Nguyên hàm lượng giác | Bảng công thức và bài tập có lời giải

Nguyên hàm lượng giác là nội dung trong Bài 11 – Nguyên hàm, Chương IV, Toán 12 Kết nối tri thức. Học sinh cần nắm bảng công thức nguyên hàm sin x, cos x và các hàm lượng giác cơ bản, chú ý dấu và hằng số C.

Bài viết hệ thống cách tính nguyên hàm sin x cos x, sin²x, cos²x và sin²x cos²x bằng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng; kèm bài tập có lời giải chi tiết và cách kiểm tra kết quả bằng đạo hàm.

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản

Hàm số F là một nguyên hàm của f trên khoảng K nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi x thuộc K. Họ nguyên hàm gồm các hàm \(F(x)+C\), trong đó C là hằng số tùy ý. [1] Có thể ôn khái niệm qua bảng công thức nguyên hàm.

Các góc tính bằng radian. Hai dòng đầu đúng trên toàn bộ trục số. Hai dòng sau áp dụng trên từng khoảng có \(\cos x\ne0\) hoặc \(\sin x\ne0\) tương ứng; C có thể khác nhau giữa các khoảng tách biệt.

Bảng nguyên hàm được kiểm tra từ bảng đạo hàm:

\[\begin{gathered}(\sin x)'=\cos x;\quad(-\cos x)'=\sin x\\(\tan x)'=\frac1{\cos^2x};\quad(-\cot x)'=\frac1{\sin^2x}\end{gathered}\]

Nguyên hàm sin x là gì?

Công thức cần nhớ là:

\[\int\sin x\,dx=-\cos x+C.\]

Cần dấu âm vì đạo hàm của cos x là âm sin x. Hằng số C biểu thị toàn bộ họ nguyên hàm.

Ví dụ 1. Hệ số hằng trước sin x

Tìm \(\int k\sin x\,dx\), với k là hằng số thực.

Hệ số k không phụ thuộc x; có thể đưa ra ngoài dấu nguyên hàm khi khác 0. Trường hợp k bằng 0 vẫn cần C.

Bước 1: Nhận dạng tích của hằng số và sin x.

Bước 2: Khi \(k\ne0\), viết \(\int k\sin x\,dx=k\int\sin x\,dx\).

Bước 3: Thu được \(-k\cos x+C\). Nếu \(k=0\), nguyên hàm của 0 là C, cũng khớp kết quả này.

Bước 4: Kiểm tra \((-k\cos x+C)'=k\sin x\).

Đáp án

\[\int k\sin x\,dx=-k\cos x+C.\]

Ví dụ 2. Tổng có chứa sin x

Tính \(\int(2\sin x+x)\,dx\).

Tách tổng rồi dùng nguyên hàm của sin và của x.

Bước 1: Nhận dạng hai hạng tử cơ bản, xác định trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Tách thành \(2\int\sin x\,dx+\int x\,dx\).

Bước 3: Tính:

\[\int(2\sin x+x)\,dx=-2\cos x+\frac{x^2}{2}+C.\]

Bước 4: Kiểm tra \((-2\cos x+x^2/2+C)'=2\sin x+x\).

\(-2\cos x+x^2/2+C\).

Nguyên hàm cos x và các hàm lượng giác cơ bản

Nguyên hàm cos là sin cộng C; nguyên hàm sin là âm cos cộng C. Tính chất tách tổng, hiệu:

\[\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.\]

Ví dụ 3. Tách hiệu hai hàm

Tính \(\int(5\cos x-4/\sin^2x)\,dx\).

Tách hai hạng tử. Hệ số âm trước nghịch đảo sin bình phương sẽ nhân với dấu âm trong công thức nguyên hàm.

Bước 1: Xét trên một khoảng mà \(\sin x\ne0\).

Bước 2: Viết \(5\int\cos x\,dx-4\int dx/\sin^2x\).

Bước 3: Tính \(5\sin x-4(-\cot x)+C=5\sin x+4\cot x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((5\sin x+4\cot x+C)'=5\cos x-4/\sin^2x\).

\(5\sin x+4\cot x+C\) trên khoảng đang xét.

Cách tính nguyên hàm lượng giác

Bước 1: Nhận dạng biểu thức

Đối chiếu bảng trước. Tổng, hiệu có thể tách; các dạng \(\sin^2x\), \(\cos^2x\), \(\sin x\cos x\), \(\tan^2x\) thường cần biến đổi.

Bước 2: Biến đổi về dạng nguyên hàm cơ bản

Dùng đúng hằng đẳng thức lượng giác:

\[\begin{gathered}\sin^2x+\cos^2x=1\\\sin x\cos x=\frac12\sin2x.\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\\\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}\\\tan^2x=\frac1{\cos^2x}-1.\end{gathered}\]

Biểu thức đã trùng bảng thì không cần biến đổi thêm.

Bước 3: Áp dụng tính chất và bảng nguyên hàm

Tách hệ số, tính từng hạng tử rồi thu gọn. Với góc \(ax+b\), trong đó \(a\ne0\), cần bù hệ số đạo hàm:

\[\int\sin(ax+b)\,dx=-\frac{\cos(ax+b)}a+C.\]

\[\int\cos(ax+b)\,dx=\frac{\sin(ax+b)}a+C.\]

Nếu a = 0, hàm dưới dấu nguyên hàm là hằng số: kết quả tương ứng là x sin b + C hoặc x cos b + C. Có thể ôn quy tắc kiểm tra qua bài đạo hàm hàm hợp.

Ví dụ góc ax + b:

\[\int3\sin(2x+\pi/6)\,dx=-\frac32\cos(2x+\pi/6)+C.\]

Đạo hàm kết quả bằng \(3\sin(2x+\pi/6)\), đúng biểu thức ban đầu.

Bước 4: Thêm hằng số C và kiểm tra

Ghi một hằng số C ở kết quả cuối. Lấy đạo hàm, thu gọn và đối chiếu với biểu thức ban đầu; đồng thời kiểm tra điều kiện mẫu khác 0.

Nguyên hàm tích và bình phương lượng giác

Để tính nguyên hàm của tích sin x và cos x, dùng công thức nhân đôi:

\[\int\sin x\cos x\,dx=\frac12\int\sin2x\,dx=-\frac14\cos2x+C.\]

Kiểm tra: \((-\cos2x/4)'=\sin2x/2=\sin x\cos x\). Dạng \(\sin^2x/2+C\) cũng đúng vì \(\sin^2x/2=1/4-\cos2x/4\).

Ví dụ 4. Hệ số trước tích sin và cos

Tính \(\int k\sin x\cos x\,dx\), k là hằng số thực.

Ưu tiên nhân đôi để đổi tích thành một hàm sin.

Bước 1: Nhận dạng tích cùng góc, xác định trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Biến đổi \(k\sin x\cos x=(k/2)\sin2x\).

Bước 3: Tính \(\int(k/2)\sin2x\,dx=-k\cos2x/4+C\), kể cả \(k=0\).

Bước 4: Kiểm tra \((-k\cos2x/4+C)'=(k/2)\sin2x=k\sin x\cos x\).

\(-k\cos2x/4+C\).

Các công thức hạ bậc cần dùng

Nguyên hàm sin²x

Hạ bậc rồi tách tổng:

\[\int\sin^2x\,dx=\frac12\int(1-\cos2x)\,dx=\frac x2-\frac{\sin2x}{4}+C.\]

Đạo hàm kết quả là \((1-\cos2x)/2=\sin^2x\). Với \(6\sin^2(x/2)\), hạ bậc góc x/2 sẽ tạo cos x, không phải cos 2x.

Nguyên hàm cos²x

Lần này công thức hạ bậc mang dấu cộng:

\[\int\cos^2x\,dx=\frac12\int(1+\cos2x)\,dx=\frac x2+\frac{\sin2x}{4}+C.\]

Kiểm tra đạo hàm: \((1+\cos2x)/2=\cos^2x\).

Nguyên hàm sin²x cos²x

Với tích hai bình phương sin và cos, cần kết hợp công thức nhân đôi và hạ bậc:

\[\sin^2x\cos^2x=(\sin x\cos x)^2=\frac14\sin^22x=\frac{1-\cos4x}{8}.\]

Do đó:

\[\int\sin^2x\cos^2x\,dx=\frac18\int(1-\cos4x)\,dx=\frac x8-\frac{\sin4x}{32}+C.\]

Đạo hàm là \(\frac{1-\cos4x}{8}=\sin^2x\cos^2x\), đúng bằng tích ban đầu. Không lấy nguyên hàm của tích bằng cách nhân hai nguyên hàm.

Một số dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm lượng giác

Ví dụ 5. Nhận diện cos x

Tìm \(\int\cos x\,dx\).

Cos x trùng bảng; chọn sin x, không thêm dấu âm.

Bước 1: Nhận dạng cos x trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Giữ nguyên biểu thức vì đã trùng bảng cơ bản.

Bước 3: Viết \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((\sin x+C)'=\cos x\).

\(\sin x+C\).

Dạng 2: Nguyên hàm lượng giác của tổng, hiệu

Tách từng hạng tử và giữ nguyên hệ số. Ví dụ 3 ở trên minh họa cách phối hợp nguyên hàm cos x với nghịch đảo sin bình phương; cần xét điều kiện mẫu khác 0 trước khi tính.

Dạng 3: Hạ bậc trước khi tính nguyên hàm lượng giác

Ví dụ 6. Bình phương của sin góc x/2

Tính \(\int6\sin^2(x/2)\,dx\).

Hạ bậc với góc x/2; góc nhân đôi trở thành x.

Bước 1: Nhận dạng sin bình phương trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Viết \(6\sin^2(x/2)=6(1-\cos x)/2=3-3\cos x\).

Bước 3: Tính \(\int(3-3\cos x)\,dx=3x-3\sin x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((3x-3\sin x+C)'=3-3\cos x=6\sin^2(x/2)\).

\(3x-3\sin x+C\).

Dạng 4: Biểu thức chứa sin x cos x

Ví dụ 7. Nhân đôi trước khi tính

Tính \(\int2\sin x\cos x\,dx\).

Hệ số 2 đi cùng tích sin và cos đúng bằng công thức nhân đôi.

Bước 1: Nhận dạng tích cùng góc trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Viết \(2\sin x\cos x=\sin2x\).

Bước 3: Tính \(\int\sin2x\,dx=-\cos2x/2+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((-\cos2x/2+C)'=\sin2x=2\sin x\cos x\).

\(-\cos2x/2+C\).

Dạng mở rộng: Tích lượng giác khác góc

Dùng công thức tích thành tổng trước khi lấy nguyên hàm:

\[\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)].\]

Chẳng hạn, \(\sin3x\cos2x=(\sin5x+\sin x)/2\), nên:

\[\int\sin3x\cos2x\,dx=-\frac{\cos5x}{10}-\frac{\cos x}{2}+C.\]

Dạng 5: Khai triển trước khi tính nguyên hàm lượng giác

Ví dụ 8. Bình phương của một hiệu lượng giác

Tính \(\int[\sin(x)-\cos(x)]^2\,dx\).

Khai triển bình phương rồi dùng tổng hai bình phương và công thức nhân đôi.

Bước 1: Nhận dạng bình phương một hiệu, xác định trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Biến đổi:

\[[\sin(x)-\cos(x)]^2=\sin^2(x)+\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)=1-\sin2x.\]

Bước 3: Tính \(\int(1-\sin2x)\,dx=x+\cos2x/2+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((x+\cos2x/2+C)'=1-\sin2x\), đúng biểu thức đã khai triển.

\(x+\cos2x/2+C\).

Dạng 6: Biểu thức chứa tan²x

Ví dụ 9. Đổi tan bình phương về dạng cơ bản

Tính \(\int\tan^2x\,dx\).

Tan bình phương không trùng dòng nghịch đảo cos bình phương; hai biểu thức chênh nhau 1.

Bước 1: Xét trên khoảng mà \(\cos x\ne0\).

Bước 2: Dùng \(\tan^2x=1/\cos^2x-1\).

Bước 3: Tính \(\int(1/\cos^2x-1)\,dx=\tan x-x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \[(\tan x-x+C)'=1/\cos^2x-1=\tan^2x\]

\(\tan x-x+C\).

Bài tập nguyên hàm lượng giác

Mười hai bài chia thành sáu nhóm; biểu thức có mẫu được xét trên khoảng mà mẫu khác 0.

Bài tập 1: Nguyên hàm sin và cos cơ bản

Bài 1. Hai công thức sin, cos

Tính a) \(\int\sin x\,dx\); b) \(\int\cos x\,dx\).

Đối chiếu hai dòng đầu của bảng, phân biệt dấu.

Bước 1: Cả hai hàm xác định trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Không cần biến đổi; chọn âm cos cho a, sin cho b.

Bước 3: a) \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C_1\); b) \(\int\cos x\,dx=\sin x+C_2\).

Bước 4: a) \((-\cos x+C_1)'=\sin x\); b) \((\sin x+C_2)'=\cos x\).

a) \(-\cos x+C_1\); b) \(\sin x+C_2\). Hai câu độc lập có thể dùng hai hằng số khác nhau.

Bài 2. Nghịch đảo cos bình phương

Tính \(\int dx/\cos^2x\).

Nhận đúng đạo hàm của tan, đồng thời kiểm tra mẫu.

Bước 1: Chọn khoảng có \(\cos x\ne0\).

Bước 2: Giữ nguyên dạng nghịch đảo cos bình phương.

Bước 3: Áp dụng bảng: \(\int dx/\cos^2x=\tan x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((\tan x+C)'=1/\cos^2x\).

\(\tan x+C\) trên khoảng đã chọn.

Bài 3. Nghịch đảo sin bình phương

Tính \(\int dx/\sin^2x\).

Nhận đạo hàm của cot; cần đổi dấu để được biểu thức dương.

Bước 1: Chọn khoảng có \(\sin x\ne0\).

Bước 2: Dùng \((\cot x)'=-1/\sin^2x\) để nhận dấu âm cần thêm.

Bước 3: Tính \(\int dx/\sin^2x=-\cot x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((-\cot x+C)'=1/\sin^2x\).

\(-\cot x+C\) trên khoảng đã chọn.

Bài tập 2: Tổng, hiệu các hàm lượng giác

Bài 4. Hệ số trước sin và cos

Tính \(\int(3\sin x-2\cos x)\,dx\).

Tách hai hạng tử; dấu âm trước cos được giữ khi lấy nguyên hàm.

Bước 1: Nhận dạng tổng, hiệu cơ bản trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Viết \(3\int\sin x\,dx-2\int\cos x\,dx\).

Bước 3: Tính \[3(-\cos x)-2\sin x+C=-3\cos x-2\sin x+C\]

Bước 4: Kiểm tra \[(-3\cos x-2\sin x+C)'=3\sin x-2\cos x\]

\(-3\cos x-2\sin x+C\).

Bài 5. Phối hợp cos và tan

Tính \(\int(4\cos x+2/\cos^2x)\,dx\).

Hai hạng tử có nguyên hàm lần lượt chứa sin và tan.

Bước 1: Chọn khoảng có \(\cos x\ne0\).

Bước 2: Tách \(4\int\cos x\,dx+2\int dx/\cos^2x\).

Bước 3: Tính được \(4\sin x+2\tan x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((4\sin x+2\tan x+C)'=4\cos x+2/\cos^2x\).

\(4\sin x+2\tan x+C\).

Bài tập 3: Nguyên hàm sin x cos x

Bài 6. Hệ số dương trước tích

Tính \(\int3\sin x\cos x\,dx\).

Dùng nhân đôi để giữ nguyên hệ số 3 và bù hệ số góc 2x.

Bước 1: Nhận dạng tích cùng góc trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Biến đổi \(3\sin x\cos x=(3/2)\sin2x\).

Bước 3: Tính \[(3/2)(-\cos2x/2)+C=-3\cos2x/4+C\]

Bước 4: Kiểm tra \[(-3\cos2x/4+C)'=(3/2)\sin2x=3\sin x\cos x\]

\(-3\cos2x/4+C\).

Bài 7. Hệ số âm trước tích

Tính \(\int-4\sin x\cos x\,dx\).

Hệ số âm ngoài tích sẽ nhân với dấu âm của nguyên hàm sin.

Bước 1: Nhận dạng tích cùng góc trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Biến đổi \(-4\sin x\cos x=-2\sin2x\).

Bước 3: Tính \(-2(-\cos2x/2)+C=\cos2x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \((\cos2x+C)'=-2\sin2x=-4\sin x\cos x\).

\(\cos2x+C\).

Bài tập 4: Nguyên hàm sin²x và cos²x

Bài 8. Hạ bậc sin bình phương

Tính \(\int\sin^2x\,dx\).

Hạ bậc thành hằng số và cos 2x, chú ý dấu trừ.

Bước 1: Nhận dạng bình phương trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Viết \(\sin^2x=(1-\cos2x)/2\).

Bước 3: Tính \(\int\sin^2x\,dx=x/2-\sin2x/4+C\).

Bước 4: Kiểm tra \[(x/2-\sin2x/4+C)'=(1-\cos2x)/2=\sin^2x\]

\(x/2-\sin2x/4+C\).

Bài 9. Hạ bậc cos bình phương có hệ số

Tính \(\int3\cos^2x\,dx\).

Hạ bậc với dấu cộng rồi nhân đủ hệ số 3.

Bước 1: Nhận dạng bình phương trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Viết \(3\cos^2x=(3/2)(1+\cos2x)\).

Bước 3: Tính \(\int3\cos^2x\,dx=3x/2+3\sin2x/4+C\).

Bước 4: Kiểm tra \[(3x/2+3\sin2x/4+C)'=(3/2)(1+\cos2x)=3\cos^2x\]

\(3x/2+3\sin2x/4+C\).

Bài tập 5: Nguyên hàm sin²x cos²x

Bài 10. Phối hợp nhân đôi và hạ bậc

Tính \(\int2\sin^2x\cos^2x\,dx\).

Đổi tích thành sin bình phương góc 2x, rồi hạ bậc tiếp.

Bước 1: Nhận dạng tích hai bình phương trên \(\mathbb R\).

Bước 2: Biến đổi \(2\sin^2x\cos^2x=\sin^22x/2=(1-\cos4x)/4\).

Bước 3: Tính \(\int(1-\cos4x)/4\,dx=x/4-\sin4x/16+C\).

Bước 4: Kiểm tra \[(x/4-\sin4x/16+C)'=(1-\cos4x)/4=2\sin^2x\cos^2x\]

\(x/4-\sin4x/16+C\).

Bài tập 6: Tổng hợp theo dạng Bài 11 Kết nối tri thức

Bài 11. Hai biểu thức cần chọn cách làm khác nhau

Tính a) \(\int(2/\cos^2x-1/\sin^2x)\,dx\); b) \(\int[\sin(x/2)+\cos(x/2)]^2\,dx\).

Câu a tách hiệu; câu b khai triển bình phương rồi nhân đôi.

Bước 1: Câu a xét trên khoảng có \(\sin x\cos x\ne0\); câu b xác định trên \(\mathbb R\).

Bước 2: a) Tách \(2\int dx/\cos^2x-\int dx/\sin^2x\). b) Khai triển thành \(1+2\sin(x/2)\cos(x/2)=1+\sin x\).

Bước 3: a) Tính \[2\tan x-(-\cot x)+C_1=2\tan x+\cot x+C_1\]

b) Tính \(\int(1+\sin x)\,dx=x-\cos x+C_2\).

Bước 4: a) Đạo hàm là \(2/\cos^2x-1/\sin^2x\). b) Đạo hàm là \(1+\sin x\), đúng biểu thức đã khai triển.

a) \(2\tan x+\cot x+C_1\); b) \(x-\cos x+C_2\).

Bài 12. Tổng chứa tan bình phương

Tính \(\int(2x+3\tan^2x)\,dx\).

Đổi tan bình phương rồi tính riêng ba hạng tử.

Bước 1: Xét trên khoảng có \(\cos x\ne0\).

Bước 2: Viết \(2x+3\tan^2x=2x+3/\cos^2x-3\).

Bước 3: Tính \(\int(2x+3/\cos^2x-3)\,dx=x^2+3\tan x-3x+C\).

Bước 4: Kiểm tra \[(x^2+3\tan x-3x+C)'=2x+3/\cos^2x-3=2x+3\tan^2x\]

\(x^2+3\tan x-3x+C\).

Các lỗi thường gặp khi tính nguyên hàm lượng giác

Phân biệt \(\sin2x\) với \(\sin^2x\): một biểu thức đổi góc, biểu thức kia bình phương giá trị. Thay một giá trị x chỉ có thể phát hiện phản ví dụ; muốn kiểm tra nguyên hàm, cần chứng minh đạo hàm kết quả bằng hàm ban đầu trên khoảng đang xét.

Để tính nguyên hàm lượng giác, học sinh cần nắm chắc bảng công thức nguyên hàm sin x, cos x và các dạng nghịch đảo bình phương; vận dụng công thức nhân đôi, hạ bậc để xử lý tích và bình phương lượng giác. Khi tính toán, cần chú ý dấu, hệ số của góc, điều kiện xác định và hằng số C, sau đó lấy đạo hàm để kiểm tra kết quả.

Học sinh có thể luyện tập thêm các chuyên đề Toán 12 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức về nguyên hàm và tích phân.