Sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn.

Lý thuyết chung về hàm đa thức

Hàm đa thức có dạng tổng quát là:

\(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + . . . . + a_1 x + a_0\)

Trong đó: 

• x là biến số độc lập

• \(a_{n}\), \(a_{n-1}\), \(a_1\)… là các hằng số thực (\(a_{n}\) khác 0)

• \(a_{n}\) là hệ số dẫn đầu (leading coefficient)

• n là số mũ của x và là bậc của hàm số

Ví dụ: Hàm số \(y = x^3 - 4x\) là một hàm đa thức. 

Lý thuyết chung về hàm phân thức

Hàm phân thức đơn thuần là một hàm số có f(x) bằng thương của hai đa thức. Như vậy, hàm phân thức sẽ có dạng như sau:

\(f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\)

Trong đó:

• P(x) và Q(x) đại diện cho các đa thức

• Q(x) phải khác 0 (vì không thể chia cho 0).

• Lưu ý, hai đa thức cấu tạo nên một hàm phân thức không nhất thiết là phải cùng bậc.

Do Q(x) ≠ 0, nên tập xác định của hàm phân thức là {x ∈ R | Q(x) ≠ 0}. 

Với một phân thức có dạng P(x)/Q(x), ta luôn có Q(x) phải khác 0. Do đó, ta có:

• Điều kiện để phân thức xác định: Q(x) ≠ 0

• Điều kiện để phân thức không xác định: Q(x) = 0

Ví dụ: xét hàm phân thức\(f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}\)

• Điều kiện xác định: x^2 - 4 ≠ 0

• Tập hợp các giá trị khiến phân thức xác định là tất cả các giá trị x ngoại trừ x = 2 hoặc x = -2 -> Phân thức xác định khi x ≠ ±2

Lý thuyết về giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn 

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. 

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D, đồng thời tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M.

Ví dụ:

Cho hàm số f(x) = (20x - x^2 - 4) / x trên tập D = (0; +∞).

f(x) ≤ 16 với mọi x thuộc (0; +∞).

Tồn tại x = 2 thuộc D sao cho f(2) = (20*2 - 2^2 - 4) / 2 = 16.

Vậy giá trị lớn nhất M = 16 tại x = 2.

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D, đồng thời tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m.

Ví dụ:

Cho hàm số f(x) = (x^2 + 9) / x trên tập D = (0; +∞).

Có f(x) ≥ 6 với mọi x thuộc (0; +∞). Tồn tại x = 3 thuộc D sao cho f(3) = (3^2 + 9) / 3 = 6.

Vậy giá trị nhỏ nhất m = 6 tại x = 3.

Người học cần phân biệt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất và cực đại/cực tiểu. GTLN, GTNN của hàm số phải được xét trên toàn bộ miền xác định, không chỉ quanh một điểm. Một cực đại hoặc cực tiểu chỉ cho biết hàm cao hơn hoặc thấp hơn các điểm rất gần nó, nên chưa chắc là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên cả đoạn.

Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn, giá trị của x trong giới hạn cho trước mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất/nhỏ nhất,...

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định hàm phân thức được cho cũng như giá trị của hàm số tại biến cần tính.

Bước 2: Nhập hàm f(x) và sử dụng {} để nhập khoảng xác định của x. Nếu khoảng xác định là a ≤ x ≤ b, thì người học nhập {a ≤ x ≤ b} vào sau hàm số f(x). 

Bước 3: Quan sát và kết luận.

Người học kiểm tra các điểm trên đồ thị và xác định giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của hàm số. 

Lưu ý: Khi giới hạn của biến x là đoạn [a; b] chứa cả hai đầu mút (a ≤ x ≤ b) thì người học cần so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị (đỉnh/đáy đồ thị) và các điểm đầu mút của khoảng xác định (tại x = a và x = b) vì giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường nằm tại các vị trí này. 

Ví dụ: The function f is defined for all real numbers x ≠ 1 by f(x) = (x^2 - 4x + 7) / (x - 1). For x > 1, what is the minimum value of f(x)?

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Giải:

Bước 1: Đọc kỹ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số phân thức: f(x) = (x^2 - 4x + 7) / (x - 1).

• Miền giá trị giới hạn của biến x: x > 1.

• Yêu cầu: Tìm giá trị nhỏ nhất (min) của f(x).

Bước 2: Nhập hàm số và khoảng xác định vào Desmos.

f(x) = (x^2 - 4x + 7) / (x - 1) {x > 1}

Bước 3: Quan sát đồ thị và kết luận.

Fig. 3. Example. (Source: [3])

• Trong trường hợp này, điểm thấp nhất trong giới hạn của biến trùng với điểm cực trị của hàm số. Người học nhấp chuột vào điểm uốn trên đường cong đồ thị, DESMOS sẽ hiển thị tọa độ: (3, 2).

=> Chọn đáp án B.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để  tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The function f is defined for x > 2 by f(x) = (x^2 - 4x + 8) / (x - 2). What is the minimum value of f(x)?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Answer: B

Question 2: The function g is defined for x > -3 by g(x) = (x^2 + 6x + 18) / (x + 3). For what value of x does g(x) reach its minimum value?

A. -3

B. 0

C. 3

D. 6

Answer: B

Question 3: The function h is defined for x > 1 by h(x) = (-x^2 + 2x - 5) / (x - 1). What is the maximum value of h(x)?

A. -4

B. -2

C. 0

D. 4

Answer: A

Question 4: The function k is defined for x < 4 by k(x) = (-x^2 + 8x - 25) / (x - 4). For what value of x does k(x) reach its maximum value?

A. -1

B. 1

C. 4

D. 7

Answer: B

Question 5: The function f is defined by f(x) = (x^2 - 4x + 7) / (x - 2) for x  2. If a is the maximum value of f(x) for x < 2, and b is the minimum value of f(x) for x > 2, what is the value of a + b?

A. 0

B. 2

C. 4

D. 8

Answer: A

Question 6: A company manufactures custom printed t-shirts. The total cost, in dollars, to produce x t-shirts is modeled by C(x) = x^2 + 100x + 900. The average cost per t-shirt is given by A(x) = C(x) / x. For x > 0, what is the minimum average cost per t-shirt?

A. $100

B. $130

C. $160

D. $190

Answer: C

Question 7: An electric vehicle's energy efficiency E(v), in miles per kilowatt-hour, at a speed of v miles per hour is modeled by E(v) = (80v) / (v^2 + 400) for 0 < v <= 70. What is the vehicle's speed, in miles per hour, that maximizes its energy efficiency?

A. 20

B. 30

C. 40

D. 50

Answer: A

Question 8: A scuba diver's depth D(t), in meters below sea level, t minutes after starting a dive, is modeled by D(t) = (-40t) / (t^2 + 25) for 0 <= t <= 20. How many minutes after starting the dive does the diver reach their maximum depth?

A. 4

B. 5

C. 8

D. 10

Answer: B

Question 9: The function f is defined by f(x) = (18x) / (x^2 + 9) for 0 <= x <= 10. What is the maximum value of f(x)?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 18

Answer: A

Question 10: The function g is defined by g(x) = (8 - 8x) / (x^2 - 2x + 5) for 0 <= x <= 6. For what value of x does g(x) reach its minimum value?

A. -2

B. 1

C. 3

D. 5

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm phân thức với biến x giới hạn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.