Hai đường tròn tiếp xúc nhau | Điều kiện và cách chứng minh

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi có đúng một điểm chung, gọi là tiếp điểm. Thuộc nội dung vị trí tương đối của hai đường tròn trong Toán 9 Kết nối tri thức, bài học giúp học sinh phân biệt tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, nắm điều kiện tiếp xúc theo khoảng cách hai tâm và bán kính, đồng thời vận dụng để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau là gì?

Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi có đúng một điểm chung, gọi là tiếp điểm. Có hai trường hợp: tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong. Nội dung này thuộc Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn, Toán 9 tập một, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống. [1]

Người học cần lưu ý có hai trường hợp của hai đường tròn tiếp xúc nhau: hai đường tròn tiếp xúc ngoài và hai đường tròn tiếp xúc trong. [1]

Có thể phân biệt hai trường hợp qua vị trí của các điểm còn lại trên mỗi đường tròn:

• Nếu các điểm còn lại của đường tròn này nằm ngoài đường tròn kia thì hai đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau.

• Nếu các điểm còn lại của một đường tròn nằm trong đường tròn kia thì hai đường tròn này tiếp xúc trong với nhau.

Trong các bài toán hình học, việc xác định đúng hai đường tròn đang tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài đóng vai trò quan trọng trong việc vẽ hình một cách chính xác, trước khi vẽ thêm các yếu tố khác. Do đó, người học cần lưu ý dấu hiệu nhận biết bằng hình học của hai trường hợp trên.

Tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau

Tính chất của tiếp điểm hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau tại A thì A và hai tâm thẳng hàng. Khi tiếp xúc ngoài, A nằm giữa hai tâm. Khi tiếp xúc trong, A nằm trên đường nối tâm nhưng ngoài đoạn nối hai tâm. [1]

Ta có thể chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Nếu điểm A không thuộc đường thẳng \(O_1O_2\), ta hoàn toàn có thể lấy điểm A’ đối xứng với A qua \(O_1O_2\). Khi đó \(A'O_1 = R_1\) và \(A'O_2 = R_2\), dẫn đến A’ cũng là điểm chung của hai đường tròn \((O_1; R_1)\) và \(\left(O_2;R_2\right)\). Vì A không nằm trên trục đối xứng nên A′ khác A. Hai đường tròn có thêm điểm chung A′, trái với giả thiết chỉ có một điểm chung. Vậy A nằm trên đường nối hai tâm.

Tiếp tuyến chung tại tiếp điểm: đường thẳng qua A và vuông góc với đường nối hai tâm cũng vuông góc với cả hai bán kính đi qua A, nên là tiếp tuyến của cả hai đường tròn tại A.

Điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc nhau

Với hai đường tròn \((O_1;R_1)\) và \((O_2;R_2)\), đặt \(d=O_1O_2\), với \(R_1,R_2>0\). Điều kiện tiếp xúc được xác định từ khoảng cách hai tâm và hai bán kính:

Nếu quy ước \(R_1>R_2\), điều kiện tiếp xúc trong được viết \(d=R_1-R_2\). Khi \(d=0\) và \(R_1=R_2\), hai đường tròn trùng nhau, có vô số điểm chung, không phải tiếp xúc. [1]

Khi tiếp xúc ngoài, \(O_1O_2=O_1A+AO_2\). Khi tiếp xúc trong và \(R_1>R_2\), \(O_1O_2=O_1A-O_2A\). Các hệ thức này giúp nhận biết trường hợp tiếp xúc từ dữ kiện độ dài.

Ví dụ: Cho hai đường tròn (O; 5 cm) và (O′; 3 cm), với OO′ = 8 cm. Vì \(OO'=8=5+3\) nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Nếu OO′ = 2 cm thì \(OO'=5-3\), hai đường tròn tiếp xúc trong.

Học sinh có thể đối chiếu với trường hợp hai đường tròn cắt nhau để phân biệt một điểm chung với hai điểm chung.

Cách chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau

Có thể lựa chọn một trong hai hướng sau, tùy dữ kiện của bài toán:

1. Dùng hệ thức khoảng cách: xác định hai bán kính và khoảng cách hai tâm. Chứng minh \(d=R_1+R_2\) để kết luận tiếp xúc ngoài, hoặc \(d=|R_1-R_2|>0\) để kết luận tiếp xúc trong.

2. Chứng minh có duy nhất một điểm chung: chỉ ra A thuộc cả hai đường tròn, sau đó chứng minh không tồn tại điểm chung thứ hai. Có thể dùng các hệ thức độ dài để đưa về trường hợp thứ nhất.

Lưu ý: A và hai tâm thẳng hàng chưa đủ để kết luận hai đường tròn tiếp xúc; phải biết A thuộc cả hai đường tròn và hai đường tròn không trùng nhau. Không thể chỉ dựa vào hình vẽ để kết luận tiếp xúc.

Ví dụ chứng minh: Cho các điểm I, A, J thẳng hàng theo thứ tự đó, IA = 6 cm và AJ = 4 cm. Xét hai đường tròn (I; 6 cm) và (J; 4 cm). Vì \(IJ=IA+AJ=10\ \text{cm}\) bằng tổng hai bán kính nên chúng tiếp xúc ngoài tại A.

Bài tập hai đường tròn tiếp xúc nhau lớp 9 có lời giải

Nhận biết tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong

Đây là dạng toán cơ bản nhất, giúp người học bước đầu xác định vị trí tương đối của hai đường tròn và biết được cách vẽ hai đường tròn đó trong bài làm của mình. Người học có thể căn cứ vào dấu hiệu nhận biết hai đường tròn tiếp xúc được nêu ở trên để xác định vị trí tương đối của chúng.

Bài tập: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có khoảng cách giữa hai tâm là d = OO’. Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau:

a) R = 8 cm, r = 5 cm và d = 13 cm.

b) R = 12 cm, r = 4 cm và d = 8 cm.

Hướng dẫn giải: Đề bài đã cho hai bán kính và khoảng cách hai tâm. So sánh d với tổng hoặc hiệu hai bán kính để xác định trường hợp tiếp xúc.

1. Ta có d = 13 = 8 + 5 = R + r. Do đó, hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau.

2. Ta có d = 8 = 12 - 4 = R - r. Do đó, hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc trong với nhau.

Tính độ dài và chứng minh tính chất hình học

Dạng bài này kết hợp tính chất tiếp điểm, tiếp tuyến và các hệ thức trong tam giác vuông. Học sinh cần xác định các bán kính vuông góc với tiếp tuyến, sau đó vẽ thêm đường phụ thích hợp để tính độ dài hoặc chứng minh quan hệ hình học.

Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 8 cm) và (O'; 4 cm) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn (với \(B \in (O)\) và \(C \in (O')\)). Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải: Bài toán đã cho độ dài bán kính của hai đường tròn tiếp xúc nhau (O) và (O’). Dựa vào đó, người học có thể vẽ thêm hình nhằm tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau, sau đó áp dụng định lý quen thuộc như định lý Pytago để tính.

Do hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nên:

\[OO' = R + r = 8 + 4 = 12\]

Kẻ thêm O’H vuông góc với OB.

Khi đó tứ giác O’HBC có 3 góc vuông tại H, B, C nên O’HBC là hình chữ nhật, dẫn đến O’H = BC. Lại có:

\[OH = OB - BH = OB - O'C = 8 - 4 = 4\]

Như vậy ta đã tạo ra cạnh O’H bằng cạnh BC cần tính, đồng thời biết được độ dài cạnh OH. Nhận thấy tam giác OO’H vuông tại H nên áp dụng định lý Pytago ta có:

\[O'H^2 = OO'^2 - OH^2\]

\[\Rightarrow O'H^2 = 12^2 - 4^2 = 128\]

\[\Rightarrow O'H = 8\sqrt{2} = BC\]

Vậy cạnh BC có chiều dài là \(8\sqrt{2}\). Đơn vị độ dài là cm.

Kết quả tổng quát: Cho hai đường tròn (O; R), (O′; r) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài không đi qua A tiếp xúc với hai đường tròn lần lượt tại B và C. Khi đó \(BC=2\sqrt{Rr}\). Có thể đổi tên hai đường tròn để quy ước R ≥ r.

Hướng dẫn giải:

Nếu R > r, dựng O′H vuông góc với OB tại H. Tứ giác O′HBC là hình chữ nhật, suy ra O′H = BC và BH = O′C. Khi đó:

• \(OO' = R + r\)

• \(O'H = BC\)

• \(OH = OB - BH = OB - O'C = R - r\)

Khi đó, áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OO’H ta có:

\[O'H^2 = OO'^2 - OH^2\]

\[\Rightarrow O'H^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2 = 4.Rr\]

\[\Rightarrow O'H = 2\sqrt{Rr} = BC\]

Vậy ta có chiều dài BC bằng \(2\sqrt{Rr}\).

Nếu R = r, tứ giác OO′CB là hình chữ nhật nên \(BC=OO'=2R=2\sqrt{Rr}\). Như vậy công thức vẫn đúng; không áp dụng định lí Pythagore cho tam giác suy biến khi H trùng O.

Bài 2: Hai đường tròn (O; 9 cm) và (O′; 4 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với hai đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở M. Chứng minh OM vuông góc với O′M, rồi tính AM, OM và O′M.

Hướng dẫn giải: Ta có MA = MB và MA = MC, nên MB = MC. Vì B, M, C thẳng hàng và B khác C, M là trung điểm BC; do đó MB và MC là hai tia đối nhau. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của góc BMA, còn O′M là tia phân giác của góc AMC. Hai góc này bù nhau nên \(\widehat{OMO'}=\frac12\left(\widehat{BMA}+\widehat{AMC}\right)=90^\circ\).

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên \(OO'=9+4=13\ \text{cm}\). Đặt AM = x (cm), x > 0. Các tam giác OAM và O′AM vuông tại A cho:

\(OM^2=OA^2+AM^2=81+x^2\).

\(O'M^2=O'A^2+AM^2=16+x^2\).

Vì tam giác OMO′ vuông tại M, áp dụng định lí Pythagore:

\((81+x^2)+(16+x^2)=13^2\).

\(2x^2=72\ \Rightarrow\ x=6\).

Suy ra \(AM=6\ \text{cm}\), \(OM=\sqrt{81+36}=3\sqrt{13}\ \text{cm}\) và \(O'M=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\ \text{cm}\).

Hai đường tròn tiếp xúc nhau có đúng một điểm chung, gọi là tiếp điểm. Với hai bán kính \(R,r>0\) và khoảng cách hai tâm \(d\), điều kiện tiếp xúc ngoài là \(d=R+r\); tiếp xúc trong là \(d=|R-r|>0\). Tiếp điểm luôn thẳng hàng với hai tâm. Nắm vững các điều kiện này giúp học sinh nhận biết và chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Học sinh có thể ôn tập các chuyên đề Toán 9 theo bộ sách Kết nối tri thức để củng cố kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến và luyện tập chứng minh hình học.