Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình bậc hai một ẩn

Hàm số bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là:

Ax²+Bx+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A ≠ 0, còn x là biến số.

Lý thuyết về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để tìm được nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Ax² + Bx + C = 0, ta trước hết phải xác định được 3 hệ số A, B và hằng số C. Sau khi ta tìm được các hệ số/hằng số, ta có thể tìm Δ (Delta), là biệt thức quan trọng giúp người học xác định được số nghiệm và loại nghiệm.

Để tìm được Δ, ta có thể áp dụng công thức sau: 

Δ =B²-4AC

Ngoài ra, người học cũng có thể tìm biệt thức Δ’ theo công thức

Δ' =B'²-AC

Trong đó: B’ = B/2. Công thức này áp dụng cho các trường hợp có B chẵn, giúp cho người học có thể tìm được biệt thức qua công thức đơn giản hơn.

Sau khi tìm được Δ, ta có thể xét trường hợp để tìm nghiệm.

- Trường hợp 1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).

- Trường hợp 2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -B/2A

- Trường hợp 3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt đó là x1 = (-B - √Δ)/2A và x2 = (-B + √Δ)/2A

Ngoài ra, người học cũng cần để ý các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai một ẩn và các nghiệm của những trường hợp này.

- Nếu c = 0 thì phương trình Ax² + Bx + C = 0 sẽ được biến đổi thành x(Ax + B) = 0. Trong trường hợp này, phương trình sẽ có hai nghiệm x1 = 0 và x2 = -B/A

- Nếu b = 0 thì phương trình Ax²+ Bx + C = 0 sẽ được biến đổi thành Ax² + C = 0, và x² = -C/A. Trong trường hợp này, ta phải xét hai trường hợp.

+ Nếu C và A cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu C và A khác dấu, thì phương trình có hai nghiệm x1 = √(-C/A) và x2 = -√(-C/A)

Xem thêm: Cách làm dạng bài Solving quadratic equations trong SAT Math & Bài tập

Mối liên hệ giữa phương trình bậc hai một ẩn và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của phương trình bậc hai một ẩn cũng có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị.

Xét phương trình bậc hai một ẩn Ax² + Bx + C = 0: Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai phần, trong đó: 

• Vế trái tương ứng với hàm số y = f(x) = Ax² + Bx + C

• Vế phải tương ứng với y = 0.

Như vậy, việc giải phương trình Ax² + Bx + C = 0 tương đương với việc tìm các giá trị của x sao cho f(x) = 0.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của phương trình y = Ax² + Bx + C là một parabol.

• Đường thẳng y = 0 chính là trục hoành (Ox).

Do đó, nghiệm của phương trình bậc hai chính là hoành độ của các giao điểm giữa parabol và trục hoành.

Xét vế trái Ax² + Bx + C, ta thấy hệ số A sẽ quyết định chiều mở của parabol.

• Nếu A > 0: parabol mở lên hình “chữ U” (hàm số giảm rồi tăng).

• Nếu A < 0: parabol mở xuống hình “quả núi” (hàm số tăng rồi giảm).

Điểm đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, là giá trị nhỏ hoặc lớn nhất của phương trình bậc hai (tuỳ vào A). Điểm đỉnh có hoành độ là x = -B/2A. Ví dụ, với phương trình bậc hai: x² - 4x + 3  = 0, ta xét vế trái: y = f(x) = x² - 4x + 3. Đồ thị của hàm số này là một parabol. Khi đó, nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là các giá trị x sao cho: y = f(x) = 0, tức là các điểm mà parabol cắt trục hoành.

Ta có: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Suy ra nghiệm là: x = 1 hoặc x = 3

Vì vậy, parabol cắt trục hoành tại hai điểm (1, 0) và (3, 0).

Fig. 1. Function x^2 - 4x + 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm, tìm nghiệm dương hay âm, tìm tổng, hiệu, tích, hoặc thương của nghiệm, cũng như là trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Quadratic Graphs trong SAT® Math và bài tập

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Để sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là phương trình bậc hai một ẩn cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, người học nên chuyển hết dữ liệu sang một vế để có phương trình Ax² + Bx + C = 0 và viết phương trình dưới dạng y =  Ax² + Bx + C. Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của phương trình tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học bấm vào giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng y = 0, chính là trục hoành Ox. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là nghiệm x của phương trình. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại nghiệm vào phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Consider the equation:

x² - 6x + 5 = 0

What is the sum of the solutions of this equation?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Phương trình được cho: x² - 6x + 5 = 0

• Giá trị cần tìm: Tổng của hai nghiệm

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: y = x² - 6x + 5 để hiện đồ thị phương trình trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với các số mũ, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 4. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Desmos sẽ hiển thị parabol y = x² - 6x + 5 trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 5. Equation x^2 - 6x + 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Bước 3: Người học bấm vào hai giao điểm giữa parabol và đường thẳng y = 0 để tìm ra hai giao điểm là (1, 0) và (5, 0), tìm ra được hai nghiệm x1 = 1 và x2 = 5. Đề bài cần tìm tổng nghiệm, nên người học cộng hai nghiệm vào nhau để ra được giá trị 6.

Bước 4: Người học có thể thử lại hai giá trị x vào phương trình

• x = 1 -> 1² - 6 ⋅ 1 + 5 = 0 -> Đúng

• x = 5 -> 5² - 6 ⋅ 5 + 5 = 0 -> Đúng

⇒ Chọn đáp án D.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

If 3x² - 11x - 4 = 0, what is the larger solution to the equation?

A. 4

B. -4

C. -1/3

D. 1/3

Answer: A

Question 2: 

The equation 3(x - 2)² = 12 - 6x has two solutions. What is the sum of the solutions?

A. 0

B. 2

C. 4

D. -2

Answer: B

Question 3:

The equation 5x² - 7x = 12 has two solutions. What is the product of the solutions?

A. -1

B. 2.4

C. -2.4

D. 0

Answer: C

Question 4:

The equation x² - 6x + 1 = 0 has two real solutions. What is the difference between the two solutions?

A. 4√2

B. 6

C. 3

D. 0

Answer: A

Question 5:

The equation x² - 4x + c = 0 has two positive integer solutions whose average is 2. What is the value of c?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer: D

Question 6:

The equation 2x² + px - 12 = 0 has a solution x = 2. What is one possible value of p?

A. -2

B. 2

C. 4 

D. 8

Answer: B

Question 7:

The equation (x + 3)² - 5(x + 3) - 14 = 0 has two solutions. What is the negative solution?

A. -5

B. -4

C. -3

D. -2

Answer: A

Question 8:

The equation 2x² - 3x - 5 = 0 has solutions r and s. What is the value of r² + s²?

A. 29/2

B. 29/4

C. 29/6

D. 29/8

Answer: B

Question 9:

For the equation (k - 1)x² + 4x + 1 = 0, what is a possible value of k so that the equation has no real solutions?

A. -3

B. -5

C. 5

D. 6

Answer: D

Question 10:

The height h, in feet, of a ball thrown upward from the top of a platform is modeled by h(t) = -16t² + 24t + 40, where t is the time in seconds after the ball is thrown. After how many seconds does the ball hit the ground?

A. -1

B. 1.5

C. 2.5

D. 2

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình cần tìm.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.