Hỗn số là gì? Cách đổi hỗn số ra phân số và bài tập

Hỗn số là số gồm hai thành phần: phần nguyên và phần phân số, thường dùng để biểu diễn các số lớn hơn 1 nhưng không phải số tự nhiên. Trong chương trình Toán lớp 5, học sinh cần nắm vững khái niệm hỗn số là gì, cách đọc, cách viết hỗn số và cách đổi hỗn số ra phân số.

Bài viết hướng dẫn công thức chuyển hỗn số thành phân số và ngược lại, cách tính cộng, trừ, nhân, chia hỗn số, cách so sánh cùng các ví dụ và bài tập có lời giải.

Hỗn số là gì? Cấu tạo và cách viết hỗn số

Hỗn số là số gồm hai thành phần: phần nguyên và phần phân số. Phần phân số của hỗn số phải bé hơn 1 (tử số nhỏ hơn mẫu số) và có thể rút gọn về phân số tối giản khi cần. [1]

Ví dụ, hỗn số “hai và ba phần tư” được viết là \(2\frac{3}{4}\). Trong đó, số 2 đứng phía trước là phần nguyên, còn phân số \(\frac{3}{4}\) là phần phân số. Về bản chất giá trị, hỗn số này có thể được hiểu là tổng của phần nguyên và phần phân số: \(2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}\)

Khi quan sát một hỗn số, học sinh cần nhận diện ba thành phần quan trọng bao gồm: phần nguyên nằm ở phía trước, tử số và mẫu số của phần phân số nằm ở phía sau. Cách đọc hỗn số theo thứ tự: đọc phần nguyên trước, tiếp theo đọc từ "và", và sau đó đọc phần phân số tương ứng. Ví dụ, biểu thức \(2\frac{3}{4}\) được đọc là "hai và ba phần tư". [1]

Cách viết hỗn số có thể xuất phát từ cách đọc bằng chữ hoặc từ các hình ảnh trực quan trong thực tế, nơi có một số đơn vị nguyên vẹn đi kèm với một phần của đơn vị còn lại.

Chẳng hạn, hình ảnh biểu diễn 3 giỏ trứng đầy (mỗi giỏ có 5 quả) và một giỏ có 2 quả trên tổng 5 quả sẽ được viết thành hỗn số: \(3\frac25\). Điều này mang ý nghĩa trực quan rõ ràng: số lượng thực tế gồm ba đơn vị nguyên vẹn và thêm hai phần năm đơn vị nữa.

Cách đổi hỗn số ra phân số

Khi nhắc đến cách đổi hỗn số ra phân số hay cách chuyển hỗn số thành phân số, học sinh cần nắm vững quy tắc chuẩn mực: lấy phần nguyên nhân với mẫu số rồi cộng tử số; tổng này trở thành tử số mới và giữ nguyên mẫu số cũ. [1]

Quy trình thực hiện gồm ba bước cụ thể sau đây:

• Bước 1: Xác định chính xác các thành phần gồm phần nguyên, tử số và mẫu số của phân số đi kèm.

• Bước 2: Thực hiện phép tính nhân phần nguyên với mẫu số, sau đó cộng thêm tử số để tìm ra tử số mới.

• Bước 3: Giữ nguyên mẫu số của phần phân số ban đầu để tạo thành phân số kết quả. Lưu ý rằng nếu phần phân số ban đầu chưa tối giản, có thể tiếp tục rút gọn phân số sau khi đổi.

Công thức đổi hỗn số ra phân số áp dụng với hỗn số dương dạng \(a\frac{b}{c}\) được biểu diễn bằng biểu thức toán học sau:

\[a\frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c}\]

Bản chất của công thức này xuất phát từ phép biến đổi tổng của số tự nhiên và phân số. Cụ thể, xét phép tính tổng \(a + \frac{b}{c}\), để cộng một số tự nhiên với một phân số, học sinh quy đồng mẫu số của số tự nhiên a với mẫu số c như sau:

\[a + \frac{b}{c} = \frac{a \times c}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a \times c + b}{c}\]

Cách biến đổi này giúp học sinh hiểu và ghi nhớ công thức thay vì chỉ ghi nhớ từng thao tác.

Xét ví dụ cụ thể với hỗn số \(3\frac{2}{5}\): Quy đổi hỗn số này thành phân số như sau:

\[3\frac{2}{5} = \frac{3 \times 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}\]

Xét thêm một ví dụ khác có phần nguyên lớn hơn để ôn lại phép tính nhân: Đổi hỗn số \(7\frac{4}{9}\) thành phân số như sau:

\[7\frac{4}{9} = \frac{7 \times 9 + 4}{9} = \frac{63 + 4}{9} = \frac{67}{9}\]

Để kiểm tra lại tính chính xác của kết quả, học sinh thực hiện lại phép chia có dư của tử số của phân số mới thu được cho mẫu số, xem thương và số dư của phép chia này có khớp với phần nguyên và tử số của hỗn số ban đầu không.

Một số lỗi thường gặp khi đổi hỗn số ra phân số gồm: cộng trực tiếp phần nguyên với tử số mà quên phép nhân với mẫu số; tự ý thay đổi mẫu số của phân số kết quả; hoặc bỏ quên mẫu số ban đầu.

Cách chuyển phân số thành hỗn số

Để chuyển phân số lớn hơn 1 thành hỗn số, học sinh chia tử số cho mẫu số và xác định thương, số dư. Nếu phép chia hết, kết quả là số tự nhiên. [1]

Cụ thể, thực hiện phép chia tử số cho mẫu số như sau:

• Thương số của phép chia chính là phần nguyên của hỗn số

• Số dư của phép chia trở thành tử số mới của phần phân số.

• Mẫu số của phân số ban đầu được giữ nguyên làm mẫu số của phần phân số.

Phân số lớn hơn 1 có thể viết thành hỗn số khi tử số không chia hết cho mẫu số. Đồng thời, trong phép chia có dư, số dư luôn nhỏ hơn mẫu số. Chính nhờ điều kiện này mà phần phân số trong hỗn số thu được luôn luôn nhỏ hơn đơn vị (nhỏ hơn 1).

Xét ví dụ chuyển phân số \(\frac{11}{4}\) thành hỗn số: Thực hiện phép tính chia số tự nhiên 11 cho 4, ta có \(11\div4=2\) dư 3. Do đó, thương bằng 2, số dư bằng 3, giữ nguyên mẫu số 4, thu được kết quả:

\[\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}\]

Xét trường hợp đặc biệt với phân số mà tử số chia hết cho mẫu số, chẳng hạn phân số \(\frac{15}{3}\): Thực hiện phép chia \(15\div3=5\) không dư. Trong trường hợp này, kết quả là một số tự nhiên nguyên vẹn 5, không cần phải viết dưới dạng hỗn số.

Cần phân biệt hai chiều chuyển đổi:

• Chiều từ hỗn số sang phân số: Thực hiện phép nhân phần nguyên với mẫu số rồi cộng tử số, giữ nguyên mẫu số.

• Chiều từ phân số sang hỗn số: Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số để lấy thương làm phần nguyên và số dư làm tử số mới.

Cách kiểm tra kết quả vừa đổi: Đổi ngược hỗn số vừa tìm được trở lại thành phân số ban đầu để đối chiếu tính đúng đắn.

Cách tính hỗn số: Cộng, trừ, nhân và chia

Cách cộng hỗn số

Phương pháp phổ biến và an toàn nhất để thực hiện phép cộng các hỗn số là chuyển toàn bộ các hỗn số có mặt trong biểu thức thành các phân số tương ứng, sau đó thực hiện phép cộng phân số theo quy tắc thông thường.

Nếu các phân số có mẫu số khác nhau, học sinh quy đồng mẫu số trước khi cộng. Cuối cùng, thực hiện rút gọn kết quả nếu có thể và chuyển đổi phân số lớn hơn 1 về dạng hỗn số nếu như đề bài yêu cầu.

Ví dụ minh họa: Phép cộng hai hỗn số \(1\frac{1}{2}\) và \(2\frac{1}{3}\)

• Bước 1: Đổi từng hỗn số thành phân số: \(1\frac{1}{2}=\frac{1 \times2 + 1}{2}=\frac{3}{2}\) và \(2\frac{1}{3}=\frac{2 \times3 + 1}{3}=\frac{7}{3}\)

• Bước 2: Quy đồng mẫu số chung là 6: \(\frac{3}{2}=\frac{9}{6}\) và \(\frac{7}{3}=\frac{14}{6}\)

• Bước 3: Thực hiện phép cộng hai phân số cùng mẫu: \(\frac{9}{6} + \frac{14}{6} = \frac{23}{6}\)

• Bước 4: Rút gọn phân số nếu cần. Trong ví dụ này, phân số đã tối giản. Nếu như đề bài yêu cầu để kết quả ở dạng hỗn số, học sinh chuyển phân số kết quả về hỗn số: \(\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}\)

Cách trừ hỗn số

Quy trình thực hiện phép trừ hoàn toàn tương tự phép cộng: chuyển đổi các hỗn số thành phân số, thực hiện quy đồng mẫu số nếu các phân số khác mẫu, sau đó thực hiện phép trừ tử số cho tử số và giữ nguyên mẫu số chung. Rút gọn kết quả và viết lại dưới dạng hỗn số nếu đề bài yêu cầu.

Ví dụ minh họa: Lấy hỗn số \(3\frac35\) trừ đi \(1\frac{1}{2}\)

• Bước 1: Đổi từng hỗn số thành phân số: \(3\frac35=\frac{3\times5+3}{5}=\frac{18}{5}\) và \(1\frac{1}{2}=\frac{1 \times2 + 1}{2}=\frac{3}{2}\)

• Bước 2: Quy đồng mẫu số chung là 10: \(\frac{18}{5}=\frac{36}{10}\) và \(\frac32=\frac{15}{10}\)

• Bước 3: Thực hiện phép trừ hai phân số cùng mẫu: \(\frac{36}{10}-\frac{15}{10}=\frac{21}{10}\)

• Bước 4: Rút gọn phân số nếu cần. Trong ví dụ này, phân số đã tối giản. Nếu như đề bài yêu cầu để kết quả ở dạng hỗn số, học sinh chuyển phân số kết quả về hỗn số: \(\frac{21}{10}=2\frac{1}{10}\)

Cách nhân hỗn số

Khi thực hiện phép nhân các hỗn số với nhau, cách thuận tiện là chuyển từng hỗn số thành phân số trước khi nhân. Sau đó, thực hiện nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số. Trong quá trình nhân, có thể rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu trước khi nhân để tính nhanh, chính xác. Cuối cùng, đổi phân số thu được về dạng hỗn số nếu đề bài yêu cầu.

Ví dụ minh họa: Nhân 2 hỗn số \(3\frac15\) và \(1\frac23\)

• Bước 1: Đổi từng hỗn số thành phân số: \(3\frac15=\frac{3\times5+1}{5}=\frac{16}{5}\) và \(1\frac23=\frac{1\times3+2}{3}=\frac53\)

• Bước 2: Nhân 2 phân số với nhau, tử nhân với tử, mẫu nhân với mẫu: \(\frac{16}{5}\times\frac53=\frac{80}{15}\)

• Bước 3: Thực hiện tối giản phân số

  \[\frac{80}{15}=\frac{16\times5}{3\times5}=\frac{16}{3}\]

  Nếu như đề bài yêu cầu để kết quả ở dạng hỗn số, học sinh chuyển phân số kết quả về hỗn số: \(\frac{16}{3}=5\frac13\).

Cách chia hỗn số

Phép chia hỗn số được thực hiện qua các bước: chuyển tất cả hỗn số thành phân số, giữ nguyên phân số thứ nhất và nhân với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai. Rút gọn phân số kết quả và đổi về dạng hỗn số nếu đề bài yêu cầu.

Quy trình chung cho học sinh áp dụng: Đổi hỗn số về phân số, thực hiện phép tính phân số theo đúng quy tắc từng phép tính, rút gọn kết quả và biến đổi kết quả thành hỗn số nếu đề bài yêu cầu.

Ví dụ minh họa: Chia hỗn số \(3\frac15\) cho \(1\frac13\)

• Bước 1: Đổi từng hỗn số thành phân số: \(3\frac15=\frac{3\times5+1}{5}=\frac{16}{5}\) và \(1\frac13=\frac{1\times3+1}{3}=\frac43\)

• Bước 2: Thực hiện chia phân số bằng cách nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia:

  \[\frac{16}{5}\div\frac43=\frac{16}{5}\times\frac34=\frac{48}{20}\]

• Bước 3: Thực hiện tối giản phân số

  \[\frac{48}{20}=\frac{12\times4}{5\times4}=\frac{12}{5}\]

  Nếu như đề bài yêu cầu để kết quả ở dạng hỗn số, học sinh chuyển phân số kết quả về hỗn số: \(\frac{12}{5}=2\frac25\).

Khi thực hiện các phép tính với hỗn số, học sinh có thể chuyển hỗn số thành phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia. Các bài tập về phân số giúp củng cố kỹ năng quy đồng, rút gọn và tính toán.

Cách so sánh hỗn số và sử dụng máy tính cầm tay

Cách so sánh hai hỗn số

Để so sánh hai hỗn số dương, học sinh có thể áp dụng hai phương pháp chính:

• Phương pháp so sánh phần nguyên và phần phân số: So sánh phần nguyên của hai hỗn số trước tiên. Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn. Nếu hai phần nguyên bằng nhau, tiếp tục tiến hành so sánh hai phần phân số của chúng. Hỗn số nào có phần phân số lớn hơn thì lớn hơn.

• Phương pháp đổi ra phân số: Chuyển cả hai hỗn số thành phân số tương ứng, sau đó quy đồng mẫu số và so sánh các phân số như thông thường.

Ví dụ minh họa: Sắp xếp 3 hỗn số sau theo thứ tăng dần:\(3\frac12\) ,\(2\frac13\), \(3\frac23\).

• Cách 1: So sánh phần nguyên trước, nhận thấy \(2\frac13<3\frac12\) và \(2\frac13<3\frac23\) vì phần nguyên \(2<3\). Tiếp tục so sánh \(3\frac12\) và \(3\frac23\) thì nhận thấy rằng phần nguyên của chúng giống nhau, phần phân số \(\frac12<\frac23\) nên \(3\frac12<3\frac23\). Vậy 3 hỗn số trên theo thứ tự tăng dần là: \(2\frac13<3\frac12<3\frac23\).

• Cách 2: Quy đổi các hỗn số trên thành phân số: \(3\frac12=\frac72\), \(2\frac13=\frac73\), \(3\frac23=\frac{11}{3}\). Vì \(2<3\) nên \(\frac73<\frac72\). Ngoài ra vì \(7\times3<11\times2\) (\(21<22\)) nên \(\frac72<\frac{11}{3}\). Vậy \(\frac73<\frac72<\frac{11}{3}\) hay \(2\frac13<3\frac12<3\frac23\).

Cách nhập, tính toán và kiểm tra trên máy tính cầm tay

Một số dòng máy tính cầm tay có thể hỗ trợ học sinh tính toán, đổi hỗn số hoặc kiểm tra kết quả giữa hỗn số và phân số. Tuy nhiên, thao tác nhập phím cụ thể phụ thuộc vào từng dòng máy.

Hình dưới minh họa thao tác nhập và kiểm tra hỗn số trên máy tính cầm tay; tổ hợp phím có thể khác nhau giữa các dòng máy:

Học sinh cần lưu ý rằng việc nắm vững quy tắc đổi hỗn số ra phân số thủ công vẫn là yêu cầu cần, vì bài tập tự luận thường yêu cầu trình bày các bước đổi và tính toán. Máy tính có thể dùng để kiểm tra kết quả sau khi học sinh đã nắm vững cách làm thủ công.

Bài tập về hỗn số lớp 5 có lời giải

Các dạng bài dưới đây giúp học sinh luyện cách đọc, viết, đổi và tính hỗn số trong chương trình Toán 5 tại ZIM Academy.

Dạng 1: Nhận biết, đọc và viết hỗn số

Bài tập 1: Viết hỗn số thích hợp với mỗi hình minh họa sau:

Lời giải:

Hình 1: Hình gồm 2 chiếc bánh nguyên vẹn và 1 chiếc bánh chỉ còn 1 nửa. Vậy phần nguyên là 2 và phần phân số là \(\frac12\). Hỗn số thể hiện số bánh là \(2\frac12\).

Hình 2: Có 3 đơn vị nguyên và thêm 2 trong 6 phần bằng nhau ở đơn vị tiếp theo. Vậy phần nguyên là 3 và phần phân số là \(\frac26=\frac13\) (rút gọn phân số). Hỗn số biểu diễn số giỏ trứng là \(3\frac13\).

Hình 3: Hình gồm 1 bình nước đầy và 1 bình nước chỉ chứa \(\frac13\) bình. Vậy phần nguyên là 1 và phần phân số là \(\frac13\). Hỗn số phù hợp là \(1\frac13\).

Bài tập 2: Hãy chỉ rõ đâu là phần nguyên và đâu là phần phân số của các hỗn số sau:

a. \(3\frac25\)
b.\(1\frac27\)

c.\(4\frac15\)

Lời giải:

a. Phần nguyên là 3, phần phân số là \(\frac25\).

b. Phần nguyên là 1, phần phân số là \(\frac27\).

c. Phần nguyên là 4, phần phân số là \(\frac15\).

Dạng 2: Đổi hỗn số ra phân số

Bài tập 3: Chuyển các hỗn số sau thành phân số:

a. \(2\frac{1}{4}\)

b. \(6\frac{3}{8}\).

Lời giải:

a.

\[2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}\]

b.

\[6\frac{3}{8} = \frac{6 \times 8 + 3}{8} = \frac{51}{8}\]

Dạng 3: Chuyển phân số thành hỗn số

Bài tập 4: Chuyển các phân số sau thành hỗn số:

a. \(\frac{19}{5}\)

b. \(\frac{33}{7}\)

Lời giải:

a. Thực hiện phép chia \(19\div5=3\) dư 4. Giữ nguyên mẫu số 5, lấy thương làm phần nguyên và số dư làm tử số, thu được kết quả:

\[\frac{19}{5}=3\frac45\]

b. Thực hiện phép chia \(33\div7=4\) dư 5. Giữ nguyên mẫu số 7, lấy thương làm phần nguyên và số dư làm tử số, thu được kết quả:

\[\frac{33}{7}=4\frac57\]

Dạng 4: Thực hiện phép tính với hỗn số

Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức: \(1\frac{1}{2} + 2\frac{3}{4}\). Biểu diễn kết quả dưới dạng hỗn số.

Lời giải:

Quy đổi ra phân số: \(1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\); \(2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}\).

Quy đồng mẫu số về số 4 rồi thực hiện phép cộng phân số: \(\frac32=\frac{3\times2}{2\times2}=\frac64\).

Tính tổng 2 phân số: \(\frac64+\frac{11}{4}=\frac{17}{4}\)

Thực hiện biến đổi phân số thành hỗn số: Lấy \(17\div4=4\) dư 1. Giữ nguyên mẫu số 4, lấy thương làm phần nguyên và số dư làm tử số, thu được kết quả:

\[\frac{17}{4}=4\frac14\]

Đáp số: \(4\frac14\).

Dạng 5: So sánh và sắp xếp

Bài tập 6: Sắp xếp các hỗn số sau theo thứ tự giảm dần:

\[3\frac{10}{21},3\frac59,2\frac{7}{18},2\frac{4}{13}\]

.

Lời giải:

So sánh phần nguyên trước: vì \(3>2\) nên \(3\frac{10}{21}\) và \(3\frac59\) chắc chắn lớn hơn \(2\frac{7}{18}\) và \(2\frac{4}{13}\).

So sánh phần phân số:

• Vì \(21>20\) nên \(\frac{10}{21}<\frac{10}{20}=\frac12\). Vì \(9<10\) nên \(\frac59>\frac{5}{10}=\frac12\). Do đó \(\frac59>\frac12>\frac{10}{21}\). Vậy \(3\frac59>3\frac{10}{21}\).

• Vì \(7>6\) nên \(\frac{7}{18}>\frac{6}{18}=\frac13\). Vì \(13>12\) nên \(\frac{4}{13}<\frac{4}{12}=\frac13\). Do đó \(\frac{7}{18}>\frac13>\frac{4}{13}\). Vậy \(2\frac{7}{18}>2\frac{4}{13}\).

Vậy các hỗn số đã cho sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:

\[3\frac59,3\frac{10}{21},2\frac{7}{18},2\frac{4}{13}\]

.

Dạng 6: Bài toán thực tế

Bài tập 7: Một tấm vải dài \(5\frac{1}{2}\) mét, người thợ cắt đi \(2\frac{1}{4}\) mét để may áo. Hỏi tấm vải còn lại dài bao nhiêu mét (biểu diễn dưới dạng hỗn số)?

Lời giải:

Độ dài đoạn vải còn lại là phép trừ hai hỗn số: \(5\frac12-2\frac14\).

Biến đổi hỗn số thành phân số:

\[5\frac12=\frac{5\times2+1}{2}=\frac{11}{2},2\frac14=\frac{2\times4+1}{4}=\frac94\]

.

Quy đồng mẫu số về số 4 rồi thực hiện phép trừ:

\[\frac{11}{2}=\frac{11\times2}{2\times2}=\frac{22}{4}\]

.

Do đó độ dài vải còn lại là \(\frac{22}{4}-\frac94=\frac{13}{4}\) (mét).

Thực hiện quy đổi từ phân số sang hỗn số: Xét phép chia \(13\div4=3\) dư 1. Do đó, giữ nguyên mẫu số 4, lấy thương làm phần nguyên và số dư làm tử số thì \(\frac{13}{4}=3\frac14\).

Đáp số: \(3\frac14\) mét vải.

Câu hỏi tự luyện tập kèm đáp án

a. Đổi hỗn số \(4\frac{2}{3}\) thành phân số. (Đáp án: \(\frac{14}{3}\))

b. Đổi phân số \(\frac{25}{4}\) thành hỗn số. (Đáp án: \(6\frac{1}{4}\))

c. Thực hiện phép tính và biểu diễn kết quả dưới dạng hỗn số: \(2\frac{1}{5} + 1\frac{3}{10}\). (Đáp án: \(3\frac{1}{2}\))

d. Thực hiện phép tính và biểu diễn kết quả dưới dạng hỗn số: \(3\frac{1}{2} - 1\frac{1}{4}\). (Đáp án: \(2\frac{1}{4}\))

e. Thực hiện phép tính và biểu diễn kết quả dưới dạng hỗn số: \(1\frac{1}{2} \times 2\frac{2}{3}\). (Đáp án: 4)

f. So sánh hai hỗn số \(4\frac{12}{25}\) và \(4\frac{8}{15}\). (Đáp án: \(4\frac{12}{25}<4\frac{8}{15}\))

Tóm lại, hỗn số gồm phần nguyên và phần phân số. Để giải chính xác các bài tập về hỗn số, học sinh cần nắm vững cách đổi hỗn số ra phân số, chuyển phân số thành hỗn số bằng phép chia, thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và so sánh hỗn số.

Bên cạnh đó, học sinh có thể củng cố kiến thức số học và các phép tính cơ bản tại chuyên đề Toán 5 tại ZIM Academy.