Sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm giá trị của hàm phân thức, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm đa thức

Hàm đa thức có dạng tổng quát là:

Trong đó: 

• x là biến số độc lập

• a(n), a(n - 1), a(1)… là các hằng số thực (an khác 0)

• a(n) là hệ số dẫn đầu (leading coefficient)

• n là số mũ của x và là bậc của hàm số

Ví dụ: Hàm số y = x^3 - 4x là một hàm đa thức. Trong trường hợp này:

• an = 1

• n = 3

Lý thuyết chung về hàm phân thức

Hàm phân thức đơn thuần là một hàm số có f(x) bằng thương của hai đa thức. Như vậy, hàm phân thức sẽ có dạng như sau:

P(x) = A/B

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).

• Lưu ý, hai đa thức màu cấu tạo nên một hàm phân thức không nhất thiết là phải cùng bậc.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {x ∈ R | B ≠ 0}. Việc tìm miền xác định là bước đầu tiên khi tiến hành thao tác trên biểu thức hữu tỉ.

Với một phân thức có dạng A/B, ta luôn luôn có B phải khác 0. Do đó, ta có:

• Điều kiện để phân thức xác định: B ≠ 0

• Điều kiện để phân thức không xác định: B = 0

Nói tóm lại, để phân thức xác định thì mẫu của phân thức phải luôn khác 0.

Các bước tìm giá trị để phân thức xác định:

• Thiết lập điều kiện cho mẫu của phân thức khác 0

• Giải phương trình để tìm các giá trị khiến mẫu bằng 0

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các số thực loại trừ các giá trị vừa tìm được.

Ví dụ: f(x) = (x + 2)/(x^2 - 4)

• Điều kiện xác định: x^2 - 4 ≠ 0

• Ta giải phương trình x^2 - 4 = 0 -> x = 2 hoặc x = -2

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các giá trị x ngoại trừ x = 2 hoặc x = -2 -> Phân thức xác định khi x ≠ ±2

Diễn giải đồ thị hàm phân thức trên mặt phẳng toạ độ

Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm phân thức thường là một đường cong và có thể gồm nhiều nhánh do tồn tại các giá trị mà hàm số không xác định. Hình dạng của đồ thị phụ thuộc vào tử số, mẫu số và mối quan hệ giữa hai đa thức.

Miền xác định của hàm số được quyết định bởi mẫu số:

• Những giá trị của x làm mẫu số bằng 0 sẽ không thuộc tập xác định của hàm số.

• Tại các giá trị này, đồ thị sẽ bị gián đoạn và thường xuất hiện các đường tiệm cận đứng.

Bậc của tử số và mẫu số cũng ảnh hưởng đến dạng tổng quát của đồ thị. 

• Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, đồ thị sẽ tiến dần về đường thẳng y = 0 khi x tiến đến ±∞.

• Nếu bậc của tử số bằng bậc của mẫu số, đồ thị sẽ tiến dần về đường thẳng có tung độ bằng tỉ số giữa hai hệ số dẫn đầu.

• Nếu bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, đồ thị có thể xuất hiện đường tiệm cận xiên hoặc các dạng tiệm cận khác tùy thuộc vào kết quả phép chia đa thức.

Hướng của đồ thị sẽ phụ thuộc vào tử số, mẫu số và các đường tiệm cận của hàm số. Khác với hàm đa thức, hàm phân thức không có một quy tắc chung để xác định hướng của đồ thị chỉ dựa vào bậc hay hệ số dẫn đầu. 

Ví dụ: Xét hàm số f(x) = (x + 2)/(x^2 - 4)

Fig. 1. Function f(x) = (x + 2)/(x^2 - 4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source [1])

Người học nhận thấy được:

• Như đã giải ở trên, hàm số xác định khi x ≠ ±2 -> Đồ thị của hàm số bị gián đoạn tại x = ±2 (giá trị y tại điểm x = 2 bị ghi là undefined, tức là không xác định).

• Do bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi x tiến dần đến ±∞, giá trị của hàm số tiến dần đến 0, nên đồ thị tiến gần đến đường thẳng y = 0.

Lý thuyết chung về tìm giá trị của x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn

Dạng bài tìm giá trị của x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn là một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Thông thường, bài toán sẽ cho người đọc một giá trị của hàm số và đòi hỏi người học tìm giá trị x để hàm số đạt được giá trị đó. Điều này có nghĩa là người đọc cần tính giá trị của x khi biết giá trị của f(x) = m. Để giải quyết bài toán này, người học chỉ cần giải phương trình A/B = m để tìm ra nghiệm x.

Để giải quyết dạng bài này, người học chỉ cần thay giá trị đã cho vào hàm số, lập phương trình f(x) = m, sau đó giải phương trình để tìm nghiệm. Trong quá trình giải, cần lưu ý điều kiện xác định của hàm phân thức, tức là mẫu số phải khác 0. Sau khi tìm được nghiệm, người học nên kiểm tra lại xem các giá trị tìm được có làm mẫu số bằng 0 hay không. Nếu có, những giá trị đó phải bị loại. 

Ví dụ: f(x) = (x + 1)/(x - 2)

The function f is defined above. If f(x) = 3, what is the value of x?

Ta có f(x) = (x + 1)/(x - 2) và f(x) = 3. Như vậy, người học cần giải phương trình (x + 1)/(x - 2) = 3. 

Người học có thể xử lý câu hỏi này theo nhiều cách:

Cách 1: Giải phương trình

Trước hết, ta có điều kiện x - 2 ≠ 0 -> x ≠ 2.

Sau khi người học tìm được điều kiện, người học có thể giải phương trình như bình thường.

-> x + 1 = 3(x - 2)

-> x + 1 = 3x - 6

-> x = 7/2

Suy ra nghiệm là: x = 7/2.

Cách 2: Sử dụng đồ thị.

Với phương trình: (x + 1)/(x - 2)  = 3, ta xét vế trái: y = f(x) = (x + 1)/(x - 2). Đồ thị của hàm số này là một đường cong. Khi đó, nghiệm của phương trình ban đầu là các giá trị x sao cho y = f(x) = 3, tức là các điểm mà đường cong cắt đường thẳng y = 3.

Ta có: (x + 1)/(x - 2) cắt đường thẳng y = 3 tại điểm x = 7/2

Từ đó, ta có thể ra được kết luận:

Khi f(x) = 3 thì 7/2.

Fig. 2. Function f(x) = (x + 1)/(x - 2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source [2])

Tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn thức trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm giá trị của x tương ứng với giá trị hàm số được cho, tìm tổng, hiệu, tích hay thương giữa các giá trị của x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn, hoặc là trả lời các câu hỏi thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 3. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [3])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 4. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn

Để sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1:  Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

Người học đọc kĩ hàm phân thức được đề bài cung cấp và xác định yêu cầu của bài toán.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Người đọc nhập hàm phân thức được cho vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Sau đó, người học nhập giá trị f(x) = m được cho vào dòng thứ hai.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức. 

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng f(x) = m tương ứng.

Bước 3: Sau khi người học thấy được đồ thị được vẽ, người học bấm vào giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng f(x) = m. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và hoành độ của chúng chính là nghiệm x của phương trình f(x) = m. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tùy chọn) Thử lại các giá trị x tìm được vào hàm số gốc để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh họa:

Câu hỏi: 

The function f is defined by f(x) = 2/(2x^2 + 4x - 5). 

If f(x) = 2, what is the lower value of x?

A. 0

B. -2

C. -1

D. -3

Bước 1:  Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số: f(x) = 2/(2x^2 + 4x - 5)

• Tìm giá trị nhỏ hơn của x khi f(x) = 2.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: f(x) = 2/(2x^2 + 4x - 5) để hiện đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ

• Viết ở dòng thứ hai: f(x) = 2 để hiển thị đồ thị đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ

Lưu ý, với các số mũ hay phân số, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 5. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Desmos sẽ hiển thị các đồ thị trên mặt phẳng tọa độ. 

Fig. 6. Function 2/(2x^2 + 4x - 5) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 3: Người đọc bấm vào giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng f(x) = 2 để hiện ra được hai điểm là x = -3 và x = 1. Đề bài bảo người học tìm giá trị bé hơn -> x = -3 là đáp án.

-> Chọn D.

Fig. 7. Function f(x) = 1/(2x^2 + 5x - 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Bước 4 (tùy chọn): Thử lại bằng máy tính cầm tay: f(-3) = 2/[2(-3)^2 + 4(-3) - 5) = 2/(18 - 12 - 5) = 2/1 = 2 (Đúng)

-> Xác nhận phương án trên là đúng.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn [7]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The function f is defined by f(x) = (3x + 7)/(x - 2).

What is the value of x if f(x) = 16?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 

Answer: B

Question 2: 

The function p is defined by p(x) = (x + 6)/(2x - 3).

What is the value of x if p(x) = 1?

A. 9

B. 6

C. 4

D. 0

Answer: A

Question 3:

The function h is defined by h(x) = (3x - 7)/[2(x - 5)].

What is the value of x if h(x) = -5, rounded down?

A. -4

B. -2

C. 2

D. 4

Answer: D

Question 4:

Let p(x) = 2/(4x - 5). 

What is the value of x if p(x) = 1/2?

A. 1

B. 2/3

C. 9/4

D. 3/2

Answer: C

Question 5:

Let h(x) = (-3x + 2)/(-x - 5). 

What is the value of x if h(x) = -14?

A. -2

B. -4

C. -6

D. -8

Answer: B

Question 6:

The function f is defined by f(x) = 1/(2x^2 - 5x + 3).

What is the value of x if f(x) = -8?

A. -3/2

B. 3/2

C. -5/4

D. 5/4

Answer: D

Question 7:

The function h(x) = (x+1)/(x - 2) + 3(x - 2) takes the value -13/2. What is the sum of the values of x?

A. -3/2

B. 9/4

C. 3/2

D. 0

Answer: C

Question 8:

Let h(x) = [(x/2) + 5]/(x^2 - 9)​. 

What is the larger value of x if h(x) - 5 = 2, rounded up to the nearest integer?

A. 4

B. 3

C. -4

D. -3

Answer: A

Question 9:

A club has already raised $80 before selling raffle tickets. Each ticket sold raises an additional $4. The average amount of money raised per ticket sold is the total amount raised divided by the number of tickets sold.

If the average amount raised per ticket is $8, how many tickets were sold?

A. 16

B. 18

C. 20

D. 24

Answer: C

Question 10:

A construction crew had already completed 450 meters of paving before Monday morning. Beginning Monday, the crew paved 25 additional meters each hour.

The project manager measures hours per completed meter by dividing the total number of hours worked since Monday morning by the total number of meters completed since the project began.

If the project manager records 0.02 hours per meter, how many hours has the crew worked since Monday morning?

A. 12

B. 18

C. 15

D. 20

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị của biến x tương ứng với giá trị hàm phân thức cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.