Sử dụng DESMOS để tìm phương trình bậc hai với số nghiệm cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình bậc hai một ẩn

Hàm số bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là:

Ax²+Bx+C=0

Trong đó: A, B và C là các hằng số thực, với A ≠ 0, còn x là biến số độc lập.

Lý thuyết về số nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Để tìm được nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Ax² + Bx + C = 0, ta trước hết phải xác định được 3 hệ số A, B, và hằng số C. Sau khi ta tìm được hệ số/hằng số, ta có thể tìm Δ (Delta), là biệt thức quan trọng giúp người học xác định được số nghiệm và loại nghiệm.

Để tìm được Δ, ta có thể áp dụng công thức sau: 

Δ =B²-4AC

Ngoài ra, người học cũng có thể tìm biệt thức Δ’ theo công thức

Δ' =B'²-AC

Trong đó: B’ = B/2. Công thức này áp dụng cho các trường hợp có B chẵn, giúp cho người học có thể tìm được biệt thức qua công thức đơn giản hơn.

Sau khi tìm được Δ, ta có thể xét trường hợp để tìm nghiệm.

- Trường hợp 1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).

- Trường hợp 2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -B/2A

- Trường hợp 3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt đó là x1 = (-B - √Δ)/2A và x2 = (-B + √Δ)/2A

Ngoài ra, người học cũng cần để ý các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai một ẩn và các nghiệm của những trường hợp này.

- Nếu c = 0 thì phương trình Ax² + Bx + C = 0 sẽ được biến đổi thành x(Ax + B) = 0. Trong trường hợp này, phương trình sẽ có hai nghiệm x1 = 0 và x2 = -B/A

- Nếu b = 0 thì phương trình Ax² + Bx + C = 0 sẽ được biến đổi thành Ax² + C = 0, và x² = -C/A. Trong trường hợp này, ta phải xét hai trường hợp.

+ Nếu C và A cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu C và A khác dấu, thì phương trình có hai nghiệm x1 = √(-C/A) và x2 = -√(-C/A)

Xem thêm: SAT Math formulas - Tổng hợp các công thức thường gặp trong SAT Math

Mối liên hệ giữa phương trình bậc hai một ẩn và đồ thị

Ngoài cách tính giá trị bằng công thức đại số, tính chất của phương trình bậc hai một ẩn cũng có thể được hiểu rõ thông qua đồ thị.

Xét phương trình bậc hai một ẩn Ax^2 + Bx + C = 0: Ta có thể diễn giải phương trình này thành hai phần, trong đó: 

• Vế trái tương ứng với hàm số y = f(x) = Ax^2 + Bx + C

• Vế phải tương ứng với y = 0.

Như vậy, việc giải phương trình Ax^2 + Bx + C = 0 tương đương với việc tìm các giá trị của x sao cho f(x) = 0.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của phương trình y = Ax^2 + Bx + C là một parabol.

• Đường thẳng y = 0 chính là trục hoành (Ox).

Do đó, nghiệm của phương trình bậc hai chính là hoành độ của các giao điểm giữa parabol và trục hoành.

Xét vế trái Ax^2 + Bx + C, ta thấy hệ số A sẽ quyết định chiều mở của parabol.

• Nếu A > 0: parabol mở lên hình “chữ U” (hàm số giảm rồi tăng).

• Nếu A < 0: parabol mở xuống hình “quả núi” (hàm số tăng rồi giảm).

Điểm đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, là giá trị nhỏ hoặc lớn nhất của phương trình bậc hai (tuỳ vào A). Điểm đỉnh có hoành độ là x = -B/2A. Ví dụ, với phương trình bậc hai: x^2 - 4x + 3  = 0, ta xét vế trái: y = f(x) = x^2 - 4x + 3. Đồ thị của hàm số này là một parabol. Khi đó, nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là các giá trị x sao cho: y = f(x) = 0, tức là các điểm mà parabol cắt trục hoành.

Ta có: x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Suy ra nghiệm là: x = 1 hoặc x = 3

Vì vậy, parabol cắt trục hoành tại hai điểm (1, 0) và (3, 0).

Fig. 1. Function x^2 - 4x + 3 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Ngoài trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt (parabol cắt trục hoành tại hai điểm), ta còn hai trường hợp đặc biệt sau:

1. Phương trình có nghiệm kép (một nghiệm duy nhất)

Khi parabol tiếp xúc với trục hoành, phương trình có đúng một nghiệm (còn gọi là nghiệm kép). Khi đó, đồ thị parabol chỉ chạm trục hoành tại một điểm duy nhất (chính là đỉnh của parabol).

Ví dụ: x^2 - 2x + 1 = 0

Ta có:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 -> x = 1

Khi đó, parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm (1, 0).

Fig. 2. Function x^2 - 2x + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

2. Phương trình vô nghiệm

Khi phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành. Khi đó, với mọi giá trị của x, ta luôn có f(x) ≠ 0, và đồ thị parabol nằm hoàn toàn phía trên hoặc phía dưới trục hoành.

Ví dụ: x^2 + x + 1 = 0

Xét hàm số:

y = x^2 + x + 1

Parabol này luôn nằm phía trên trục hoành (không có điểm nào có y = 0). Vậy nên, phương trình vô nghiệm.

Fig. 3. Function  x^2 + x + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm đồ thị có một, hai, hoặc là không có nghiệm, cũng như là trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Cách làm dạng bài Linear equations in one variable trong SAT Math

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn

Để sử dụng DESMOS để tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là phương trình bậc hai một ẩn được cung cấp trong đề bài cũng như là câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Trong trường hợp này, trước hết, nếu cần, người học nên chuyển hết dữ liệu sang một vế để có phương trình Ax² + Bx + C = 0 và viết phương trình dưới dạng y = Ax^2 + Bx + C. Sau đó, người học cần nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, ta sẽ lần lượt nhập những phương trình được cho vào Desmos. 

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của các phương trình tương ứng.

Lưu ý: Người học có thể bấm vào những hình tròn ở cạnh các hàm số để đồ thị của chúng không hiện lên giao diện, tránh bị rối khi xét đồ thị.

Bước 3: Người học quan sát các đồ thị trên giao diện của DESMOS để tìm giao điểm của các đồ thị với đường thẳng y = 0 để tìm ra số nghiệm. Người học cần ghi nhớ 3 trường hợp đã được nêu trên:

• 2 giao điểm -> 2 nghiệm

• 1 giao điểm -> nghiệm kép (1 nghiệm)

• Không giao -> vô nghiệm.

Sau đó, người học đối chiếu đồ thị với các lựa chọn trong đề bài để chọn được đáp án hợp lý nhất.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

Which quadratic equation has no real solutions?

A. 3x^2 + 2x - 1 = 0

B. 3x^2 - 5x + 1 = 0

C. 3x^2 - x + 1 = 0

D. 3x^2 - 2x - 3 = 0

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Các phương trình được cho: 

  • 3x^2 + 2x - 1 = 0

  • 3x^2 - 5x + 1 = 0

  • 3x^2 - x + 1 = 0

  • x^2 - 2x - 3 = 0

• Phương trình cần tìm vô nghiệm (đồ thị không cắt y = 0)

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Chuyển các phương trình về dạng Ax^2 + Bx + C, sau đó lần lượt nhập các phương trình vào bốn dòng trên giao diện.

Lưu ý, với các số mũ, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ hiển thị các đồ thị trên giao diện.

Fig. 7. Equation 3x^2 - x + 1 = 0 and others on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Bây giờ người học chỉ cần lần lượt xét từng đồ thị một để xét đồ hợp lý nhất bằng cách bấm vào những hình tròn ở cạnh từng biểu thức để lần lượt hiện/ẩn từng đồ thị trên giao diện. Người học xét từng đồ thị đến khi tìm ra đồ thị phù hợp với câu hỏi của đề bài.

Trong trường hợp này, người học có thể thấy là phương trình 3x^2 - x + 1 không cắt đường thẳng y = 0.

-> Phương trình 3x^2 - x + 1 không có nghiệm thực, hoặc là vô nghiệm.

-> Chọn đáp án C.

Fig. 8. Equation 3x^2 - x + 1 = 0 and others on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm: SAT Math Question: Khái niệm đại số, giải phương trình & hàm số

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Which quadratic equation has exactly one real solution?

A. 2x^2 - 4x + 2 = 0

B. 2x^2 - 5x + 2 = 0

C. 2x^2 + 3x + 2 = 0

D. 2x^2 - x - 3 = 0

Answer: A

Question 2: 

Which quadratic equation has no real solutions?

A. 4x^2 - 4x + 1= 0

B. 4x^2 + 4x + 5 = 0

C. 4x^2 - 7x + 3 = 0

D. 4x^2 + x - 3 = 0

Answer: B

Question 3:

Which quadratic equation has two distinct real solutions?

A. 5x^2 - 10x + 5 = 0

B. 5x^2 + 2x + 3 = 0

C. 5x^2 - 9x + 4 = 0

D. 5x^2 + 4x + 2 = 0

Answer: C

Question 4:

Which quadratic equation has no real solutions?

A. 6x^2 - 13x + 7 = 0

B. 6x^2 - 7x - 3 = 0

C. 6x^2 - 12x + 6 = 0

D. 6x^2 + 5x + 2 = 0

Answer: D

Question 5:

Which quadratic equation has exactly one real solution?

A. 7x^2 + 14x + 8 = 0

B. 7x^2 - 14x + 7 = 0

C. 7x^2 - 5x - 2 = 0

D. 7x^2 + x + 3 = 0

Answer: B

Question 6:

Which quadratic equation has two distinct real solutions?

A. 3x^2 - 6x + 3 = 0

B. 3x^2 + 2x + 4 = 0

C. 3x^2 - 5x + 2 = 0

D. 3x^2 + 4x + 2 = 0

Answer: C

Question 7:

Which quadratic equation has the same number of real solutions as x^2 - 8x + 16 = 0? 

A. 2x^2 + 5x + 6 = 0

B. 2x^2 + 3x - 5 = 0

C. 2x^2 - 7x + 3 = 0

D. 2x^2 - 4x + 2 = 0

Answer: D

Question 8:

Which quadratic equation has the same number of real solutions as 2x^2 + 4x + 5 = 0?

A. x^2 + 6x+ 13 = 0

B. x^2 - 4x + 4 = 0

C. x^2 - 3x + 2 = 0

D. x^2 + x - 2 = 0

Answer: A

Question 9:

Which quadratic equation has more real solutions than x^2 - 6x + 9 = 0?

A. x^2 - 2x + 5 = 0

B. x^2 - 7x + 10 = 0

C. x^2 + 8x + 16 = 0

D. x^2 + 4x + 8 = 0

Answer: B

Question 10:

A company models its profit using a quadratic equation. Due to economic depression, the company never breaks even or makes any profit. The business can be considered a loss.

Which equation could model this situation?

A. -3x^2 - 6x + 5 =  0

B. -3x^2 - 12x + 12 = 0

C. -3x^2 - 7x + 2 = 0

D. -3x^2 + x - 4 = 0

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm phương trình bậc hai tương ứng với số nghiệm cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.