Bài tập phương trình mặt phẳng | Các dạng và lời giải chi tiết

Bài tập phương trình mặt phẳng trong Toán 12 yêu cầu học sinh xác định vectơ pháp tuyến, viết phương trình tổng quát và vận dụng điều kiện song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng. Với mỗi dạng bài, cần xác định một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến khác vectơ không để lập phương trình.

Bám sát Bài 14 – Phương trình mặt phẳng, Toán 12 Kết nối tri thức, tập hai, bài viết hệ thống các dạng bài tập phương trình mặt phẳng: đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến, biết cặp vectơ chỉ phương, đi qua ba điểm không thẳng hàng và thỏa mãn điều kiện song song hoặc vuông góc. Mỗi dạng có phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện kèm đáp án, đồng thời làm rõ những lỗi thường gặp.

Công thức cần nhớ khi giải bài tập phương trình mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) là một vectơ n khác vectơ không, có giá vuông góc với (P). Mỗi mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả đều cùng phương với nhau. Một điểm thuộc mặt phẳng và một VTPT khác vectơ không xác định duy nhất mặt phẳng đó. [1]

Khi đã biết M0(x0; y0; z0) thuộc (P) và VTPT n = (A; B; C), điều kiện n · M0M = 0 cho phương trình:

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

Khai triển và rút gọn, phương trình trên đưa về dạng tổng quát:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0 và D = −Ax0 − By0 − Cz0. Ngược lại, từ phương trình tổng quát có thể đọc ngay một VTPT là n = (A; B; C). Hệ số của biến vắng mặt bằng 0.

Để tìm VTPT khi chưa có sẵn, dùng cặp vectơ chỉ phương: hai vectơ u, v không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong (P). Khi đó n = [u, v] là một VTPT. Với u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3), tính riêng từng thành phần để tránh sai dấu:

nx = u2v3 − u3v2

ny = u3v1 − u1v3

nz = u1v2 − u2v1

Vectơ n tính theo công thức trên vuông góc với cả u và v. Có thể ghi nhớ thứ tự chỉ số xoay vòng 1 → 2 → 3 → 1; không cần dùng các tỉ số tọa độ có thể chứa mẫu bằng 0.

Học sinh cần ôn lại định nghĩa và cách suy ra công thức có thể tham khảo bài phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Bài tập lập phương trình mặt phẳng theo điểm và vectơ

Dạng 1: Biết một điểm và một vectơ pháp tuyến

Phương pháp: Thay tọa độ điểm và VTPT vào công thức điểm – pháp tuyến, sau đó khai triển, rút gọn.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(1; 2; −3) và nhận n(2; −1; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải: Thay trực tiếp vào công thức:

2(x − 1) − (y − 2) + 4(z + 3) = 0

⇔ 2x − y + 4z + 12 = 0.

Trường hợp liên quan: Nếu mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là một VTPT của mặt phẳng.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương u(1; −2; 2).

Lời giải:

Vì (P) vuông góc với d nên vectơ chỉ phương u của d chính là một vectơ pháp tuyến của (P), tức n(1; −2; 2).

Áp dụng công thức điểm – VTPT: 1(x − 2) − 2(y + 1) + 2(z − 3) = 0

⇔ x − 2y + 2z − 10 = 0.

Vậy (P): x − 2y + 2z − 10 = 0.

Dạng 2: Biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương

Phương pháp: Tính n = [u, v], kiểm tra n khác vectơ không rồi viết phương trình qua điểm đã cho. Chỉ có cặp vectơ chỉ phương mà chưa có điểm đi qua thì chưa xác định được duy nhất mặt phẳng.

Ví dụ 3: Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; 1) và nhận u = (2; −1; 3), v = (1; 0; −2) làm cặp vectơ chỉ phương. Viết phương trình (P).

Lời giải: Áp dụng công thức tích có hướng theo từng thành phần:

nx = (−1)(−2) − 3·0 = 2

ny = 3·1 − 2(−2) = 7

nz = 2·0 − (−1)·1 = 1

Suy ra n = (2; 7; 1), khác vectơ không.

(P): 2(x − 1) + 7y + (z − 1) = 0

⇔ 2x + 7y + z − 3 = 0.

Dạng 3: Đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong dạng bài này, cần thêm bước trung gian: từ ba điểm A, B, C lập hai vectơ chỉ phương AB và AC để suy ra VTPT. Quy trình gồm bốn bước:

1. Lập AB và AC.

2. Tính n = [AB, AC]; n phải khác vectơ không.

3. Chọn một trong ba điểm và viết phương trình điểm – pháp tuyến.

4. Khai triển, rút gọn về dạng tổng quát rồi thay tọa độ cả ba điểm để kiểm tra.

Ví dụ 4: Với A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), có AB = (−1; 1; 0), AC = (−1; 0; 1). Tích có hướng bằng (1; 1; 1), nên phương trình (ABC) là x + y + z − 1 = 0.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) với A(1; 1; 1), B(2; 0; 3), C(−1; 2; 0).

Lời giải:

Lập hai vectơ chỉ phương: AB = (1; −1; 2), AC = (−2; 1; −1).

Tính VTPT bằng tích có hướng của AB và AC:

nx = (−1)(−1) − 2·1 = −1

ny = 2(−2) − 1(−1) = −3

nz = 1·1 − (−1)(−2) = −1

Vậy n = (−1; −3; −1).

Chọn điểm A(1; 1; 1) và viết phương trình: −1(x − 1) − 3(y − 1) − 1(z − 1) = 0

⇔ −x − 3y − z + 5 = 0

⇔ x + 3y + z − 5 = 0.

Vậy (ABC): x + 3y + z − 5 = 0.

Lưu ý: Nếu A, B, C thẳng hàng thì AB và AC cùng phương, tích có hướng bằng vectơ không. Khi đó có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm, dữ kiện không xác định duy nhất một mặt phẳng.

Bài tập phương trình mặt phẳng song song và vuông góc

Quan hệ giữa hai mặt phẳng quy về quan hệ giữa các VTPT tương ứng. Với (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0, cần phân biệt: [1]

• Song song: tồn tại k ≠ 0 sao cho n1 = k n2 và D1 ≠ kD2.

• Trùng nhau: tồn tại k ≠ 0 sao cho n1 = k n2 và D1 = kD2.

• Vuông góc: n1 · n2 = 0, tức A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Dạng 4: Qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước

Phương pháp: Dùng VTPT của mặt phẳng đã cho, viết phương trình qua điểm cần đi qua và kiểm tra hai mặt phẳng không trùng nhau.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm N(1; 2; −1) và song song với mặt phẳng (P): 3x − y + 2z + 4 = 0.

Lời giải:

Vì (Q) // (P) nên (Q) nhận cùng vectơ pháp tuyến với (P), tức n(3; −1; 2).

Viết phương trình qua N: 3(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0

⇔ 3x − y + 2z + 1 = 0.

Kiểm tra lại: (Q): 3x − y + 2z + 1 = 0 có cùng tỉ lệ VTPT với (P) (đều là (3; −1; 2)) nhưng hệ số tự do khác nhau (1 ≠ 4), nên (Q) thực sự song song với (P), không trùng nhau.

Trước khi kết luận song song, luôn nên kiểm tra điểm đã cho không thuộc mặt phẳng ban đầu – nếu thuộc thì hai mặt phẳng sẽ trùng nhau chứ không còn song song.

Dạng 5: Vận dụng điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ 7: Cho (P1): x − 2y + 3z − 1 = 0 và (P2): 2x + y + 7 = 0. Chứng minh (P1) ⊥ (P2).

Lời giải: (P1) có n1(1; −2; 3), (P2) có n2(2; 1; 0) (hệ số của z trong (P2) bằng 0). Tính n1 · n2 = 1·2 + (−2)·1 + 3·0 = 2 − 2 + 0 = 0.

Vì n1 · n2 = 0 nên n1 ⊥ n2, suy ra (P1) ⊥ (P2). Ví dụ trên cũng cho thấy một lưu ý quan trọng: hệ số của biến vắng mặt trong phương trình (ở đây là z trong (P2)) luôn bằng 0 khi xác định VTPT, không được bỏ qua khi tính tích vô hướng.

Phương pháp lập mặt phẳng: Chỉ biết mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thường chưa đủ để xác định duy nhất. Cần thêm điều kiện, chẳng hạn đi qua điểm đó và vuông góc với hai mặt phẳng có VTPT không cùng phương.

Ví dụ 8: Viết (S) đi qua M(2; −1; 1), đồng thời vuông góc với (Q): x + y − 3 = 0 và (R): y + 2z + 1 = 0.

Lời giải: Hai mặt phẳng đã cho có VTPT nQ = (1; 1; 0) và nR = (0; 1; 2), không cùng phương. Chọn nS = [nQ, nR] = (2; −2; 1).

(S): 2(x − 2) − 2(y + 1) + (z − 1) = 0

⇔ 2x − 2y + z − 7 = 0.

Kiểm tra: nS · nQ = 2 − 2 = 0; nS · nR = −2 + 2 = 0. Thay M vào phương trình được 4 + 2 + 1 − 7 = 0.

Bài tập khoảng cách đến mặt phẳng và vận dụng thực tế

Với M(x0; y0; z0) và (P): Ax + By + Cz + D = 0, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính bằng: [1]

d(M, (P)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)

Tử số phải lấy giá trị tuyệt đối. Nếu hai mặt phẳng song song, chọn một điểm thuộc mặt phẳng thứ nhất và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng thứ hai.

Dạng 6: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ M(2; −1; 4) đến (P): 2x + y − 2z + 3 = 0.

d(M, (P)) = |2·2 − 1 − 2·4 + 3| / √(2² + 1² + (−2)²)

= |−2| / 3 = 2/3.

Dạng 7: Bài toán thực tế về mặt phẳng chứa mái nhà

Ví dụ 10: Trong không gian Oxyz (đơn vị mét), một mái nhà dạng phẳng đi qua ba điểm A(0; 0; 4), B(5; 0; 4), C(0; 4; 6) (các đỉnh mái được xác định sau khi gắn hệ trục tại một góc nhà). Viết phương trình mặt phẳng chứa mái nhà và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng chứa mái nhà.

Lời giải:

Lập hai VTCP: AB = (5; 0; 0), AC = (0; 4; 2).

Tính VTPT: n = [AB, AC] = (0·2 − 0·4 ; 0·0 − 5·2 ; 5·4 − 0·0) = (0; −10; 20), có thể rút gọn thành n(0; −1; 2).

Viết phương trình qua A(0; 0; 4): 0(x − 0) − 1(y − 0) + 2(z − 4) = 0

⇔ −y + 2z − 8 = 0

⇔ y − 2z + 8 = 0.

Khoảng cách từ O(0;0;0) đến mặt phẳng này là d = |0 − 0 + 8| / √(1² + 2²) = 8/√5 ≈ 3,58 m.

Kết quả trên là khoảng cách đến mặt phẳng chứa mái nhà. Nếu bài toán hỏi khoảng cách đến phần mái có giới hạn, cần kiểm tra thêm vị trí hình chiếu vuông góc trên phần mái đó.

Bài tập phương trình mặt phẳng tự luyện có đáp án

Các câu dưới đây giúp luyện lại từng dạng. Học sinh nên tự xác định VTPT và giải trước khi đối chiếu đáp án.

Bài 1: Viết mặt phẳng qua M(3; −2; 1), nhận n = (2; 1; −3) làm VTPT.

Bài 2: Viết mặt phẳng qua A(1; −1; 2), nhận u = (1; 2; 0), v = (0; 1; 2) làm cặp VTCP.

Bài 3: Viết mặt phẳng qua A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3).

Bài 4: Viết mặt phẳng qua M(2; 1; −1), song song với (P): 2x − y + z + 4 = 0.

Bài 5: Tìm m để (P): x + 2y − z + 1 = 0 vuông góc với (Q): mx − y + 3z − 2 = 0.

Bài 6: Tính khoảng cách từ M(1; 2; −1) đến (P): 2x − 2y + z − 4 = 0.

Đáp án và hướng dẫn ngắn

Những lỗi thường gặp khi giải bài tập phương trình mặt phẳng

Phần lớn lỗi sai đến từ việc nhầm lẫn khái niệm hoặc sai sót ở bước tìm VTPT. Học sinh cần chú ý:

• Nhầm VTPT với VTCP: VTPT vuông góc với mặt phẳng; VTCP có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng. Luôn xác định vai trò của vectơ trước khi thay vào công thức.

• Sai dấu tích có hướng: Thành phần thứ hai là u3v1 − u1v3. Đổi thứ tự hai vectơ làm tích có hướng đổi dấu, nhưng vẫn cho một VTPT của cùng mặt phẳng.

• Không kiểm tra ba điểm thẳng hàng: Tích có hướng bằng vectơ không thì không dùng được làm VTPT; ba điểm thẳng hàng nằm trên vô số mặt phẳng.

• Nhầm song song với trùng nhau: Hai VTPT cùng phương chưa đủ để kết luận song song; cần kiểm tra thêm hệ số tự do.

• Kiểm tra thiếu điều kiện: Một vectơ vuông góc với một VTCP chưa chắc là VTPT. Cần kiểm tra vectơ đó khác vectơ không và vuông góc với cả hai VTCP không cùng phương, đồng thời kiểm tra điểm đi qua.

• Sai công thức khoảng cách: Quên giá trị tuyệt đối ở tử hoặc bỏ hệ số bằng 0 của biến vắng mặt.

Chiến thuật làm bài: Xác định dữ kiện thuộc dạng nào, viết tường minh VTPT hoặc cặp VTCP, lập phương trình rồi kiểm tra lại. Khi đề có nhiều điều kiện, cần đối chiếu từng điều kiện trước khi kết luận.

Bài tập phương trình mặt phẳng được giải dựa trên việc xác định điểm đi qua và VTPT khác vectơ không, kết hợp điều kiện song song, vuông góc hoặc công thức khoảng cách. Học sinh nên luyện theo từng dạng và kiểm tra kết quả bằng tọa độ điểm cùng các điều kiện hình học. Các bài giảng Toán 12 tại ZIM Academy hỗ trợ hệ thống kiến thức liên quan theo chương trình Kết nối tri thức.