Phương trình mặt cầu | Công thức, điều kiện và cách viết

Phương trình mặt cầu trong Oxyz thuộc chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài viết hệ thống công thức dạng chính tắc, dạng khai triển, điều kiện để phương trình là phương trình mặt cầu và cách xác định tâm, bán kính; đồng thời hướng dẫn cách viết phương trình mặt cầu khi biết đường kính AB, đi qua bốn điểm không đồng phẳng hoặc tiếp xúc mặt phẳng, kèm bài tập có lời giải.

Mặt cầu là gì?

Trong không gian ba chiều với hệ trục tọa độ Oxyz, tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách điểm I một khoảng không đổi bằng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. [1]

• Ký hiệu: (S) hoặc (S(I; R)).

• Biểu thức định nghĩa:

  \[(S) = \{ M \mid IM = R \}\]

Đường kính của mặt cầu là gì?

Nếu hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc mặt cầu (S) và đoạn AB đi qua tâm I thì AB là một đường kính của mặt cầu.

Độ dài đường kính của mặt cầu bằng hai lần bán kính:\[AB = 2R\]

Khi đó, tâm I của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và một điểm M bất kỳ trong không gian Oxyz. Việc so sánh khoảng cách từ tâm I đến điểm M (độ dài đoạn thẳng IM) với bán kính R giúp xác định vị trí tương đối của điểm M đối với mặt cầu theo ba trường hợp:

1. Điểm M nằm trên mặt cầu: Khi và chỉ khi IM = R. Khi đó, mặt cầu (S) đi qua điểm M.

2. Điểm M nằm trong mặt cầu: Khi và chỉ khi IM < R. Tập hợp các điểm nằm trong mặt cầu cùng với các điểm nằm trên mặt cầu tạo thành một khối cầu tâm I, bán kính R.

3. Điểm M nằm ngoài mặt cầu: Khi và chỉ khi IM > R.

Học sinh có thể ôn lại hệ trục tọa độ trong không gian để xác định tọa độ tâm và tính khoảng cách giữa hai điểm trong Oxyz.

Phương trình mặt cầu dạng chính tắc

Thiết lập công thức phương trình dạng chính tắc

Trong hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R > 0.

Giả sử điểm M(x; y; z) là một điểm bất kỳ trong không gian. Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz, độ dài đoạn thẳng IM được xác định bởi:\[IM = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}\]

Điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi \(IM = R\), tương đương với \(IM^2 = R^2\).

Do đó, người học thu được phương trình:\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]

Đây là phương trình mặt cầu theo tâm và bán kính, thường gọi là dạng chính tắc. Với tâm O(0;0;0), phương trình trở thành \(x^2+y^2+z^2=R^2\).

Cách xác định tâm và bán kính từ dạng chính tắc

Khi bài toán cung cấp phương trình mặt cầu ở dạng chính tắc:\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]

Học sinh xác định hai yếu tố đặc trưng của mặt cầu theo quy tắc:

• Tọa độ tâm I(a; b; c): Lấy các giá trị a, b, c bằng cách đảo dấu các số hạng đi kèm với x, y, z trong các bình phương.

• Bán kính R: Là căn bậc hai dương của giá trị ở vế phải phương trình, tức là \(R = \sqrt{R^2}\) với \(R^2>0\).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:\[(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 25\]

Hãy xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S).

Lời giải: So sánh phương trình đã cho với phương trình chính tắc \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), học sinh xác định được:

• a = 3

• b = −2

• c = 1

• \(R^2 = 25 \Rightarrow R = \sqrt{25} = 5\)

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; 1) và bán kính R = 5.

Phương trình mặt cầu dạng khai triển và điều kiện xác định

Khai triển phương trình chính tắc về dạng tổng quát

Bắt đầu từ phương trình mặt cầu dạng chính tắc:\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]

Thực hiện khai triển các hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:\[(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) + (z^2 - 2cz + c^2) = R^2\]

Sắp xếp lại các số hạng theo thứ tự bậc giảm dần:\[x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2 + b^2 + c^2 - R^2) = 0\]

Đặt hằng số \(d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2\), phương trình trở thành:\[x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Đây được gọi là phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

Nhận biết dạng khai triển: Hệ số của \(x^2,y^2,z^2\) phải bằng nhau và khác 0; không có các số hạng tích xy, xz, yz. Sau khi chia cho hệ số chung, phương trình được chuẩn hóa về hệ số bậc hai bằng 1 rồi mới kiểm tra điều kiện bán kính.

Điều kiện để một phương trình là phương trình mặt cầu

Xét phương trình tổng quát có dạng:\[x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \quad (*)\]

Từ đẳng thức đặt \(d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2\), biểu thức tính bán kính R được suy ra như sau:\[R^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d\]

Vì bán kính mặt cầu phải là một số thực dương (R > 0), do đó điều kiện \(R^2 > 0\) bắt buộc phải được thỏa mãn.

Kết luận: Phương trình dạng (∗) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:

\(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\)

• \(a^2+b^2+c^2-d>0\): mặt cầu có bán kính dương.

• \(a^2+b^2+c^2-d=0\): tập nghiệm chỉ gồm điểm I(a;b;c), không phải mặt cầu theo định nghĩa R>0.

• \(a^2+b^2+c^2-d<0\): phương trình không có nghiệm thực.

Công thức tìm tâm và bán kính từ dạng khai triển

Khi phương trình dạng (∗) thỏa mãn điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\), học sinh xác định các yếu tố của mặt cầu như sau:

• Tọa độ tâm I(a; b; c):\[\begin{aligned}a&=\frac{\text{hệ số của }x}{-2},\\b&=\frac{\text{hệ số của }y}{-2},\\c&=\frac{\text{hệ số của }z}{-2}.\end{aligned}\]

Nếu phương trình đã được chuẩn hóa để các hệ số của \(x^2,y^2,z^2\) đều bằng 1, thì a, b, c lần lượt bằng hệ số của x, y, z chia cho -2.

• Bán kính R:\[R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\]

Nếu ba hệ số bậc hai cùng bằng \(k\ne0\), cần chia toàn bộ phương trình cho k trước khi áp dụng công thức. Nếu các hệ số khác nhau hoặc có số hạng xy, xz, yz với hệ số khác 0 thì phương trình bậc hai đó không phải phương trình mặt cầu.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một mặt cầu? Nếu có, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu đó.

1. \[(S_1): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0\]

2. \[(S_2): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 8z + 25 = 0\]

Lời giải:

1. Xét phương trình \[(S_1): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 2 = 0\]

Các hệ số của \(x^2,y^2,z^2\) đều bằng 1.

Xác định các giá trị a, b, c, d:

• \(a = \frac{-4}{-2} = 2\)

• \(b = \frac{6}{-2} = -3\)

• \(c = \frac{-2}{-2} = 1\)

• \(d = -2\)

Tính biểu thức kiểm tra điều kiện:\[a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-3)^2 + 1^2 - (-2) = 4 + 9 + 1 + 2 = 16\]

Vì 16 > 0, phương trình (\(S_1\)​) là phương trình của mặt cầu.

• Tâm của mặt cầu là I(2; −3; 1).

• Bán kính của mặt cầu là \(R = \sqrt{16} = 4\).

2. Xét phương trình \[(S_2): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y + 8z + 25 = 0\]

Các hệ số của \(x^2, y^2, z^2\) đều bằng 1.

Xác định các giá trị \(a, b, c, d\):

• \(a = \frac{2}{-2} = -1\)

• \(b = \frac{-4}{-2} = 2\)

• \(c = \frac{8}{-2} = -4\)

• \(d = 25\)

Tính biểu thức kiểm tra điều kiện:\[a^2 + b^2 + c^2 - d = (-1)^2 + 2^2 + (-4)^2 - 25 = 1 + 4 + 16 - 25 = -4\]

Vì \(-4 < 0\), phương trình \((S_2)\) không phải là phương trình mặt cầu.

Cách viết phương trình mặt cầu

Để lập phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz, quy trình giải bài toán luôn hướng đến việc tìm kiếm hai thông số quan trọng: Tọa độ tâm \(I(a; b; c)\) và độ dài bán kính R.

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

• Phương pháp: Thay trực tiếp tọa độ tâm \(I(a; b; c)\) và giá trị bán kính \(R\) vào phương trình chính tắc:\[(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\]

Điều kiện: R>0.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm \(I(a; b; c)\) và đi qua điểm \(A(x_A; y_A; z_A)\)

• Phương pháp:

1. Do mặt cầu đi qua điểm A, bán kính R chính là độ dài đoạn thẳng nối từ tâm I đến điểm A:\[R = IA = \sqrt{(x_A - a)^2 + (y_A - b)^2 + (z_A - c)^2}\]

2. Viết phương trình mặt cầu tâm \(I(a; b; c)\) với bán kính \(R = IA\).

Điều kiện: A khác I để IA>0. Chỉ biết một điểm thuộc mặt cầu mà chưa biết tâm hoặc dữ kiện khác thì không xác định duy nhất mặt cầu.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu nhận đoạn thẳng AB làm đường kính

• Phương pháp:

1. Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ điểm I tính theo công thức:\[I\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right)\]

2. Bán kính R của mặt cầu bằng một nửa độ dài đoạn thẳng AB:\[R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}{2}\]

3. Lập phương trình mặt cầu từ tọa độ tâm I và bán kính R đã tìm.

Điều kiện: A và B phải phân biệt. Có thể kiểm tra phương trình bằng cách thay tọa độ cả A và B vào.

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc mặt phẳng

Cho tâm I(a;b;c) và mặt phẳng \((P):Ax+By+Cz+D=0\), với \(A^2+B^2+C^2>0\).

• Phương pháp:

1. Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P), khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng đúng bán kính R:​\[R = d(I, (P)) = \frac{\vert{}A a + B b + C c + D\vert{}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

2. Áp dụng công thức chính tắc để viết phương trình mặt cầu.

Điều kiện: I không thuộc (P), vì khoảng cách từ I đến (P) phải dương. Nếu I nằm trên (P), không tồn tại mặt cầu tâm I bán kính dương tiếp xúc với (P).

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm, ngoại tiếp tứ diện

Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng xác định duy nhất một mặt cầu. Đây cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

1. Đặt phương trình dạng khai triển \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\).

2. Thay tọa độ bốn điểm vào để lập hệ bốn phương trình bậc nhất theo a, b, c, d; giải hệ để tìm tâm I(a;b;c).

3. Tính \(R^2=a^2+b^2+c^2-d\) và viết phương trình mặt cầu. Có thể thay lại bốn tọa độ để kiểm tra kết quả.

Phân biệt: Ba điểm không thẳng hàng chỉ xác định một đường tròn và có vô số mặt cầu đi qua đường tròn đó. Nếu chỉ biết một điểm hoặc ba điểm thuộc mặt cầu, cần thêm giả thiết như tâm, đường kính hoặc điều kiện tiếp xúc để xác định mặt cầu.

Với dạng tiếp xúc, học sinh có thể ôn công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong bài phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Bài tập phương trình mặt cầu có lời giải

Dạng 1: Bài tập xác định tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu cho trước

Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I và tính bán kính R của các mặt cầu sau:

1. \((S_1): (x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 2)^2 = 16\)

2. \((S_2): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 6z - 11 = 0\)

Lời giải:

1. Xét phương trình \((S_1): (x + 1)^2 + (y - 4)^2 + (z - 2)^2 = 16\)

   Phương trình \((S_1)\) ở dạng chính tắc \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\).

   Đối chiếu hệ số, người học xác định được:

• a = -1 (vì x + 1 = x - (-1))

• b = 4

• c = 2

• \(R^2 = 16 \Rightarrow R = \sqrt{16} = 4\)

Kết luận: Mặt cầu \((S_1)\) có tâm \(I_1(-1; 4; 2)\) và bán kính \(R_1 = 4\).

2. Xét phương trình \((S_2): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y + 6z - 11 = 0\)

   Phương trình \((S_2)\) có dạng khai triển với các hệ số bậc hai đều bằng 1.

   Học sinh xác định các giá trị a, b, c, d:

• \(a = \frac{-4}{-2} = 2\)

• \(b = \frac{2}{-2} = -1\)

• \(c = \frac{6}{-2} = -3\)

• \(d = -11\)

Kiểm tra điều kiện tồn tại mặt cầu:

\[a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-1)^2 + (-3)^2 - (-11) = 4 + 1 + 9 + 11 = 25 > 0\]

Kết luận: Mặt cầu \((S_2)\) có tâm \(I_2(2; -1; -3)\) và bán kính \(R_2 = \sqrt{25} = 5\).

Dạng 2: Bài tập viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính hoặc một điểm mặt cầu đi qua

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1. Mặt cầu \((S_1)\) có tâm \(I(2; -1; 3)\) và bán kính \(R = 4\).

2. Mặt cầu \((S_2)\) có tâm \(K(-1; 0; 2)\) và đi qua điểm \(A(2; 4; -2)\).

Lời giải:

1. Lập phương trình mặt cầu \((S_1)\):

   Mặt cầu \((S_1)\) có tâm \(I(2; -1; 3)\) và bán kính \(R = 4\).

   Thay trực tiếp tọa độ tâm và bán kính vào dạng chính tắc, học sinh thu được:\[(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 4^2\]\[\Leftrightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 16\]

2. Lập phương trình mặt cầu \((S_2)\):

   Vì mặt cầu \((S_2)\) đi qua điểm \(A(2; 4; -2)\), bán kính R của mặt cầu chính bằng độ dài đoạn thẳng KA:\[R = KA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - 0)^2 + (-2 - 2)^2}\]\[R = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}\]Suy ra \(R^2 = 41\).

Phương trình mặt cầu \((S_2)\) tâm \(K(-1; 0; 2)\) có dạng chính tắc là:\[(x + 1)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 41\]

Dạng 3: Bài tập nhận biết một phương trình có phải là phương trình mặt cầu hay không dựa vào điều kiện

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho phương trình tham số m:\[x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y - 2(m + 1)z + 5m = 0 \quad (*)\]

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \((*)\) là phương trình của một mặt cầu.

Lời giải:

Phương trình \((*)\) có hệ số của \(x^2, y^2, z^2\) đều bằng 1.

Xác định các hệ số \(a, b, c, d\) theo \(m\):

• \(a = \frac{-2m}{-2} = m\)

• \(b = \frac{4}{-2} = -2\)

• \(c = \frac{-2(m + 1)}{-2} = m + 1\)

• \(d = 5m\)

Để phương trình \((*)\) biểu diễn một mặt cầu, điều kiện bắt buộc là:\[a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\]

Thay các giá trị vừa tìm vào bất phương trình:\[m^2 + (-2)^2 + (m + 1)^2 - 5m > 0\]\[\Leftrightarrow m^2 + 4 + (m^2 + 2m + 1) - 5m > 0\]\[\Leftrightarrow 2m^2 - 3m + 5 > 0\]

Xét tam thức bậc hai \(f(m) = 2m^2 - 3m + 5\):

• Hệ số \(a = 2 > 0\)

• Biệt thức \[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\]

Vì \(\Delta < 0\) và hệ số a > 0, tam thức \(f(m) = 2m^2 - 3m + 5\) luôn nhận giá trị dương với mọi số thực m.

Kết luận: Phương trình \((*)\) là phương trình của một mặt cầu với mọi giá trị \(m \in \mathbb{R}\).

Dạng 4: Bài tập thực tế liên quan đến mặt cầu

Bài tập 4: Trong một mô hình lý tưởng, trạm Wi-Fi tại I (10;15;3) phủ sóng toàn bộ khối cầu bán kính 20 m, kể cả biên; đơn vị tọa độ là mét. Một rô-bốt ở M (22;31;15). Bỏ qua vật cản và suy hao tín hiệu.

a) Hãy viết phương trình mặt cầu giới hạn vùng phủ sóng của trạm Wi-Fi.

b) Bằng tính toán tọa độ, hãy xác định xem rô-bốt tại vị trí M có nhận được tín hiệu Wi-Fi từ trạm phát hay không?

Lời giải:

a) Vùng phủ sóng của trạm Wi-Fi được giới hạn bởi mặt cầu (S) có tâm \(I(10; 15; 3)\) và bán kính \(R=20\text{ m}\)

Phương trình mặt cầu (S) là:\[(x - 10)^2 + (y - 15)^2 + (z - 3)^2 = 20^2\]\[\Leftrightarrow (x - 10)^2 + (y - 15)^2 + (z - 3)^2 = 400\]

b) Để xác định rô-bốt tại vị trí \(M(22; 31; 15)\) có nhận được tín hiệu Wi-Fi hay không, người học cần tính khoảng cách từ trạm phát I đến thiết bị M:\[IM = \sqrt{(22 - 10)^2 + (31 - 15)^2 + (15 - 3)^2}\]\[IM = \sqrt{12^2 + 16^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 256 + 144} = \sqrt{544} \approx 23,32\text{ m}\]

So sánh khoảng cách \(IM\) với bán kính phủ sóng \(R\): Vì \(IM \approx 23,32\text{ m} > 20\text{ m}\) (\(IM > R\)), điểm M nằm ngoài khối cầu phủ sóng của trạm phát.

Theo mô hình đã cho, rô-bốt tại M nằm ngoài vùng phủ sóng.

Bài tập viết phương trình mặt cầu đường kính AB

Bài tập 5: Viết phương trình mặt cầu nhận đoạn AB làm đường kính, với A(−3;2;1), B(5;−2;3).

Lời giải: Trung điểm AB là I(1;0;2). Ta có \(AB^2=8^2+(-4)^2+2^2=84\), nên \(R^2=AB^2/4=21\). Phương trình cần tìm:

\[(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=21\]

Bài tập phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu tâm I(2;−1;1), tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x−y+2z−1=0.

Lời giải: I không thuộc (P). Bán kính bằng khoảng cách từ I đến (P):

\[R=\frac{|2\cdot2-(-1)+2\cdot1-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=2\]

Vậy phương trình mặt cầu là \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=4\).

Bài tập mặt cầu đi qua bốn điểm, ngoại tiếp tứ diện

Bài tập 7: Cho A(2;1;−1), B(0;3;−1), C(0;1;1), D(−2;1;−1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải: A, B, D nằm trong mặt phẳng z=−1 và không thẳng hàng, còn C không thuộc mặt phẳng này. Do đó bốn điểm không đồng phẳng.

Đặt \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\). Thay lần lượt tọa độ A, B, C, D, được:

\[\begin{cases}6-4a-2b+2c+d=0\\10-6b+2c+d=0\\2-2b-2c+d=0\\6+4a-2b+2c+d=0\end{cases}\]

Lấy phương trình thứ nhất trừ thứ tư, suy ra a=0. So sánh phương trình thứ hai và thứ nhất được b=1; so sánh thứ ba và thứ nhất được c=−1. Thay lại, tìm được d=−2.

Tâm là I(0;1;−1), \(R^2=0^2+1^2+(-1)^2-(-2)=4\). Vậy phương trình mặt cầu là:

\[x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4\]

Những lỗi thường gặp khi viết phương trình mặt cầu

• Nhầm dấu tọa độ tâm: (x+2)² tương ứng với hoành độ tâm −2.

• Nhầm R và R²: vế phải của dạng chính tắc là bình phương bán kính; khi khai triển, phải kiểm tra R²>0.

• Chia hệ số bậc nhất cho −2 trước khi chuẩn hóa hệ số bậc hai về 1.

• Bỏ điều kiện A≠B với đường kính, A≠I với mặt cầu tâm I qua A, hoặc I không thuộc mặt phẳng tiếp xúc.

• Dùng điều kiện qua ba điểm để kết luận duy nhất một mặt cầu, hoặc quên yêu cầu bốn điểm không đồng phẳng trong bài mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Phương trình mặt cầu được xác định từ tọa độ tâm và bán kính \(R>0\). Học sinh cần nắm dạng chính tắc, dạng khai triển và điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d>0\) để xác định đúng tâm, bán kính.

Khi viết phương trình mặt cầu, cần nhận diện dữ kiện về tâm, đường kính, các điểm thuộc mặt cầu hoặc mặt phẳng tiếp xúc để chọn phương pháp phù hợp. Học sinh có thể ôn tập các chuyên đề Toán 12 để củng cố phương pháp tọa độ trong không gian và luyện tập các dạng bài liên quan.