Sử dụng DESMOS để tìm giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về phương trình trị tuyệt đối

Phương trình trị tuyệt đối hai ẩn có dạng tổng quát là:

y= a|x-h|+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Lý thuyết chung về phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính có thể có nhiều dạng. Nếu là phương trình tuyến tính một ẩn, phương trình sẽ thường có dạng như sau:

ax + b = 0 (a ≠ 0)

Trong đó:

• a là hệ số của ẩn x, trong đó a khác 0.

• b là hằng số,

• x là ẩn số cần tìm.
  

Nếu là phương trình tuyến tính hai ẩn, phương trình sẽ có hai dạng là:

Dạng slope-intercept:

y = mx + b

Trong đó: 

• m là hệ số góc của phương trình.

• b là hệ số tự do của phương trình.

Phương trình tuyến tính hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng tổng quát (standard/general form).

Ax + By = C

Trong đó: 

• -A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Lý thuyết chung về hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính

Hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính là một hệ phương trình bao gồm một phương trình trị tuyệt đối và một phương trình tuyến tính. 

y = mx + b

y=a|x-h|+k

Ví dụ: Xét hệ phương trình

y = 2|x + 1| - 3

x - 5 = 0

Trong trường hợp này: 

• y = 2|x + 1| - 3 là phương trình trị tuyệt đối, với a = 2, h = -1 và k = -3

• x - 5 = 0 là phương trình tuyến tính một ẩn, với a = 1 và b = -5.

Nghiệm của hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính

Nghiệm của hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính là các giá trị (x, y) thỏa mãn cả hệ, tức là thỏa mãn cả hai phương trình đã cho. Để tìm nghiệm của hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính, người học có thể theo các bước sau:

Bước 1: Người học nên giải phương trình tuyến tính trước để biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại (nếu là phương trình tuyến tính hai ẩn), hoặc tìm luôn giá trị của x (nếu là phương trình tuyến tính một ẩn).

Bước 2: Người học thế các giá trị vào phương trình trị tuyệt đối để được phương trình chỉ còn một ẩn; hoặc, nếu đã tìm được giá trị x ở bước 1, thì có thể giải luôn phương trình trị tuyệt đối.

Bước 3: Sau khi thế phương trình tuyến tính vào phương trình trị tuyệt đối, người học giải phương trình trị tuyệt đối một ẩn. Khi đó, cần sử dụng tính chất: ∣A∣ = B

• Nếu B < 0, phương trình vô nghiệm.

• Nếu B ≥ 0, ta giải hai trường hợp: A = B hoặc A = -B

Bước 4: Với mỗi giá trị của ẩn tìm được, người học thế ngược vào phương trình tuyến tính để tìm giá trị của ẩn còn lại.

Bước 5: Kiểm tra từng cặp (x, y) vào cả hai phương trình ban đầu để loại bỏ những giá trị không thỏa mãn hệ.

Ví dụ: Cho hệ phương trình:

y = 2x - 1

|x - 3| = y

Bước 1: Người học có y = 2x - 1.

Bước 2. Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình trị tuyệt đối để tạo phương trình hoành độ giao điểm

-> |x - 3| = 2x - 1

Bước 3: Xét hai trường hợp: x - 3 = 2x - 1 hoặc x - 3 = -(2x - 1).

Ta có:

• Từ trường hợp thứ nhất: x = -2..

• Từ trường hợp thứ hai: x = 4/3. 

Bước 4. Thế từng giá trị của x vào y = 2x - 1:

• Với x = -2: y = -5.

• Với x = 4/3: y = 5/3.

Bước 5: Kiểm tra:

• (x, y) = (-2,− -5): ∣-2 - 3∣ = 5 ≠ −5, nên loại.

• (4/3, 5/3): ∣4/3 - 3∣ = 5/3 nên nhận.

Vậy nghiệm của hệ là: (4/3​, 5/3)​. 

Diễn giải đồ thị hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy: Đồ thị của phương trình trị tuyệt đối y = a|x - h| + k:

• Có dạng chữ V, với đỉnh tại điểm (h, k).

• Hệ số a quyết định hướng mở và độ dốc của hai nhánh đồ thị.

• Nếu a > 0, đồ thị mở lên trên.

• Nếu a < 0, đồ thị mở xuống dưới.

• Giá trị |a| càng lớn, hai nhánh của đồ thị càng dốc.

• Giá trị |a| càng nhỏ, hai nhánh của đồ thị càng thoải.

Mặt khác, với phương trình tuyến tính, đồ thị là một đường thẳng kéo dài vô hạn theo cả hai hướng.

• Hệ số góc m quyết định độ dốc của đường thẳng:

  • Nếu m > 0, đường thẳng đi lên từ trái sang phải.

  • Nếu m < 0, đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

  • Nếu m = 0, đường thẳng song song với trục Ox.

• Hệ số b là tung độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Khi xét hệ phương trình gồm một phương trình trị tuyệt đối và một phương trình tuyến tính, nghiệm của hệ chính là tọa độ các giao điểm giữa hình chữ V và đường thẳng.

Tùy theo vị trí tương đối của hai đồ thị, hệ phương trình có thể:

• Có một nghiệm nếu hai đồ thị tiếp xúc hoặc cắt nhau tại đúng một điểm.

• Có hai nghiệm nếu hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

• Không có nghiệm nếu hai đồ thị không cắt nhau.

Ta có thể xét ví dụ cho cả ba trường hợp

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:

y = 2x - 1

|x - 3| = y 

Ta đã tìm ra x = 4/3 và y = 5/3 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

-> Đồ thị |x - 3| = y cắt đồ thị y = 2x - 1​ tại một điểm duy nhất là (4/3, 5/3).

Fig. 1. Equations y = 2x - 1 and |x - 3| = y on the Desmos Graphing Calculator​. (Source: [1])

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

|x| = y

y = 2

Thế y = 2 vào phương trình trị tuyệt đối:

-> ∣x∣ = 2.

-> x = 2 hoặc x = -2.

Với cả hai giá trị của x, ta đều có: y = 2.

Vậy: (x, y) = (-2, 2) và (2, 2) là hai nghiệm của hệ.

-> Đồ thị y = ∣x∣ cắt đường thẳng y = 2 tại hai điểm phân biệt (-2, 2) và (2, 2).

Fig. 2. Equations |x| = y and y = 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình:

|x| = y

y = -1

Thế các giá trị, ta có:

|x| = -1

Do trị tuyệt đối không bao giờ âm trên trục số thực -> Vô lý

Vì vậy phương trình không có nghiệm, suy ra hệ phương trình vô nghiệm. 

-> Đồ thị |x| = y không cắt đồ thị y = -1.

Fig. 3. Equations |x| = y and y = -1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm nghiệm của hệ phương trình, xác định tính đúng/sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm, tìm các hằng số/hệ số để phương trình có nghiệm, cũng như là trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính

Để sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính cũng như câu hỏi của đề bài. Nếu cần thiết, người học nên chuyển hết các ẩn ra một vế = y hoặc = 0.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học lần lượt viết các phương trình của hệ vào trong hai dòng khác nhau của giao diện DESMOS.

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động hiện đồ thị các phương trình tương ứng.

Bước 3: Sau đó, để tìm nghiệm, người học có thể bấm vào giao điểm giữa hai đồ thị của hai phương trình. DESMOS sẽ hiện ra tọa độ của các điểm này, và toạ độ (x, y) đó chính là nghiệm của phương trình. Sau đó, tuỳ vào đề bài, người học làm những phép tính toán cần thiết.

Bước 4: (tuỳ chọn) Thử lại nghiệm vào hệ phương trình để kiểm tra đáp án.

Ví dụ minh hoạ:

Consider the system of equations below:

y = |2x - 5| + 1

y = 3x - 8

What is the value of x?

A. -2

B. 1

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hệ phương trình được cho có hai phương trình:

  • y = |2x - 5| + 1 là phương trình chứa trị tuyệt đối

  • y = 3x - 8 là phương trình tuyến tính

• Đề bài yêu cầu tìm giá trị x.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: y = |2x - 5| + 1

• Viết ở dòng thứ hai: y = 3x - 8

Lưu ý, với dấu trị tuyệt đối, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ hiển thị các đồ thị trên mặt phẳng toạ độ.

Fig. 7. Equations y = |2x - 5| + 1 and y = 3x - 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học bấm vào giao điểm của hai đồ thị để hiển thị nghiệm của hệ phương trình.

Fig. 8. Equations y = |2x - 5| + 1 and y = 3x - 8 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Trong trường hợp này, giao điểm (4, 4) chính là giá trị (x, y) để thỏa mãn hệ phương trình. Đề bài yêu cầu tìm giá trị x:

-> x = 4

-> Chọn đáp án D.

Bước 4: (Tuỳ chọn) Người học thế lại điểm (4, 4) vào trong hệ phương trình để xét tính đúng sai của đáp án.

Ta có: 

4 = |2(4) - 5| + 1 -> 4 = |3| + 1 -> 4 = 4 (Đúng)

4 = 3(4) - 8 -> 4 = 12 - 8 -> 4 = 4 (Đúng)

-> Xác định được đáp án B là chính xác.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 9: Absolute value and Polynomial

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

Consider the system of equations below:

∣2y - 3x∣ = x + y + 5

4x - 3y = 1

Which of the following is the solution to the system?

A. (-2, -3)

B. (2, -3)

C. (-2, 3)

D. (2, 3)

Answer: A

Question 2: 

Consider the system of equations:

|3x + 1| - y + 6 = 0

y = 14 - 4x

If (x, y) is the solution to the system, what is y - 2x?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Answer: D

Question 3:

The system below has two solutions, (x1, y1) and (x2, y2).

2∣x - 4∣ + 3y = 10

2y = x - 2

What is the value of x1 + x2?

A. 6

B. 0

C. ​-4

D. 4

Answer: C

Question 4:

Consider the system of equations below:

∣2x - 5∣ = 3y + 2

x + 2y = 7

The system has two solutions. What is the sum of the y-coordinates of the two solutions?

A. 6

B. 12

C. -10

D. -4

Answer: B

Question 5:

Consider the system below:

∣2x - 4∣ = x - 5y + 5

3x + 2y = 14

How many solutions does this system have?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Answer: A

Question 6:

The system

∣2x - 5∣ = y + 3

x + y = 7

has two solutions, (x1, y1) and (x2, y2), where x1 < x2.

What is the value of (x1 + y1) - (x2 + y2)

Answer: 0

Question 7:

For which value of k does the system have exactly one integer solution?

2y = |x + 8| - 5

y = k - 2x

A. 1

B. 3

C. 5

D. -1

Answer: D

Question 8:

For a real number k, consider the system

∣2x - y - 3∣ = x + 1 

y = x + k

For which value of k does the system have no solutions?

A. 4

B. -4

C. -8

D. 0

Answer: C

Question 9:

The integer ordered pair (x, y) satisfies

|3x + 10| = y - 8

3x + 2y = 18

What is the value of x^2 + y^2? 

A. 89

B. 148

C. 169

D. 125

Answer: B

Question 10:

A laboratory is calibrating a sensor. Let x represent the sensor's numerical reading and y represent the correction applied to that reading.

The absolute difference between twice the sensor reading and 6, decreased by the correction, is 4. The sum of the sensor reading and the correction is 10.

Because x represents a measured reading, the laboratory only considers solutions for which x > 0 and y > 0.

What is the value of x - y?

A. 20/3

B. 0

C. 10/3

D. 14/3

Answer: C

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để giải hệ phương trình trị tuyệt đối - tuyến tính. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.