Đạo hàm căn | Công thức căn x, căn u, căn bậc n và bài tập

Trong chương trình Toán lớp 11, đạo hàm căn là kiến thức quan trọng giúp học sinh nắm vững công thức đạo hàm căn x, đạo hàm căn u, đạo hàm căn bậc 2 và căn bậc n. Việc hiểu rõ quy tắc đạo hàm hàm hợp và cách tính đạo hàm căn thức giúp học sinh giải quyết các bài toán về hàm số chứa căn, phương trình tiếp tuyến và ứng dụng đạo hàm.

Bài viết dưới đây tổng hợp các công thức đạo hàm căn, hướng dẫn cách tính đạo hàm chứa căn từ cơ bản đến nâng cao, kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết.

Công thức đạo hàm căn bậc hai

Xét hàm số cơ bản \(y = \sqrt{x}\) có tập xác định \(D = [0; +\infty)\). Công thức tính đạo hàm căn bậc hai của biến số x được phát biểu thông qua quy tắc mở rộng của đạo hàm hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Hàm số có đạo hàm tại các điểm \(x>0\); tại \(x=0\) không có đạo hàm hai phía theo định nghĩa thông thường.

Cụ thể, công thức đạo hàm hàm số căn bậc hai là [1]:\[(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (\text{với } x > 0)\]Bản chất và cách hiểu công thức qua lũy thừa: Học sinh có thể dễ dàng nắm bắt bản chất của công thức này bằng cách biểu diễn căn thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Cụ thể, hàm số \(\sqrt{x}\) được viết lại thành lũy thừa \(x^{\frac{1}{2}}\). Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ thực \((x^\alpha)' = \alpha \cdot x^{\alpha - 1}\)[1], thực hiện phép biến đổi như sau:\[\begin{aligned} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' &= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} \\ &= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}\]

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt{x}\) tại điểm cụ thể \(x_0 = 9\).

Lời giải:

Áp dụng trực tiếp công thức đạo hàm căn bậc hai, thu được biểu thức đạo hàm \(y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Thay giá trị \(x = 9\) vào, thu được kết quả:\[y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}\]

Ví dụ 2: Trên đồ thị hàm số \(y = \sqrt{x}\) , hãy tìm điểm A sao cho hệ số góc của tiếp tuyến tại A bằng \(\frac{1}{10}\)

Lời giải:

Gọi tọa độ của điểm A là \(\left(x_{A},y_{A}\right)\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm chính là giá trị đạo hàm tại điểm đó, vậy: \[\frac{1}{2\sqrt{x_{A}}}=\frac{1}{10}\to x_{A}=25\]

Từ đó tính được \(y_{A}=\sqrt{x_{A}}=\sqrt{25}=5\). Vậy điểm A cần tìm có tọa độ là \(\left(25;5\right)\).

Đạo hàm x căn x: Với dạng tích \(y=x\sqrt{x}\), học sinh có thể đổi thành lũy thừa hoặc áp dụng quy tắc đạo hàm tích:

\[(x\sqrt{x})'=(x^{\frac{3}{2}})'=\frac{3}{2}\sqrt{x}\quad (x>0)\]

Đạo hàm của hàm hợp chứa căn bậc hai

Trong các đề kiểm tra và đề thi Toán 11, các biểu thức dưới dấu căn thường không đơn thuần chỉ là biến x mà là một hàm số phức hợp theo x, kí hiệu là \(u = u(x)\). Lúc này, học sinh phải áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để giải quyết.

Công thức tổng quát của đạo hàm căn hàm hợp đối với biểu thức \(y = \sqrt{u}\) (với \(u = u(x) > 0\) và \(u(x)\) có đạo hàm trên tập xác định) được xác định như sau [1]:\[(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\]

Quy tắc này khẳng định rằng việc tính toán đạo hàm căn của hàm hợp đòi hỏi người học phải thực hiện thêm một bước nhân với đạo hàm của biểu thức nằm bên trong căn (\(u'\)). Nội dung được giải thích thêm trong bài đạo hàm hàm hợp tại ZIM Academy.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt{4x^3 - 5x^2 + 7}\). Áp dụng công thức trên miền mà biểu thức dưới dấu căn dương.

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Đặt biểu thức nằm bên trong dấu căn là \(u = 4x^3 - 5x^2 + 7\). Khi đó, hàm số có dạng tổng quát là \(y = \sqrt{u}\).

• Bước 2: Tính đạo hàm của biểu thức \(u\) theo biến x:

  \(u' = (4x^3 - 5x^2 + 7)' = 12x^2 - 10x\).

• Bước 3: Áp dụng công thức tính đạo hàm căn hàm hợp \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\), thu được kết quả hoàn chỉnh:

  \[\begin{aligned} y^{\prime} &= \frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}} \\ &= \frac{12x^2 - 10x}{2\sqrt{4x^3 - 5x^2 + 7}} \\ &= \frac{6x^2 - 5x}{\sqrt{4x^3 - 5x^2 + 7}} \end{aligned}\]

• Kết luận: \(y^{\prime}=\frac{6x^2 - 5x}{\sqrt{4x^3 - 5x^2 + 7}}\).

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{5x^2+2+\sin x}\).

Lời giải chi tiết:

• Bước 1: Đặt biểu thức nằm bên trong dấu căn là \(u=5x^2+2+\sin x\). Khi đó, hàm số có dạng tổng quát là \(y = \sqrt{u}\).

• Bước 2: Tính đạo hàm của biểu thức \(u\) theo biến x:

  \(u^{\prime}=(5x^2+2+\sin x)^{\prime}=10x+\cos x\).

• Bước 3: Áp dụng công thức tính đạo hàm căn hàm hợp \((\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\), thu được kết quả hoàn chỉnh:\[y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}=\frac{10x+\cos x}{2\sqrt{5x^2+2+\sin x}}\]

• Kết luận: \(y^{\prime}=\frac{10x+\cos x}{2\sqrt{5x^2+2+\sin x}}\)

Đạo hàm 1/căn x và 1/căn u

Một biến thể toán học rất hay xuất hiện trong các bài toán biến đổi biểu thức giải tích là dạng phân thức có chứa căn thức nằm ở dưới mẫu số, tiêu biểu như hàm số \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\) hoặc mở rộng thành \(y = \frac{1}{\sqrt{u}}\).

Để tính đạo hàm căn dạng này chính xác, học sinh có thể áp dụng hai hướng tiếp cận:

• Cách 1: Sử dụng công thức tính đạo hàm của thương hai hàm số \(\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}\).

• Cách 2: Viết lại biểu thức dưới mẫu số thành dạng lũy thừa với số mũ âm. Cụ thể, biểu thức \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) được biến đổi thành \(x^{-\frac{1}{2}}\) để áp dụng trực tiếp đạo hàm hàm lũy thừa.

Từ hai cách trên, có thể rút ra được công thức tổng quát cho đạo hàm căn dạng phân thức cơ bản như sau:\[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \quad (\text{với } x > 0)\]

Tương tự, công thức mở rộng đối với hàm hợp dạng \(y = \frac{1}{\sqrt{u}}\) sẽ là:\[\left(\frac{1}{\sqrt{u}}\right)' = -\frac{u'}{2u\sqrt{u}}\] Công thức áp dụng khi \(u(x)>0\) và hàm số \(u\) khả vi. [1]

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{\sqrt{3x - 2}}\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = 3x - 2\), tính được đạo hàm \(u' = 3\). Áp dụng công thức mở rộng của đạo hàm căn ở mẫu số thì:\[y' = -\frac{u'}{2u\sqrt{u}} = -\frac{3}{2(3x - 2)\sqrt{3x - 2}}\]

Đạo hàm của căn bậc ba và căn bậc n tổng quát

Không chỉ dừng lại ở căn bậc hai, chương trình giải tích lớp 11 còn giới thiệu tổng quát hóa cho các bậc căn cao hơn như căn bậc ba hoặc căn bậc n bất kỳ \((n\in\mathbb{N},n\ge2)\).

Phương pháp cốt lõi để xử lý các bài toán tìm đạo hàm căn bậc n là chuyển đổi biểu thức căn thức thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Căn bậc n của biến x (với \(x > 0\)) được viết dưới dạng lũy thừa cơ bản: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\).

Từ cấu trúc lũy thừa này, áp dụng công thức đạo hàm hàm số lũy thừa, thiết lập được công thức tổng quát cho đạo hàm căn bậc n của biến x [1]:\[\begin{aligned} (\sqrt[n]{x})' &= \left(x^{\frac{1}{n}}\right)' \\ &= \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1} \\ &= \frac{1}{n \cdot x^{1 - \frac{1}{n}}} \\ &= \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{aligned}\]

Công thức trên được thiết lập cho \(x>0\); với căn bậc lẻ có đối số âm, có thể mở rộng theo tính chất căn bậc lẻ.

Đối với trường hợp cụ thể thường gặp là căn bậc ba (\(n = 3\)), công thức đạo hàm căn bậc ba có dạng:\[(\sqrt[3]{x})' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\] Với căn bậc ba, công thức vẫn đúng khi \(x<0\); không áp dụng trực tiếp tại \(x=0\).

Và công thức mở rộng cho hàm hợp chứa căn bậc ba dạng \(y = \sqrt[3]{u}\) được tính như sau:\[(\sqrt[3]{u})' = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}\] Công thức áp dụng tại những điểm có \(u(x)\ne0\); khi \(u(x)=0\), cần xét riêng khả năng tồn tại đạo hàm.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[3]{x^2-4x+8}\) tại \(x_0=13\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u=x^2-4x+8\), tính được đạo hàm \(u' = 2x - 4\). Áp dụng công thức tính đạo hàm căn bậc ba cho hàm hợp, thu được:\[y^{\prime}=\frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}=\frac{2x-4}{3\sqrt[3]{(x^2-4x+8)^2}}\]

Thay giá trị \(x_0=13\) thu được: \[y^{\prime}\left(13\right)=\frac{2\cdot13-4}{3\sqrt[3]{(13^2-4\cdot13+8)^2}}=\frac{22}{75}\]

Vậy tại \(x_0=13\) thì giá trị đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[3]{x^2-4x+8}\) là \(\frac{22}{75}\).

Mở rộng: Đạo hàm căn bậc biến x và căn bậc u

Nếu như đạo hàm của căn bậc n của biến x và hàm số \(u=u\left(x\right)\) được suy ra từ đạo hàm của hàm số dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì đạo hàm căn bậc x hoặc căn bậc u của một cơ số lại được suy ra từ đạo hàm của hàm số mũ với cơ số là hằng số và số mũ là x hoặc \(u=u\left(x\right)\). Nhìn chung, đây là đạo hàm phức tạp hơn so với đạo hàm căn bậc n ở trên, đòi hỏi học sinh phải tính toán tỉ mỉ và cẩn thận. Đây là phần vận dụng mở rộng từ đạo hàm hàm số mũ và lôgarit, không phải nhóm công thức căn thức cơ bản cần ưu tiên ở Toán 11.

Cụ thể, với hàm cơ bản \(y=\sqrt[x]{a}\) với a là hằng số lớn hơn 0 và \(x\ne0\) thì đạo hàm được tính như sau: Biến đổi \(\sqrt[x]{a}=a^{\frac{1}{x}}\). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \(\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u}\cdot\ln a\cdot u^{\prime}\) [1] với \(u=\frac{1}{x}\) thu được:\[\begin{aligned} y^{\prime} &= a^{\frac{1}{x}}\cdot\ln a\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime} \\ &= a^{\frac{1}{x}}\cdot\ln a\cdot\frac{-1}{x^2} \\ &= -\sqrt[x]{a}\cdot\frac{\ln a}{x^2} \end{aligned}\]

Ở đây, ký hiệu căn có bậc là biến được hiểu qua biểu thức lũy thừa \(a^{1/x}\), không phải chỉ số căn là số nguyên cố định.

Tương tự, với hàm \(y=\sqrt[u]{a}\) thì có thể tính được đạo hàm của hàm này như sau:\[\begin{aligned} y^{\prime} &= a^{\frac{1}{u}}\cdot\ln a\cdot\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime} \\ &= a^{\frac{1}{u}}\cdot\ln a\cdot\frac{-u^{\prime}}{u^2} \\ &= -\sqrt[u]{a}\cdot\frac{\ln a\cdot u^{\prime}}{u^2} \end{aligned}\]

Nhận xét: Với dạng căn thức đặc biệt này, công thức của đạo hàm tương đối phức tạp. Thay vì học thuộc công thức nêu ở trên, học sinh có thể ghi nhớ phương pháp biến đổi \(\sqrt[u]{a}=a^{\frac{1}{u}}\) rồi tự thực hiện lại đạo hàm theo công thức \(\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u}\cdot\ln a\cdot u^{\prime}\). Việc nắm được bản chất suy luận và biến đổi đạo hàm sẽ giúp học sinh ghi nhớ và vận dụng tốt hơn. Có thể ôn lại quy tắc liên quan qua bài đạo hàm e mũ u tại ZIM Academy.

Trường hợp đặc biệt: Với hàm số dạng \(y=\sqrt[u]{v}\) với cả u và v là 2 hàm số biến x, tức là biến x không chỉ xuất hiện ở phần cơ số hay phần chỉ số bậc căn mà xuất hiện ở cả hai phần, học sinh cần biến đổi các bước như sau: Giả sử \(u(x)\ne0\), \(v(x)>0\) và hai hàm có đạo hàm.

• Bước 1: Biến đổi \(\sqrt[u]{v}=v^{\frac{1}{u}}\).

• Bước 2: Thay \(v=e^{\ln v}\) vào phần cơ số thu được \(\sqrt[u]{v}=e^{\frac{\ln v}{u}}\).

• Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số \(e^{\frac{\ln v}{u}}\) theo quy tắc đạo hàm của hàm mũ cơ số e: \[\begin{aligned} y^{\prime} &= \left(e^{\frac{\ln v}{u}}\right)^{\prime} \\ &= e^{\frac{\ln v}{u}}\cdot\left(\frac{\ln v}{u}\right)^{\prime} \\ &= \sqrt[u]{v}\cdot\frac{\frac{v^{\prime}}{v}\cdot u-u^{\prime}\cdot\ln v}{u^2} \\ &= \sqrt[u]{v}\cdot\frac{v^{\prime}\cdot u-u^{\prime}\cdot v\cdot\ln v}{u^2v} \end{aligned}\]

• Nhận xét: Điểm mấu chốt của việc tính đạo hàm \(y=\sqrt[u]{v}\) là thay thế hàm v bởi hàm \(e^{\ln v}\) để đưa về đạo hàm dạng \(e^{f\left(x\right)}\) quen thuộc.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt[x]{2}\) với \(x\ne0\)

Lời giải chi tiết:

Biến đổi \(\sqrt[x]{2}=2^{\frac{1}{x}}\).

Áp dụng công thức đạo hàm \(\left(a^{u}\right)^{\prime}=a^{u}\cdot\ln a\cdot u^{\prime}\) với \(u=\frac{1}{x}\) thu được: \[y^{\prime}=2^{\frac{1}{x}}\cdot\ln2\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\sqrt[x]{2}\cdot\frac{\ln2}{x^2}\]

Hệ thống bài tập vận dụng về đạo hàm căn có lời giải chi tiết

Nhằm củng cố toàn bộ các dạng toán lý thuyết đã trình bày, phần dưới đây tổng hợp hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao kèm theo lời giải chi tiết giúp người học dễ dàng đối chiếu. Các lời giải vận dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, tích và thương trong Toán 11 Kết nối tri thức. [1]

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. \(y = \sqrt{7x - 3}\) với \(x>\frac37\)

b. \(y = x \cdot \sqrt{x^2 + 1}\)

Phân tích đề bài: Đề bài có hai phần, trong đó phần a. tương đối cơ bản, học sinh vận dụng trực tiếp công thức \(\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\) để tìm kết quả. Trong khi đó với phần b, học sinh cần áp dụng thêm công thức đạo hàm tích \(\left(u\cdot v\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) để giải.

Lời giải chi tiết:

a. Áp dụng công thức đạo hàm căn hàm hợp với \(u = 7x - 3\) (có \(u' = 7\)):\[y' = \frac{(7x - 3)'}{2\sqrt{7x - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{7x - 3}}\]

b. Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích hai hàm số \((u \cdot v)' = u'v + uv'\):

\(y' = (x)' \cdot \sqrt{x^2 + 1} + x \cdot (\sqrt{x^2 + 1})'\)

\(y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + x \cdot \frac{(x^2 + 1)'}{2\sqrt{x^2 + 1}}\)

\(y' = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\)

Quy đồng mẫu số để rút gọn biểu thức:\[y' = \frac{(x^2 + 1) + x^2}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm hợp \(y = \sqrt{\frac{2x - 1}{x + 3}}\) với \(x > \frac{1}{2}\). Điều kiện \(x>\frac12\) là nhánh đang xét; đầy đủ, hàm số xác định khi \(x<-3\) hoặc \(x\ge\frac12\), và có đạo hàm trên các khoảng \(x<-3\) và \(x>\frac12\).

Phân tích đề bài: Xem xét kĩ hàm số bài cho, nhận thấy rằng \(\sqrt{\frac{2x - 1}{x + 3}}\) chính là dạng \(\sqrt{u}\) với \(u = \frac{2x - 1}{x + 3}\). Như vậy sau khi áp dụng đúng công thức \(\left(\sqrt{u}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2\sqrt{u}}\), học sinh cần thêm một bước tính \(u^{\prime}\) bằng công thức của đạo hàm thương.

Lời giải chi tiết:

Đặt biểu thức nằm trong căn là hàm số \(u = \frac{2x - 1}{x + 3}\).

Tính đạo hàm \(u'\) bằng quy tắc đạo hàm thương:\[u' = \frac{(2x - 1)'(x + 3) - (2x - 1)(x + 3)'}{(x + 3)^2}\]\[u' = \frac{2(x + 3) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}\]

Áp dụng công thức tổng quát của đạo hàm căn hàm hợp \(y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}\):\[\begin{aligned} y' &= \frac{\frac{7}{(x + 3)^2}}{2\sqrt{\frac{2x - 1}{x + 3}}} \\ &= \frac{7}{2(x + 3)^2 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{x + 3}}} \end{aligned}\]

Bài tập 3: Tính đạo hàm biểu thức chứa dạng phân thức căn mẫu và căn bậc ba sau:

a. \(y = \frac{5}{\sqrt{2x^2 + 5}}\)

b. \(y = \sqrt[3]{5x^3 - 2x + 1}\)

Phân tích đề bài: Với phần a, hàm số có chứa \(\sqrt{u}\) ở phần mẫu số, như vậy cần phải dùng công thức mở rộng cho đạo hàm chứa căn ở mẫu số.

Trong khi đó ở phần b, hàm đã cho là hàm căn bậc 3 của u, học sinh có thể thuộc công thức và áp dụng ngay, hoặc tự tính đạo hàm dựa trên nguyên tắc đưa căn thức về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ \(\sqrt[3]{u}=u^{\frac13}\).

Lời giải chi tiết:

a. Đặt \(u = 2x^2 + 5\), suy ra \(u' = 4x\). Áp dụng công thức mở rộng cho đạo hàm căn ở mẫu số:\[\begin{aligned} y' &= 5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u}}\right)' \\ &= 5 \cdot \left(-\frac{u'}{2u\sqrt{u}}\right) \\ &= 5 \cdot \left(-\frac{4x}{2(2x^2 + 5)\sqrt{2x^2 + 5}}\right) \end{aligned}\]\[y' = -\frac{20x}{2(2x^2 + 5)\sqrt{2x^2 + 5}} = -\frac{10x}{(2x^2 + 5)\sqrt{2x^2 + 5}}\]

b. Đặt \(u = 5x^3 - 2x + 1\), suy ra \(u' = 15x^2 - 2\). Áp dụng công thức đạo hàm căn bậc ba cho hàm hợp:\[y' = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}} = \frac{15x^2 - 2}{3\sqrt[3]{(5x^3 - 2x + 1)^2}}\]

Biểu thức đạo hàm này áp dụng tại các điểm \(5x^3-2x+1\ne0\).

Bài tập 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. \(\sqrt[2x+1]{3}\)

b. \(\sqrt[x^2-3x+1]{e}\)

Phân tích đề bài: Ở cả phần a và phần b, hàm số đều ở dạng \(\sqrt[u]{a}\) với a là hằng số. Như vậy, bên cạnh việc thuộc và áp dụng công thức đạo hàm tương ứng, học sinh cũng có thể tự triển khai tính đạo hàm qua phép quy đổi \(\sqrt[u]{a}=a^{\frac{1}{u}}\) và áp dụng đạo hàm của hàm số mũ cơ số a. Hai biểu thức có bậc căn phụ thuộc vào \(x\) được hiểu theo lũy thừa với số mũ biến thiên; loại trừ những giá trị khiến mẫu của số mũ bằng 0.

Lời giải chi tiết:

a. Đặt \(u=2x+1\), suy ra \(u^{\prime}=2\). Áp dụng công thức mở rộng cho đạo hàm căn bậc chứa biến x của một cơ số:\[\begin{aligned} y^{\prime} &= -\sqrt[u]{a}\cdot\frac{\ln a\cdot u^{\prime}}{u^2} \\ &= -\sqrt[2x+1]{3}\cdot\frac{2\ln3}{\left(2x+1\right)^2} \end{aligned}\]

b. Đặt \(u=x^2-3x+1\), suy ra \(u^{\prime}=2x-3\). Áp dụng công thức mở rộng cho đạo hàm của hàm căn bậc u của một cơ số:\[\begin{aligned} y^{\prime} &= -\sqrt[u]{a}\cdot\frac{\ln a\cdot u^{\prime}}{u^2} \\ &= -\sqrt[x^2-3x+1]{e}\cdot\frac{2x-3}{\left(x^2-3x+1\right)^2} \end{aligned}\]

Bài tập 5: Tính đạo hàm của các hàm số dưới đây và từ đó tìm giá trị lớn nhất của chúng Các ký hiệu căn có bậc biến thiên trong bài được hiểu theo định nghĩa lũy thừa, với cơ số dương.

a. \(y=\sqrt[x]{x}\) với \(x>0\)

b. \(y=\sqrt[\frac{1}{x}]{\frac{1}{x}}\) với \(x>0\)

Phân tích đề bài: Với dạng hàm số \(\sqrt[u]{v}\) ở bài toán này, mấu chốt cần nắm được là biến đổi \(v=e^{\ln v}\). Từ đó viết lại \(\sqrt[u]{v}=e^{\frac{\ln v}{u}}\) và triển khai tính đạo hàm của hàm \(e^{f\left(x\right)}\) bình thường.

Lời giải chi tiết:

a. Biến đổi \(\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}\) và thay biến x ở cơ số bởi \(e^{\ln x}\) thu được: \(\sqrt[x]{x}=e^{\frac{\ln x}{x}}\). Khi đó đạo hàm của hàm số là:

\(y^{\prime}=\left(e^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=e^{\frac{\ln x}{x}}\cdot\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}\)

\(y^{\prime}=\sqrt[x]{x}\cdot\frac{\left(\ln x\right)^{\prime}\cdot x-x^{\prime}\cdot\ln x}{x^2}\)

\(y^{\prime}=\sqrt[x]{x}\cdot\frac{\frac{1}{x}\cdot x-1\cdot\ln x}{x^2}=\sqrt[x]{x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}\)

Nhận thấy \(\sqrt[x]{x}>0\) và \(x^2>0\). Vậy với \(\ln x<1\) hay \(x<e\) thì đạo hàm \(\sqrt[x]{x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}\) dương và hàm số tăng trên \(\left(0,e\right)\).

Ngược lại, với \(\ln x>1\) hay \(x>e\) thì đạo hàm \(\sqrt[x]{x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^2}\) âm và hàm số giảm trên \(\left(e,+\infty\right)\).

Vậy với mọi x > 0, bất kể x lớn hơn e hay nhỏ hơn e thì \(\sqrt[x]{x}\le\sqrt[e]{e}\). Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt[e]{e}\) tại \(x=e\).

b. Biến đổi \(\sqrt[\frac{1}{x}]{\frac{1}{x}}=\left(\frac{1}{x}\right)^{x}\) và thay biến \(\frac{1}{x}\) ở cơ số bởi \(e^{-\ln x}\) thu được: \(\sqrt[\frac{1}{x}]{\frac{1}{x}}=e^{-x\ln x}\). Khi đó đạo hàm của hàm số là:

\(y^{\prime}=\left(e^{-x\ln x}\right)^{\prime}=e^{-x\ln x}\cdot\left(-x\ln x\right)^{\prime}\)

\(y^{\prime}=-\frac{1}{x^{x}}\cdot\left(x\ln x\right)^{\prime}\)

\(y^{\prime}=-\frac{1}{x^{x}}\left(x^{\prime}\cdot\ln x+x\cdot(\ln x)^{\prime}\right)=-\frac{1}{x^{x}}\left(\ln x+1\right)\)

Nhận thấy \(\frac{1}{x^{x}}>0\). Nếu \(\ln x<-1\) tức \(x<\frac{1}{e}\) thì đạo hàm \(-\frac{1}{x^{x}}\left(\ln x+1\right)>0\). Do đó hàm số tăng trên \(\left(0,\frac{1}{e}\right)\).

Ngược lại, với \(\ln x>-1\) hay \(x>\frac{1}{e}\) thì đạo hàm \(-\frac{1}{x^{x}}\left(\ln x+1\right)<0\). Do đó hàm số giảm trên \(\left(\frac{1}{e},+\infty\right)\).

Vậy với mọi x > 0 thì \(\sqrt[\frac{1}{x}]{\frac{1}{x}}\le\sqrt[e]{e}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(\sqrt[\frac{1}{x}]{\frac{1}{x}}\) là \(\sqrt[e]{e}\) tại \(x=\frac{1}{e}\).

Bài viết đã tổng hợp các công thức đạo hàm căn từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm đạo hàm căn x, đạo hàm căn u, đạo hàm căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc n và đạo hàm của phân thức chứa căn. Thông qua các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải, học sinh có thể nắm vững cách tính đạo hàm căn thức, vận dụng quy tắc hàm hợp và xử lý các dạng toán chứa căn. Để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải bài tập, học sinh có thể tham khảo thêm chương trình Toán 11 tại ZIM Academy nhằm hệ thống hóa kiến thức đạo hàm và các chuyên đề liên quan.