Bài tập dãy số cấp số cộng cấp số nhân lớp 11 có lời giải

Bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân lớp 11 tập trung vào nhận biết loại dãy, tìm số hạng tổng quát, xác định công sai, công bội và tính tổng n số hạng đầu. Bài viết hệ thống các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao kèm lời giải chi tiết, giúp học sinh lựa chọn công thức, kiểm tra điều kiện áp dụng và vận dụng vào bài toán thực tế.

Tổng hợp lý thuyết cần nhớ về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Phần lý thuyết dưới đây tóm tắt công thức dùng trong bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, tương ứng Bài 5, Bài 6, Bài 7 của Toán 11, tập một – Kết nối tri thức với cuộc sống. [1]

Có thể ôn lại công thức cấp số cộng trước khi làm các bài tìm số hạng và tính tổng.

Dãy số

Dãy số vô hạn là hàm số xác định trên tập số nguyên dương ℕ*, kí hiệu \((u_n)\). Trong đó, \(u_1\) là số hạng đầu và \(u_n\) là số hạng thứ n, cũng là số hạng tổng quát. Dãy số hữu hạn được xác định trên tập {1; 2; …; k}, với k là số nguyên dương, và có số hạng cuối \(u_k\).

Ví dụ: Hàm số \((u_n)\) có dạng \(u_n = n^2 + 1\) là một dãy số trên tập N*.

Cấp số cộng

Cấp số cộng \((u_n)\) với công sai d là một dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi:

\(u_n = u_{n-1} + d\), với \(n \geq 2\) [1]

Ví dụ: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = u_{n-1} + 2, \forall n \geq 2\) là một cấp số cộng với công sai d = 2.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) có dạng:

\(u_n = u_1 + (n-1)\cdot d\) [1]

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng \((u_n)\) có dạng:

\(S_n = \frac{n}{2}\cdot [2u_1 + (n-1)\cdot d]\) [1]

Cấp số nhân

Cấp số nhân \((u_n)\) với công bội q là một dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi:

\(u_n = q\cdot u_{n-1}\), với \(n \geq 2\) [1]

Ví dụ: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2\cdot u_{n-1}, \forall n \geq 2\) là một cấp số nhân với công bội q = 2.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \((u_n)\) có dạng:

\(u_n=u_1q^{n-1}\quad(n\ge2)\); số hạng đầu được cho riêng là \(u_1\). Cách viết với n ≥ 2 cũng tránh biểu thức 0⁰ khi q = 0.

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\) với công bội q khác 1 có dạng:

\(S_{n}=u_1\cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}\) [1]

Nếu q = 1 thì các số hạng đều bằng \(u_1\) và \(S_n=nu_1\). Nếu q = 0 thì dãy có dạng \(u_1,0,0,\ldots\) nên \(S_n=u_1\).

Nhận biết dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Dạng toán này yêu cầu người học nhận biết một cấp số cộng, cấp số nhân thông qua công thức số hạng tổng quát của dãy số đó. Với dạng toán này, người học có thể sử dụng dấu hiệu nhận biết sau: Với công thức số hạng tổng quát \(u_n\):

• Cấp số cộng: \(u_n-u_{n-1}=d\) không đổi với mọi n ≥ 2.

• Cấp số nhân: \(u_n=qu_{n-1}\) với cùng một số q và mọi n ≥ 2. Chỉ dùng tỉ số \(\frac{u_n}{u_{n-1}}\) khi mẫu khác 0.

Bài 1: Trong các dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a. \(u_n = 4n - 3\)

b. \(u_n = n^2 + 2\)

Hướng dẫn giải: Đề bài yêu cầu tìm cấp số cộng, do đó người học có thể tính giá trị của \(u_{n}-u_{n-1}\), dựa trên công thức tổng quát của \(u_n\) đã cho.

a. Có:

\(\begin{cases} u_n = 4n - 3\\u_{n-1}=4(n-1)-3=4n-7\end{cases}\)

\(\Rightarrow u_n - u_{n-1} = 4\) (đúng với mọi \(n \geq 2\))

Vậy dãy \((u_n)\) là một cấp số cộng.

b. Có:

\(\begin{cases}u_n = n^2 + 2 \\ u_{n-1} = (n - 1)^2 + 2 = n^2 - 2n + 3\end{cases}\)

\(\Rightarrow u_n - u_{n-1} = 2n - 1\)

Giá trị của 2n - 1 thay đổi trên N*, do đó dãy \((u_n)\) không phải là một cấp số cộng.

Bài 2: Khảo sát các dãy số sau và cho biết dãy nào là cấp số nhân?

a. \(u_n = 5\cdot 3^{n-1}\)

b. \(u_n = 2^n + 1\)

Hướng dẫn giải: Đề bài yêu cầu tìm cấp số nhân, do đó người học có thể tính giá trị của \(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\), dựa trên công thức tổng quát của \(u_n\) đã cho.

a. Có:

\(\begin{cases}u_n = 5\cdot 3^{n-1} \\ u_{n-1} = 5\cdot 3^{n-2}\end{cases}\)

\(\Rightarrow \frac{u_n}{u_{n-1}} = 3\) (đúng với mọi \(n \geq 2\))

Vậy dãy số \((u_n)\) là một cấp số nhân.

b. Có:

\(\begin{cases}u_n = 2^n + 1 \\ u_{n-1} = 2^{n-1} + 1\end{cases}\)

\(\Rightarrow \frac{u_n}{u_{n-1}} = \frac{2^n + 1}{2^{n-1}+1}\)

Với \(u_n=2^n+1\), có \(\frac{u_2}{u_1}=\frac53\) và \(\frac{u_3}{u_2}=\frac95\). Hai tỉ số khác nhau nên dãy không phải cấp số nhân.

Bài tập xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số

Đề bài: Cho \(v_n=\frac{3n}{n+2}\) với n ≥ 1. Xét tính tăng giảm và tính bị chặn của dãy.

Lời giải: Xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

\[v_{n+1}-v_n=\frac{6}{(n+2)(n+3)}>0\]

Do đó dãy tăng. Mặt khác, \(v_n=3-\frac6{n+2}\) nên \(1\le v_n<3\) với mọi n ≥ 1. Dãy bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 3. Phải chứng minh bất đẳng thức với mọi n trong miền xác định, không chỉ kiểm tra vài số hạng.

Tìm số hạng, công sai và công bội

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của hai dãy được mô tả như sau:

a. Số hạng thứ n là phân số có tử số n, mẫu số n + 1; các số hạng đầu là \(\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\frac56,\ldots\).

b. Trị tuyệt đối của số hạng thứ n là n², mang dấu âm khi n lẻ và dấu dương khi n chẵn; các số hạng đầu là −1; 4; −9; 16; −25; …

Hướng dẫn giải: Viết công thức tổng quát từ quy luật đã cho, rồi thay n = 10. Chỉ biết một vài số hạng đầu mà không có quy luật thì chưa xác định duy nhất được toàn bộ dãy số.

a. Dãy \((u_n)\) có:

\(\begin{cases} u_1 = \frac{1}{2} \\ u_2 = \frac{2}{3} \\ u_3 = \frac{3}{4} \end{cases}\)

Có thể nhận thấy:

• Tử số của từng số hạng đúng bằng số thứ tự của số hạng đó trong dãy.

• Mẫu số luôn lớn hơn tử số đúng 1 đơn vị.

Do đó, số hạng tổng quát của dãy \((u_n)\) có dạng như sau:

\(u_n = \frac{n}{n+1}\)

Vậy số hạng thứ 10 của dãy là \(u_{10}=\frac{10}{11}\).

b. Dãy \((u_n)\) có:

\[\begin{cases} u_1 = -1 = (-1)^1\cdot 1^2 \\ u_2 = 4 = (-1)^2\cdot 2^2 \\ u_3 = -9 = (-1)^3\cdot 3^2 \end{cases}\]

Có thể nhận thấy:

• Số hạng có thứ tự lẻ sẽ mang dấu âm, có thứ tự chẵn sẽ mang dấu dương.

• Lấy trị tuyệt đối tất cả các số hạng thu được dãy số chính phương \(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2,\ldots\)

Do đó số hạng tổng quát của dãy \((u_n)\) có dạng như sau:

\(u_n = (-1)^n\cdot n^2\)

Vậy số hạng thứ 10 của dãy là \(u_{10}=(-1)^{10}\cdot 10^2=100\).

Bài 2: Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của cấp số cộng \((u_n)\), biết:

\(\begin{cases}u_2+u_5-u_3=8\\u_4+u_6=20\end{cases}\)

Hướng dẫn giải: Để giải được bài toán, cần đưa tất cả số hạng trong hệ phương trình về dạng tổng của \(u_1\) và d, bằng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Có:

\(\begin{cases}u_1+3d=8\\2u_1+8d=20\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}u_1+3d=8\\2u_1+8d=20\end{cases}\)

Giải hệ phương trình trên, thu được:

\(\begin{cases}u_1=2\\d=2\end{cases}\)

Vậy số hạng đầu \(u_1=2\) và công sai \(d=2\). Thử lại: u₂ = 4, u₃ = 6, u₄ = 8, u₅ = 10, u₆ = 12, thỏa mãn cả hai điều kiện.

Bài 3: Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội q của cấp số nhân \((u_n)\) có các số hạng dương, biết:

\(\begin{cases}u_4-u_2=96\\u_5-u_3=288\end{cases}\)

Hướng dẫn giải: Để giải được bài toán, cần đưa tất cả số hạng trong hệ phương trình về dạng tích của \(u_1\) và q, bằng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Có:

\(\begin{cases}u_1q^3-u_1q=96\\u_1q^4-u_1q^2=288\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}u_1q(q^2-1)=96\quad(1)\\u_1q^2(q^2-1)=288\quad(2)\end{cases}\)

Vế trái của (1) bằng 96 ≠ 0 nên có thể chia hai vế tương ứng của (2) cho (1):

\(\frac{u_1q^2(q^2-1)}{u_1q(q^2-1)}=\frac{288}{96}\)

\(\Rightarrow q=3\)

Thay q = 3 vào (1):

\(u_1\cdot3(3^2-1)=96\)

\(24u_1=96\)

\(u_1=4\)

Giá trị \(u_1, q\) đều lớn hơn 0 nên mọi số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) đều dương, do đó giá trị vừa tìm được thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy cấp số nhân có \(u_1=4\) và \(q=3\). Thử lại u₂ = 12, u₃ = 36, u₄ = 108, u₅ = 324, thỏa mãn đề bài.

Tìm tham số để ba số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba biểu thức sau theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: \(3m - 1, m^2 + 1, 4m + 3\).

Hướng dẫn giải: Có thể giải bài toán này bằng cách giả sử ba biểu thức đã cho theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng. Khi đó có thể dùng định nghĩa cấp số cộng để thiết lập mối quan hệ giữa chúng.

Giả sử ba biểu thức theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó tồn tại một công sai d sao cho:

\(\begin{cases} (3m - 1) + d = m^2 + 1 \\ (m^2 + 1) + d = 4m + 3\end{cases}\)

\(\begin{cases}3m-1=m^2+1-d\\4m+3=m^2+1+d\end{cases}\)

Khi đó cộng vế theo vế của (1) và (2) thu được:

\((3m - 1) + (4m + 3) = 2\cdot (m^2 + 1)\)

\(\Leftrightarrow 7m + 2 = 2m^2 + 2\)

\(\Leftrightarrow 2m^2 - 7m = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0 \\ m = \frac{7}{2} \end{array} \right.\)

Thử lại thấy m = 0 hay \(m = \frac{7}{2}\) đều thỏa mãn yêu cầu đề bài

Vậy \(m\in\left\{0;\frac72\right\}\).

Bài 2: Tìm tham số m để ba số sau theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: m - 1, m + 1, 3m - 1.

Hướng dẫn giải: Giống như bài tập 1, ta cũng có thể áp dụng định nghĩa của cấp số nhân nhằm thiết lập mối quan hệ giữa các biểu thức mà đề bài cho.

Giả sử m - 1, m + 1, 3m - 1 lần lượt tạo thành cấp số nhân.

Nếu m = 1 thì ba số là 0; 2; 2, không lập thành cấp số nhân. Với m ≠ 1, từ định nghĩa có thể lập hệ sau:

\(\begin{cases} (m - 1)\cdot q = m + 1 \\ (m + 1)\cdot q = 3m - 1 \end{cases}\)

Từ hai hệ thức trên, khử q để thu được điều kiện cần:

Bình phương số hạng giữa bằng tích hai số hạng ngoài:

\((m+1)^2 = (m-1)\cdot (3m-1)\)

\(\Leftrightarrow m^2 + 2m + 1 = 3m^2 - 4m + 1\)

\(\Leftrightarrow 2m^2 - 6m = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0 \\ m = 3 \end{array} \right.\)

Thử lại: m = 0 cho ba số −1; 1; −1, có q = −1; m = 3 cho ba số 2; 4; 8, có q = 2. Cả hai đều thỏa mãn định nghĩa.

Vậy \(m\in\{0;3\}\). Lưu ý: với ba số a, b, c, hệ thức b² = ac chỉ là điều kiện cần nói chung; nếu a = 0 phải kiểm tra trực tiếp. Ví dụ 0; 0; 1 thỏa mãn hệ thức nhưng không phải cấp số nhân.

Tính tổng và tìm số số hạng của cấp số cộng, cấp số nhân

Bài 1: Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công bội q = 2. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có:

\(S_n = u_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\)

\(\Rightarrow S_{10} = 3\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}\)

\(\Rightarrow S_{10}=3\cdot 1023=3069\)

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng 3069.

Bài 2: Tính tổng của 50 số lẻ dương đầu tiên.

Hướng dẫn giải: Dãy các số lẻ dương có dạng như sau: 1; 3; 5; 7; 9;... Nhận thấy mỗi số hạng đều cách nhau 2 đơn vị, do đó dãy này là một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 1\), công sai d = 2.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có:

\[S_n = \frac{n}{2}\cdot [2\cdot u_1 + (n - 1)\cdot d]\]

\[\Rightarrow S_{50}=\frac{50}{2}\cdot [2\cdot 1+(50-1)\cdot 2]\]

\[\Rightarrow S_{50}=25\cdot 100=2500\]

Vậy tổng 50 số lẻ dương đầu tiên bằng 2500.

Bài 3: Cho một cấp số cộng có \(u_1 = 2\) và công sai d = 3. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên để được kết quả \(S_n = 345\)?

Hướng dẫn giải: Có:

\(\frac{n}{2}\cdot [2\cdot u_1+(n - 1)\cdot d] = S_n\)

\(\Rightarrow \frac{n}{2}\cdot [2\cdot 2 + (n - 1)\cdot 3] = 345\)

\(\Rightarrow n\cdot (3n + 1) = 690\)

\(\Rightarrow 3n^2 + n - 690 = 0\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 15 \\ n = - \frac{46}{3} \end{array} \right.\)

Mà n là số nguyên dương nên chỉ nhận n = 15.

Vậy cần lấy tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng để \(S_n = 345\).

Bài tập thực tế về cấp số cộng và cấp số nhân

Các bài toán nằm trong dạng này thường là bài toán tính lãi suất kép, bài toán tăng trưởng dân số, hoặc sự hao mòn máy móc,... có ứng dụng của dãy số. Đối với dạng toán này, người học cần thiết lập dãy số \((u_n)\), dựa trên việc xác định:

Với bài toán thay đổi theo tỉ lệ cố định, cần áp dụng đúng công thức cấp số nhân và phân biệt thời điểm ban đầu với số chu kì đã qua.

• Đại lượng tương ứng với số hạng của dãy số, nhằm xác định \(u_n\).

• Chu kỳ biến thiên của số hạng, nhằm xác định ý nghĩa của chỉ số n.

• Quy luật biến thiên của số hạng (tăng/giảm một lượng không đổi hay theo tỉ lệ)

Bài 1: Một cơ sở khoan giếng đưa ra bảng giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100.000 đồng. Kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan tăng thêm 30.000 đồng so với mét khoan ngay trước đó. Hỏi một hộ gia đình phải trả tổng cộng bao nhiêu tiền để khoan một cái giếng sâu 20 mét?

Hướng dẫn giải: Nhận thấy giá của mỗi mét khoan thêm tăng lên một lượng không đổi, do đó có thể thiết lập một cấp số cộng nhằm biểu diễn giá của các mét khoan.

Gọi \(u_n\) là giá phải trả cho mét khoan thứ n (đơn vị: nghìn đồng, \(n\in N^{\ast}\)).

Giá của mét khoan đầu tiên là \(u_1 = 100\) (nghìn đồng). Khi đó dãy \((u_n)\) có dạng như sau:

\(\begin{cases} u_1 = 100 \\ u_n = u_{n-1} + 30 \end{cases}\)

Do đó dãy \((u_n)\) là một cấp số cộng, với số hạng đầu tiên \(u_1 = 100\) và công sai d = 30.

Tổng tiền khoan 20 m là tổng chi phí của từng mét khoan từ mét thứ nhất đến mét thứ 20, tức \(S_{20}\):

\(S_{20}=\frac{20}{2}\cdot [2\cdot u_1+(20-1)\cdot d]\)

\(\Rightarrow S_{20}=10\cdot [2\cdot 100+19\cdot 30]=7700\)

Vậy hộ gia đình cần trả 7 triệu 700 nghìn đồng để khoan một cái giếng sâu 20 mét.

Bài 2: Trong một mô hình nuôi cấy giả định, ban đầu có 1.500 tế bào. Giả sử số tế bào tăng gấp đôi sau mỗi 30 phút và duy trì quy luật này trong 5 giờ. Tính số tế bào sau 5 giờ.

Hướng dẫn giải: Nhận thấy cứ mỗi 30 phút, số lượng vi khuẩn tăng lên theo một tỉ lệ không đổi. Do đó có thể sử dụng cấp số nhân để biểu diễn số lượng vi khuẩn sau mỗi chu kỳ kéo dài 30 phút.

Gọi \(u_n\) là số tế bào sau n − 1 chu kì, với n ∈ ℕ*.

Số lượng vi khuẩn ban đầu (chưa qua chu kỳ nào) là \(u_1 = 1500\) (con). Khi đó dãy \((u_n)\) có dạng như sau:

\(\begin{cases} u_1 = 1500 \\ u_n = 2\cdot u_{n-1} \end{cases}\)

Do đó dãy \((u_n)\) là một cấp số nhân, với số hạng đầu tiên \(u_1 = 1500\), công bội q = 2.

Sau 5 giờ (tức 10 chu kỳ), số lượng vi khuẩn trong mẫu cấy là \(u_{11}\).

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có:

\(u_n = q^{n-1}\cdot u_1\)

\(\Rightarrow u_{11}=2^{10}\cdot 1500=1536000\)

Vậy số lượng vi khuẩn trong mẫu cấy sau 5 giờ là 1 triệu 536 nghìn con.

Những lỗi thường gặp khi giải bài tập

• Dùng tỉ số khi số hạng ở mẫu bằng 0: chuyển sang hệ thức uₙ = quₙ₋₁ để kiểm tra.

• Thay q = 1 vào công thức tổng có mẫu 1 − q: dùng Sₙ = nu₁.

• Kết luận dãy là cấp số chỉ từ vài số hạng: cần chứng minh quan hệ với mọi chỉ số phù hợp.

• Nhầm n chu kì với số hạng thứ n: nếu u₁ là lượng ban đầu thì sau k chu kì phải tính uₖ₊₁.

• Nhận nghiệm tham số mà chưa thử lại: kiểm tra định nghĩa và điều kiện của phép chia.

Bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân tập trung vào nhận biết loại dãy, tìm số hạng, xác định công sai, công bội và tính tổng. Khi giải, học sinh cần chọn đúng công thức, kiểm tra điều kiện áp dụng và thử lại kết quả, đặc biệt với bài toán tham số hoặc số chu kì.

Để củng cố kiến thức và luyện tập theo từng chuyên đề, học sinh có thể tham khảo thêm bài giảng Toán 11 tại ZIM Academy.