứa căn xảy ra khi ta thêm hoặc bớt một hằng số d vào toàn bộ hàm số y = f(x)

Xét hai hàm số chứa căn f(x) và g(x), ta có các trường hợp biến đổi hàm số để dịch chuyển đồ thị theo chiều dọc trên mặt phẳng Oxy:

Dịch chuyển lên/xuống: g(x) = f(x) + d 

• Nếu d > 0, đồ thị dịch chuyển lên trên d đơn vị

• Nếu d < 0, đồ thị dịch chuyển xuống dưới d đơn vị

Lưu ý: Khi ta dịch chuyển dọc một hàm số chứa căn lên xuống d đơn vị, thì tung độ tương ứng của các điểm cũng sẽ dịch chuyển lên xuống d đơn vị, còn hoành độ thì giữ nguyên giá trị.

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = 3√(x-3) + 5 

Khi ta dịch chuyển hàm số lên 3 đơn vị, hàm số sẽ trở thành g(x) = f(x) + 3 = 3√(x-3) + 5 + 3 = 3√(x-3) + 8

Fig. 2. Radical functions f(x) and g(x) on the Desmos Graphing Calculator (Source [2])

Dựa vào đồ thị, ta nhận thấy điểm (3, 5) ban đầu đã được dịch chuyển lên đúng 3 đơn vị để trở thành điểm (3, 8).

Tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về sự thay đổi của việc cộng hoặc trừ một hằng số vào hàm số, xác định sự tịnh tiến của đồ thị theo phương thẳng đứng, chọn mô tả đúng về mối quan hệ giữa hai đồ thị, hoặc tìm phương trình mới sau khi đồ thị được dịch chuyển dọc.

Xem thêm: Du học Mỹ cần điểm SAT® bao nhiêu

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc

Để dùng DESMOS tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc, ta sử dụng tính năng nhập hàm số và vẽ đồ thị.

Bước 1: Người học nhập hàm số gốc f(x) vào ô nhập dữ liệu của phần mềm Desmos.

Bước 2: Người học xác định sự dịch chuyển lên hoặc xuống d đơn vị của đồ thị g(x) được biến đổi.

• Nếu đồ thị dịch chuyển lên d đơn vị, người học nhập hàm số g(x) = f(x) + d

• Nếu đồ thị dịch chuyển xuống d đơn vị, người học nhập hàm số g(x) = f(x) - d

Bước 3: Người học dựa vào đồ thị của hàm số g(x) và f(x) để giải quyết các yêu cầu của bài toán. Người học lần lượt thay thế các đáp án ở các lựa chọn A, B, C, và D vào để đối chiếu. Nếu đồ thị đó trùng khớp với đồ thị g mà phần mềm đã vẽ thì đó chính là đáp án chính xác.

Lưu ý: Khi hai đường đồ thị trùng nhau, đường gõ sau sẽ đè hoàn toàn lên đường gõ trước khiến người học khó quan sát. Người học nên nhấn trực tiếp vào biểu tượng hình tròn màu ở đầu mỗi ô nhập liệu để bật/tắt (ẩn/hiện) từng đồ thị, từ đó kiểm tra xem hai nét vẽ có thực sự trùng khít với nhau hay không.

Ví dụ minh họa:

The function f is defined by f(x) = 3√(x+2) - 4. In the xy-plane, the graph of the function g is the result of shifting the graph of f down 5 units. Which of the following equation best defines the function g?

A) g(x) = 3√(x+2) + 1

B) g(x) = 3√(x+2) - 9

C) g(x) = 3√(x-3) - 4

D) g(x) = 3√(x+7) - 4

Bước 1: Người học nhập hàm số f(x) vào ô nhập dữ liệu của Desmos. 

Fig. 5. Radical function f on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 2: Trước hết, ta xác định độ dịch chuyển từ đề bài: cụm từ “down 5 units” chỉ ra rằng đồ thị hàm số f(x) được dịch chuyển xuống dưới 5 đơn vị.

Từ quy tắc dịch chuyển dọc, phương trình hàm số g(x) được biểu diễn theo f(x) như sau:

g(x) = f(x) - 5

Ta nhập hàm số g(x) vào ô nhập dữ liệu.

Fig. 6. Radical functions f(x) and g(x) on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Bước 3: Người học lần lượt nhập các đáp án A, B, C, và D vào ô nhập dữ liệu và đối chiếu với đồ thị g(x)

Fig. 7. Radical functions f(x) and g(x) on the Desmos Graphing Calculator (Source [5])

Dựa vào đó, người học dễ dàng xác định đồ thị màu đỏ hay đồ thị ở đáp án B trùng khớp với đồ thị g(x) đã xác định ở bước 2. Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1 

An investigator uses the function f(d) = 2√(d - 3) + 4 to estimate the speed of a car, in miles per hour, based on a skid mark length of d feet, where d ≥ 5.25. Due to wet road conditions, the estimated speed model is shifted downward by 7 miles per hour across all distances to create a new model, g(d). The new model predicts a speed of b miles per hour for a skid mark length of 12 feet. What is the value of b? 

A. -1 

B. 1 

C. 3 

D. 5 

Answer: C 

Question 2 

The function f is defined by f(x) = 3√(x + 2) - 5. A new function g is created by shifting the graph of f upward by k units. The graph of g passes through the point (14, 9). What is the value of k? 

A. 2 

B. 4 

C. 6 

D. 8 

Answer: A

Question 3 

The function f is defined by f(x) = a√(x - h) + k. The graph of f passes through the points (2, 3), (6, 7), and (11, 9). The graph of g is obtained by shifting f downward by 4 units. Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = 2√(x - 2) - 1 

B. g(x) = 2√(x - 1) - 1

C. g(x) = √(x - 2) - 1 

D. g(x) = 2√(x + 2) - 7 

Answer: A

Question 4 

The function f is defined by f(x) = 4√(x - 5) + 2. The graph of f is shifted vertically to create the graph of g. After the transformation, the endpoint of the graph is (5, -6), and g(14) = 6. Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = 4√(x - 5) - 6 

B. g(x) = 4√(x - 5) + 6 

C. g(x) = 4√(x + 5) - 6 

D. g(x) = 2√(x - 5) - 6 

Answer: A

Question 5 

The function f is defined by f(x) = 2√(x + 4) - 3. The graph of g is obtained by shifting the graph of f vertically. The point (-4, -3) on the graph of f becomes (-4, 5) on the graph of g. Which of the following statements is true? 

A. The graph of f is shifted upward 2 units. 

B. The graph of f is shifted upward 8 units. 

C. The graph of f is shifted downward 8 units. 

D. The graph of f is shifted horizontally 8 units. 

Answer: B

Question 6 

The function f is defined by f(x) = √(x - h) + k. The graph of f has an endpoint at (3, -2) and passes through the point (12, 10). The graph of g is obtained by shifting f upward 5 units. Which of the following equations defines g(x)? 

A. g(x) = 4√(x - 3) + 3 

B. g(x) = 3√(x - 3) + 3 

C. g(x) = 4√(x + 3) + 3 

D. g(x) = 4√(x - 3) - 7 

Answer: A

Question 7 

The function f is defined by f(x) = 3√(x - 1) - 4. A transformation produces a new function g. The transformation changes the point (1, -4) to (1, 8), while the x-coordinate of every point on the graph remains unchanged. Which equation represents g(x)? 

A. g(x) = 3√(x - 1) + 4 

B. g(x) = 3√(x - 1) + 8 

C. g(x) = 3√(x - 1) + 12 

D. g(x) = 3√(x + 11) - 4 

Answer: B

Question 8 

A start-up models its weekly profit, in thousands of dollars, based on x thousand dollars spent on advertising using the function f(x) = 5√(x + 1) - 7. To support the business, the government provides a fixed subsidy that shifts the profit graph vertically upward to create a new function, g(x). Under this new model, the business breaks even (has a profit of 0 dollars, meaning an x-intercept) when spending 8 thousand dollars on advertising (x = 8). Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = 5√(x + 1) - 7 

B. g(x) = 5√(x + 1) - 14 

C. g(x) = 5√(x + 1) - 15 

D. g(x) = 5√(x + 1) + 7 

Answer: C 

Question 9 

The graph of f(x) = 2√(x - 4) + 3 is shifted vertically to produce the graph of g. The transformed graph passes through (13, 12). The graph of g is then shifted downward 6 units to create the graph of h. What is the value of h(13)? 

A. 0 

B. 2 

C. 6 

D. 12 

Answer: C

Question 10 The function f is defined by f(x) = a√(x - h) + k. The graph of f has an endpoint at (2, -5) and passes through (11, 7). The graph of f is shifted vertically upward by d units to create g. The graph of g passes through (11, 15). Which equation defines g(x)? 

A. g(x) = 4√(x - 2) + 3 

B. g(x) = 4√(x - 2) + 8 

C. g(x) = 4√(x + 2) + 8 

D. g(x) = 3√(x - 2) + 8 

Answer: A

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm số chứa căn trước/sau dịch chuyển dọc. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.