Xác suất có điều kiện lớp 12 | Công thức và bài tập

Một hộp có 7 bút xanh và 5 bút đen giống nhau về hình dạng, kích thước. Sơn lấy ngẫu nhiên một bút, không trả lại hộp; sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một bút. Ban đầu, xác suất Tùng lấy được bút xanh là \(\dfrac{7}{12}\). Nếu biết Sơn đã lấy được bút đen, xác suất này trở thành \(\dfrac{7}{11}\). Việc tính xác suất khi đã biết một biến cố xảy ra chính là nội dung của xác suất có điều kiện.

Bám sát Bài 18 – Toán 12 Kết nối tri thức, bài viết hệ thống khái niệm, công thức xác suất có điều kiện \(P(A\mid B)\), công thức nhân xác suất và mối liên hệ với biến cố độc lập; đồng thời hướng dẫn cách tính bằng sơ đồ cây qua các bài tập xác suất có điều kiện lớp 12 có lời giải.

Xác suất có điều kiện là gì?

Cho hai biến cố A và B của cùng một phép thử, với \(P(B) > 0\). Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu \(P(A\mid B)\), là xác suất để A xảy ra trong giả thiết B đã xảy ra. [1]

Điều quan trọng cần phân biệt: \(P(A\mid B)\) (xác suất của A, biết B đã xảy ra) nói chung khác \(P(B\mid A)\) (xác suất của B, biết A đã xảy ra). Biến cố đứng sau dấu gạch đứng "|" luôn là biến cố đã biết chắc chắn xảy ra (điều kiện), còn biến cố đứng trước là biến cố đang cần tính xác suất.

Quay lại bài toán mở đầu: hộp có 9 bút xanh, 4 bút đen (tổng 13 bút). Minh lấy ngẫu nhiên 1 bút, không trả lại hộp, sau đó An lấy tiếp 1 bút từ 12 bút còn lại. Gọi:

• B: "Minh lấy được bút đen"

• A: "An lấy được bút xanh"

Nếu chưa biết kết quả của Minh, xác suất An lấy được bút xanh là \(P(A)=\dfrac{9}{13}\). Khi biết B xảy ra, hộp còn 12 bút gồm 9 bút xanh và 3 bút đen. Vì các bút còn lại đồng khả năng được lấy, xác suất An lấy được bút xanh bằng:

\(P(A\mid B) = \dfrac{3}{4}\)

Giá trị \(\dfrac{3}{4}\) được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra, kí hiệu \(P(A\mid B)\) (đọc là "xác suất của A với điều kiện B", hoặc "xác suất của A biết B").

Công thức tính xác suất có điều kiện

Công thức xác suất có điều kiện là \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), với \(P(B)>0\). Trong đó, \(A\cap B\) là biến cố A và B cùng xảy ra; B là biến cố đã biết xảy ra. [1]

Ví dụ hộp bút ở trên minh họa xác suất có điều kiện bằng cách lập luận trực tiếp (đếm số bút còn lại). Tuy nhiên với những bài toán phức tạp hơn, ta cần một công thức tổng quát để tính \(P(A\mid B)\) thông qua các xác suất đã biết.

Công thức: Với A, B là hai biến cố của cùng một phép thử và \(P(B) > 0\), ta có:

\(P(A\mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}\)

Trong đó AB (hay \(A\cap B\)) là biến cố “cả A và B cùng xảy ra”. Trong ví dụ hộp bút có 13 × 12 = 156 kết quả có thứ tự đồng khả năng. Có 4 × 12 = 48 kết quả thuộc B và 4 × 9 = 36 kết quả thuộc AB. Do đó \[P(A\mid B)=\dfrac{36/156}{48/156}=\dfrac34\]

Ví dụ minh họa (tính theo hai cách): Một hộp có 10 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 10, các thẻ giống hệt nhau. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Gọi A: "thẻ rút được ghi số chia hết cho 3", B: "thẻ rút được ghi số chẵn". Tính \(P(A\mid B)\).

Cách 1 – dùng công thức: Không gian mẫu có 10 phần tử đồng khả năng. Tập B = {2, 4, 6, 8, 10} nên \(P(B) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\). Tập AB (vừa chia hết cho 3 vừa chẵn, tức chia hết cho 6) = {6} nên \(P(AB) = \dfrac{1}{10}\). Suy ra \(P(A\mid B) = \dfrac{1/10}{1/2} = \dfrac{1}{5}\).

Cách 2 – đếm trực tiếp trên tập B: Vì đã biết B xảy ra, ta chỉ xét trong 5 số chẵn {2, 4, 6, 8, 10}. Trong 5 số này, chỉ có số 6 chia hết cho 3, nên \(P(A\mid B) = \dfrac{1}{5}\). Hai cách cho cùng một kết quả, vì về bản chất, khi đã biết B xảy ra thì "không gian mẫu mới" chính là tập B.

Từ ví dụ này có thể rút ra một cách hiểu trực quan: \(P(A\mid B)\) chính là xác suất của A nhưng được tính trên một "không gian mẫu thu hẹp" chỉ gồm các kết quả thuộc B, thay vì toàn bộ không gian mẫu ban đầu. [1]

Cách đếm trong không gian mẫu hữu hạn: nếu các kết quả đồng khả năng và \(n(B)>0\) thì \(P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}\). Mẫu số chỉ đếm các kết quả thuộc biến cố điều kiện B.

Biến cố đối: \(P(\overline A\mid B)=1-P(A\mid B)\), với \(P(B)>0\). Không nhầm công thức này với \(P(A\mid\overline B)\).

Công thức nhân xác suất

Từ công thức \(P(A\mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}\), nhân cả hai vế với \(P(B)\), ta thu được một công thức rất hữu ích để tính xác suất của hai biến cố cùng xảy ra:

Công thức \(P(AB)=P(B)\cdot P(A\mid B)\) được sử dụng với \(P(B)>0\). Ở dạng đổi vai trò A và B, cần \(P(A)>0\). [1]

\(P(AB) = P(B) \cdot P(A\mid B)\)

Tương tự, nếu xuất phát từ \(P(B\mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}\) (với \(P(A) > 0\)), ta có công thức tương đương:

\(P(AB) = P(A) \cdot P(B\mid A)\)

Đây gọi chung là công thức nhân xác suất. Điểm mấu chốt là cả hai công thức đều chỉ là hai cách viết lại khác nhau của cùng một đẳng thức – chúng đến trực tiếp từ định nghĩa xác suất có điều kiện, không phải một công thức độc lập cần nhớ riêng. Công thức này đặc biệt hữu ích khi giải bài toán gồm nhiều giai đoạn liên tiếp (ví dụ lấy mẫu không hoàn lại, hoặc một chuỗi phép thử phụ thuộc nhau), vì thay vì phải đếm trực tiếp xác suất của biến cố "cả hai cùng xảy ra" trên toàn bộ phép thử phức tạp, ta có thể tách thành tích của xác suất từng giai đoạn.

Ví dụ vận dụng: Trở lại hộp bút 9 bút xanh, 4 bút đen. Minh lấy ngẫu nhiên 1 bút, không trả lại, sau đó An lấy tiếp 1 bút từ 12 bút còn lại. Tính xác suất để cả hai đều lấy được bút xanh.

Gọi C: "Minh lấy được bút xanh", D: "An lấy được bút xanh". Ta cần tính \(P(CD)\). Trước hết, \(P(C) = \dfrac{9}{13}\) (9 bút xanh trong 13 bút). Nếu C đã xảy ra (Minh lấy xanh), hộp còn lại 12 bút gồm 8 xanh và 4 đen, nên \(P(D\mid C) = \dfrac{2}{3}\). Áp dụng công thức nhân xác suất:

\[\begin{aligned}P(CD) &= P(C) \cdot P(D\mid C) \\ &= \dfrac{9}{13} \cdot \dfrac{2}{3} \\ &= \dfrac{6}{13} \\ &= \dfrac{6}{13}\end{aligned}\]

Vậy xác suất để cả Minh và An đều lấy được bút xanh là \(\dfrac{6}{13}\).

Cách dùng sơ đồ cây xác suất có điều kiện: mỗi nhánh thể hiện một khả năng; xác suất ở giai đoạn sau được tính với điều kiện nhánh trước đã xảy ra. Nhân các xác suất trên cùng một đường đi để tính xác suất đồng thời. Tổng xác suất các nhánh xuất phát từ cùng một nút bằng 1. [1]

1. Lần đầu lấy xanh: \(\dfrac{9}{13}\). Khi đó, lần hai lấy xanh: \(\dfrac{8}{12}\); lấy đen: \(\dfrac{4}{12}\).

2. Lần đầu lấy đen: \(\dfrac{4}{13}\). Khi đó, lần hai lấy xanh: \(\dfrac{9}{12}\); lấy đen: \(\dfrac{3}{12}\).

3. Đường đi “xanh rồi xanh” có xác suất \(\dfrac{9}{13}\cdot\dfrac{8}{12}=\dfrac{6}{13}\).

Xác suất có điều kiện và biến cố độc lập

Trong ví dụ hộp bút, ta thấy \(P(A\mid B) = \dfrac{3}{4}\) khác với xác suất lấy được bút xanh một cách "vô điều kiện" ban đầu là \(\dfrac{9}{13}\). Điều này cho thấy biến cố "Minh lấy được bút đen" có ảnh hưởng đến xác suất của biến cố "An lấy được bút xanh". Nhưng không phải lúc nào việc biết một biến cố xảy ra cũng làm thay đổi xác suất của biến cố kia – đó là lúc khái niệm biến cố độc lập xuất hiện.

Hai biến cố A và B độc lập khi \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\). Nếu \(P(B)>0\), điều này tương đương với \(P(A\mid B)=P(A)\). Nếu thêm \(P(A)>0\), cũng có \(P(B\mid A)=P(B)\).

Ví dụ nhận biết hai biến cố độc lập: Gieo đồng thời một con xúc xắc 6 mặt cân đối và một đồng xu cân đối, với hai phép gieo độc lập. Gọi A: "xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm", B: "đồng xu xuất hiện mặt ngửa". Không gian mẫu gồm \(6 \times 2 = 12\) kết quả đồng khả năng. Ta có \(P(B) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\) và \(P(AB) = \dfrac{1}{12}\) (chỉ có đúng 1 kết quả "6 chấm – ngửa"). Suy ra:

\[P(A\mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{1/12}{1/2} = \dfrac{1}{6}\]

Vì \(P(A) = \dfrac{1}{6}\) (xác suất ra mặt 6 chấm khi gieo xúc xắc), nên \(P(A\mid B) = P(A)\): biết đồng xu ra mặt ngửa hay không hoàn toàn không ảnh hưởng đến xác suất xúc xắc ra 6 chấm – đúng như trực giác, vì hai hành động gieo xúc xắc và gieo đồng xu không liên quan đến nhau. Ngược lại, trong ví dụ hộp bút ở trên, \(P(A\mid B) = \dfrac{3}{4} \neq \dfrac{9}{13} = P(A)\), nên hai biến cố đó không độc lập – điều hợp lý vì lấy không hoàn lại khiến kết quả của Minh ảnh hưởng trực tiếp đến số bút còn lại cho An.

Tính chất với biến cố đối: Nếu A và B độc lập thì A và \(\overline B\), \(\overline A\) và B, \(\overline A\) và \(\overline B\) cũng độc lập. Khi dùng xác suất có điều kiện, vẫn phải kiểm tra xác suất của biến cố điều kiện lớn hơn 0. Chẳng hạn, \(P(A\mid\overline B)=P(A)\) chỉ được xét khi \(P(\overline B)>0\). [1]

Bài tập xác suất có điều kiện lớp 12 có lời giải

Cách tính xác suất có điều kiện: Xác định biến cố cần tính A và biến cố điều kiện B → tính \(P(A\cap B)\), \(P(B)\) → áp dụng công thức và kiểm tra kết quả thuộc đoạn \([0;1]\). Phần này tổng hợp ba dạng bài tập xác suất có điều kiện lớp 12, gồm ví dụ có lời giải và bài tự luyện kèm đáp án.

Tính xác suất có điều kiện bằng công thức và đếm trực tiếp

Đề bài: Một hộp có 24 thẻ giống nhau về kích thước và khối lượng, đánh số từ 1 đến 24. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A là biến cố “số trên thẻ chia hết cho 8”, B là biến cố “số trên thẻ chia hết cho 4”. Tính \(P(A\mid B)\).

Lời giải: B = {4, 8, 12, 16, 20, 24} có 6 phần tử; A ∩ B = {8, 16, 24} có 3 phần tử.

\[P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac12\].

Vậy trong các thẻ thỏa mãn điều kiện chia hết cho 4, một nửa có số chia hết cho 8.

Bài tự luyện: Một hộp có 30 thẻ giống nhau về kích thước và khối lượng, đánh số từ 1 đến 30. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A: “số trên thẻ chia hết cho 5”, B: “số trên thẻ chia hết cho 3”. Tính \(P(A\mid B)\).

Đáp án: B có 10 kết quả; A ∩ B = {15, 30}. Do đó \(P(A\mid B)=\dfrac{2}{10}=\dfrac15\).

Dùng công thức nhân trong bài toán lấy mẫu không hoàn lại

Đề bài: Một hộp có 8 viên bi giống hệt nhau, gồm 5 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Lấy lần lượt, không hoàn lại, 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ nhất màu đen và viên bi lấy lần thứ hai màu trắng.

Lời giải: Gọi M: "viên bi lấy lần thứ nhất màu đen", N: "viên bi lấy lần thứ hai màu trắng". Ta cần tính \(P(MN)\).

Xác suất lấy được bi đen ở lần đầu (trong 8 viên): \(P(M) = \dfrac{3}{8}\).

Nếu M đã xảy ra (lần 1 lấy được bi đen), hộp còn lại 7 viên, gồm 5 trắng và 2 đen, nên xác suất lần hai lấy được bi trắng là \(P(N\mid M) = \dfrac{5}{7}\).

Áp dụng công thức nhân xác suất:

\[P(MN) = P(M) \cdot P(N\mid M) = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{56}\]

Vậy xác suất cần tìm là \(\dfrac{15}{56}\).

Bài tự luyện: Một hộp có 11 viên bi cùng kích thước và khối lượng, gồm 7 viên đỏ và 4 viên vàng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên, không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai viên đều đỏ.

Đáp án: \(\dfrac{7}{11}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{21}{55}\).

Tính xác suất có điều kiện từ dữ liệu thực tế

Tình huống giả định phục vụ bài tập xác suất. Đề bài: Một đợt thử nghiệm thuốc được tiến hành trên 200 bệnh nhân cùng mắc một loại bệnh, trong đó 120 bệnh nhân được cho dùng thuốc A và 80 bệnh nhân còn lại dùng thuốc B. Kết quả theo dõi cho thấy: trong số dùng thuốc A có 90 người khỏi bệnh; trong số dùng thuốc B có 50 người khỏi bệnh. Chọn ngẫu nhiên 1 bệnh nhân trong số 200 người tham gia thử nghiệm. Gọi H: "bệnh nhân được chọn đã khỏi bệnh", A: "bệnh nhân được chọn dùng thuốc A". Tính \(P(H\mid A)\) và \(P(A\mid H)\), nêu ý nghĩa của mỗi kết quả.

Bảng số người theo nhóm thuốc và kết quả (dữ liệu giả định)

Lời giải: Trước hết, \(P(A) = \dfrac{120}{200} = \dfrac{3}{5}\). Trong 120 người dùng thuốc A có 90 người khỏi bệnh (vừa dùng A vừa khỏi bệnh), nên \(P(HA) = \dfrac{90}{200} = \dfrac{9}{20}\).

Xác suất khỏi bệnh biết đã dùng thuốc A:

\[\begin{aligned}P(H\mid A) &= \dfrac{P(HA)}{P(A)} \\ &= \dfrac{9/20}{3/5} \\ &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{3} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}\]

Ý nghĩa: trong nhóm bệnh nhân dùng thuốc A, tỉ lệ khỏi bệnh là \(\dfrac{3}{4} = 75\%\).

Để tính \(P(A\mid H)\), trước hết cần \(P(H)\): tổng số người khỏi bệnh là \(90 + 50 = 140\) người, nên \(P(H) = \dfrac{140}{200} = \dfrac{7}{10}\). Khi đó:

\[\begin{aligned}P(A\mid H) &= \dfrac{P(HA)}{P(H)} \\ &= \dfrac{9/20}{7/10} \\ &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{10}{7} \\ &= \dfrac{9}{14}\end{aligned}\]

Ý nghĩa: trong số những bệnh nhân đã khỏi bệnh, tỉ lệ người từng dùng thuốc A là \(\dfrac{9}{14} \approx 64\%\). Hai kết quả \(P(H\mid A)\) và \(P(A\mid H)\) hoàn toàn khác nhau, một lần nữa khẳng định không được nhầm lẫn thứ tự biến cố điều kiện khi đọc đề.

Bài tự luyện 1 (khu phố): Một khu phố có 300 hộ gia đình, trong đó 180 hộ có xe máy, 150 hộ có ô tô và 90 hộ có cả xe máy lẫn ô tô. Chọn ngẫu nhiên 1 hộ gia đình trong khu phố. Tính xác suất hộ được chọn có ô tô, biết hộ đó có xe máy.

Đáp án: \(\dfrac{90}{180}=\dfrac12\). Mẫu số là 180 hộ có xe máy, không phải toàn bộ 300 hộ.

Bài tự luyện 2: Có 16 thẻ ghi tên đội bóng, gồm 10 đội miền Bắc và 6 đội miền Nam. Bốc ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ, không hoàn lại, để chọn đội tham gia một trận giao hữu. Tính xác suất thẻ thứ hai ghi tên đội miền Nam, biết thẻ thứ nhất ghi tên đội miền Bắc.

Đáp án: Sau lần đầu còn 15 thẻ, trong đó vẫn có 6 đội miền Nam; xác suất cần tìm là \(\dfrac{6}{15}=\dfrac25\).

Những lỗi thường gặp

• Nhầm lẫn giữa \(P(A\mid B)\) và \(P(B\mid A)\): Nhiều học sinh mặc định hai đại lượng này bằng nhau, trong khi nói chung chúng là hai số khác nhau (như ví dụ thử nghiệm thuốc ở bài toán dữ liệu thực tế, \(P(H\mid A) = \dfrac{3}{4}\) nhưng \(P(A\mid H) = \dfrac{9}{14}\)). Cách khắc phục là luôn xác định rõ biến cố đứng sau dấu "|" là biến cố điều kiện (đã biết chắc xảy ra) trước khi viết công thức hay thay số.

• Tính \(P(A\mid B)\) mà quên kiểm tra điều kiện \(P(B) > 0\): Khi B là biến cố không thể xảy ra, biểu thức \(\dfrac{P(AB)}{P(B)}\) không có nghĩa (chia cho 0). Cách khắc phục là luôn kiểm tra \(P(B) \neq 0\) trước khi áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

• Nhầm giữa phép thử có hoàn lại và không hoàn lại: Trong bài toán lấy mẫu không hoàn lại, số phần tử và cơ cấu của không gian mẫu ở lần lấy sau thay đổi tùy theo kết quả lần lấy trước (như hộp bút, hộp bi ở dạng lấy mẫu không hoàn lại); nếu nhầm sang trường hợp có hoàn lại, học sinh sẽ giữ nguyên mẫu số ban đầu cho mọi lần lấy, dẫn đến kết quả sai. Cách khắc phục là đọc kỹ đề bài để xác định đúng loại phép thử trước khi lập xác suất có điều kiện.

• Kết luận hai biến cố độc lập chỉ dựa vào cảm tính: Một số học sinh cho rằng hai biến cố "nghe có vẻ không liên quan" là độc lập mà không kiểm chứng bằng công thức. Cách khắc phục là luôn tính toán cụ thể để so sánh \(P(A\mid B)\) với \(P(A)\) (hoặc \(P(AB)\) với \(P(A) \cdot P(B)\)) trước khi kết luận độc lập hay không.

Xác suất có điều kiện được tính bằng \(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), với \(P(B)>0\). Khi giải bài tập, học sinh cần xác định đúng biến cố điều kiện, phân biệt \(P(A\mid B)\) với \(P(B\mid A)\) và vận dụng công thức nhân xác suất. Nếu A và B độc lập thì \(P(A\mid B)=P(A)\).

Học sinh có thể ôn tập các chuyên đề Toán 12 theo bộ sách Kết nối tri thức để củng cố cách tính bằng sơ đồ cây, luyện bài tập xác suất có điều kiện và tiếp tục học công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes.