Sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị.

Lý thuyết chung về hàm số bậc cao

Hàm số bậc cao là một đa thức với bậc lớn hơn 2. Hàm số bậc cao thường có dạng

Hàm số bậc cao được xác định trên R và liên tục trên R.

• Hạng tử: Là mỗi phần tử trong đa thức

• Biến số: Là thành phần đại diện cho giá trị chưa biết (x, y, a,…)

• Bậc của hạng tử: Là số mũ của biến đó. 

• Bậc của hàm số đa thức: Là bậc lớn nhất của các hạng tử.

• Hệ số: Số đứng trước biến. Trong hạng tử 7x, hệ số là 7.

• Hệ số tự do: Hạng tử không chứa biến (biến bậc 0).

Ngoài dạng tổng quát, các hàm số bậc cao thường được viết dưới dạng nhân tử (Factored form):

Đồ thị của hàm đa thức bậc cao là các đường cong liên tục, trơn, không có góc nhọn và có thể đổi chiều nhiều lần.

• Hàm bậc ba  y = ax^3 + bx^2 + cx + d thường có  đồ thị  dạng chữ “N” hoặc chữ “N” ngược và đồ thị hướng lên khi a > 0; đồ thị hướng xuống khi a < 0.

• Hàm bậc bốn y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e đồ thị cả hai đầu đồ thị đều hướng lên trên khi a>0; đồ thị có cả hai đầu đều hướng xuống dưới khi a<0. 

Đặc điểm hình học và số giao điểm tối đa với trục hoành

Đồ thị của hàm số đa thức bậc cao là một đường cong trơn, liên tục, không gãy khúc và có thể đổi chiều nhiều lần.

• Định lý: Một hàm số đa thức bậc n có tối đa n nghiệm thực (bao gồm cả nghiệm bội). Do đó, đồ thị của nó chỉ có thể cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành Ox tại tối đa n điểm.

• Khi giá trị x tiến tới vô cực:

  • Bậc lẻ (n lẻ): Hai đầu của đồ thị luôn đi về hai hướng trái ngược nhau. Khi x tiến đến âm vô cực và dương vô cực, đồ thị đi từ dưới lên trên (nếu a > 0) hoặc từ trên xuống dưới (nếu a < 0). Vì đi từ âm vô cực sang dương vô cực, đồ thị hàm bậc lẻ luôn cắt trục Ox ít nhất 1 lần.

    • Hàm bậc ba (y = ax^3 + bx^2 + cx + d): Đồ thị có hình dạng chữ "N" (khi a > 0) hoặc chữ "N" ngược (khi a < 0). Có tối đa 3 giao điểm với Ox.

  • Bậc chẵn (n chẵn): Hai đầu đồ thị luôn đi về cùng một hướng (cùng hướng lên trên nếu a > 0; cùng hướng xuống dưới nếu a < 0). Đồ thị hàm bậc chẵn có thể không giao với trục Ox (vô nghiệm thực).

    • Hàm bậc bốn (y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e): Đồ thị có dạng chữ "W" hoặc chữ "M", hoặc dạng parabol dẹt ở đáy. Có tối đa 4 giao điểm với Ox.

    • Hàm bậc bốn trùng phương (y = ax^4 + bx^2 + c): Đồ thị đối xứng qua trục tung Oy. Có thể có 0, 1, 2, 3 hoặc 4 giao điểm với Ox tùy thuộc vào dấu của các hệ số.

Sự liên hệ giữa số bội của nghiệm và hành vi đồ thị tại hoành độ gốc

Hành vi của đồ thị khi đi qua hoành độ gốc (r, 0) phụ thuộc vào số bội k của nghiệm đó trong dạng nhân tử:

• Nghiệm bội lẻ (k = 1, 3, 5, ...): Đồ thị cắt thẳng qua trục hoành Ox tại điểm x = r.

  • Nếu k = 1 (nghiệm đơn), đồ thị cắt qua trục Ox khá dốc và thẳng.

  • Nếu k là số lẻ lớn hơn 1 (ví dụ k = 3), đồ thị sẽ hơi đi ngang dẹt lại (tạo điểm uốn) ngay tại điểm x = r trước khi tiếp tục cắt qua.

• Nghiệm bội chẵn (k = 2, 4, 6, ...): Đồ thị tiếp xúc và nảy ngược lại chứ không đi xuyên qua trục Ox tại điểm x = r.

Ví dụ: Xét hàm bậc bốn: f(x) = x^4 + 6x^3 + 8x^2 - 6x - 9. 

Bằng cách phân tích nhân tử, ta viết lại được dưới dạng: f(x) = (x - 1)*(x + 1)*(x + 3)^2.

• Nghiệm x = 1 có số bội lẻ là 1: Đồ thị cắt qua trục Ox tại điểm (1, 0).

• Nghiệm x = -1 có số bội lẻ là 1: Đồ thị cắt qua trục Ox tại điểm (-1, 0).

• Nghiệm x = -3 có số bội chẵn là 2: Đồ thị tiếp xúc và nảy lại tại điểm (-3, 0).

Như vậy đồ thị này có đúng 3 hoành độ gốc (x-intercepts) mặc dù đây là hàm số bậc 4.

Fig. 1. f(x)=(x-1)*(x+1)*(x+3)^{2} on the Graphing Calculator. (Source: [1])

Cách tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị

Để xác định hàm số đa thức bậc cao tương ứng với số lượng giao điểm với trục Ox (hoặc số lượng nghiệm phân biệt) cho trước, người học cần dựa vào việc phân tích các nhân tử của hàm số trong từng đáp án. Mỗi nhân tử bậc nhất có dạng (x - c) sẽ tương ứng với một nghiệm x = c, và số lượng các giá trị c phân biệt chính là số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số đó với trục Ox (x-intercepts).

Bước 1: Đọc kĩ yêu cầu đề bài để xác định số lượng giao điểm phân biệt với trục Ox (hay số lượng nghiệm phân biệt) mà đồ thị hàm số cần có.

Bước 2: Phân tích từng hàm số trong các đáp án được cho. Các hàm số thường được viết dưới dạng tích của các nhân tử. Tìm các nghiệm thực của mỗi hàm số bằng cách cho từng nhân tử bằng 0.

Bước 3: Đếm số lượng nghiệm phân biệt thu được ở mỗi đáp án. Cần lưu ý bỏ qua sự lặp lại của các nghiệm (bội số của nghiệm do số mũ của các nhân tử lớn hơn 1), vì dù nghiệm có bậc bội bao nhiêu thì chúng cũng chỉ biểu diễn một vị trí giao điểm duy nhất trên trục Ox.

Bước 4: Đối chiếu số lượng nghiệm phân biệt vừa đếm được với yêu cầu của đề bài. Hàm số có số lượng nghiệm phân biệt khớp với số lượng giao điểm đề bài yêu cầu chính là đáp án cần chọn.

Ví dụ: Which of the following functions has exactly three distinct x-intercepts in the xy-plane?

A. f(x) = (x - 4)^2 * (x + 2)^2

B. f(x) = (x - 4)(x + 2)(x - 5)^2

C. f(x) = (x - 4)(x + 2)(x - 5)(x + 7)

D. f(x) = (x - 4)^4

Hướng dẫn làm bài: 

Bước 1: Đọc kĩ yêu cầu đề bài. Đề bài yêu cầu tìm hàm số có chính xác 3 giao điểm phân biệt với trục Ox. Điều này đồng nghĩa với việc phương trình f(x) = 0 phải có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.

Bước 2 và 3: Xét từng hàm số trong mỗi đáp án bằng cách tìm các nghiệm của f(x) = 0 (cho các nhân tử bằng 0) và đếm số lượng nghiệm phân biệt:

A. f(x) = (x - 4)^2 * (x + 2)^2 = 0 => x = 4 hoặc x = -2. Hàm số này có 2 nghiệm phân biệt (tương ứng 2 giao điểm với trục Ox). => Loại.

B. f(x) = (x - 4)(x + 2)(x - 5)^2 = 0 => x = 4, x = -2, hoặc x = 5. Hàm số này có 3 nghiệm phân biệt (tương ứng 3 giao điểm với trục Ox).

C. f(x) = (x - 4)(x + 2)(x - 5)(x + 7) = 0 => x = 4, x = -2, x = 5, hoặc x = -7. Hàm số này có 4 nghiệm phân biệt (tương ứng 4 giao điểm với trục Ox). => Loại.

D. f(x) = (x - 4)^4 = 0 => x = 4. Hàm số này chỉ có 1 nghiệm duy nhất (tương ứng 1 giao điểm với trục Ox). => Loại.

Bước 4: Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện. Đáp án B là hàm số duy nhất có chính xác 3 nghiệm phân biệt, khớp với yêu cầu đề bài là có 3 giao điểm với trục Ox. Do đó, người học chọn đáp án B.

Tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị là vô cùng đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về số lượng giao điểm của đồ thị hàm số đa thức với trục hoành, xác định phương trình hàm số bậc cao thỏa mãn số hoành độ gốc cho trước, hoặc tìm giá trị của tham số để đồ thị đạt số giao điểm theo yêu cầu.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị

Để giải quyết các bài toán yêu cầu tìm hàm số dựa trên số lượng giao điểm với trục hoành bằng DESMOS, người học sẽ sử dụng tính năng vẽ đồ thị đa thức và quan sát trực quan sự tương tác giữa đồ thị và trục Ox. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp. Người học đọc kĩ đề bài để xác định số lượng x-intercepts mà đồ thị hàm số phải có. Chú ý các từ khóa như "exactly three distinct x-intercepts" (đúng 3 giao điểm phân biệt) hoặc các tính chất đi kèm như "tangent" (tiếp xúc).

Bước 2: Nhập các phương án hàm số vào ô nhập dữ liệu của DESMOS graphing calculator. Người học lần lượt nhập các biểu thức hàm số từ các đáp án A, B, C, D vào các dòng dữ liệu riêng biệt. DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị tương ứng cho từng hàm số. Người học có thể bật/tắt hiển thị từng đồ thị bằng cách bấm vào biểu tượng vòng tròn màu ở đầu mỗi dòng để tránh rối mắt.

Bước 3: Đối chiếu số lượng giao điểm và lựa chọn đáp án. Khi đồ thị hiển thị, người học đếm số lần đường cong đồ thị cắt hoặc chạm vào trục Ox. Để chắc chắn, người học có thể dùng chuột click trực tiếp vào đồ thị tại các vị trí gần trục hoành; DESMOS sẽ lập tức hiển thị các dấu chấm xám kèm tọa độ tại các hoành độ gốc. Hàm số nào có số lượng chấm xám trên trục Ox khớp với số lượng giao điểm đề bài yêu cầu chính là đáp án đúng.

Ví dụ minh họa: Which of the following functions has exactly three distinct x-intercepts in the xy-plane? 

A. f(x) = (x + 3)^2 * (x - 1)^2 

B. f(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 9)^2 

C. f(x) = (x + 3)(x - 1)(x + 9)(x - 2)

D. f(x) = (x + 3)^4

Hướng dẫn giải bằng DESMOS:

Bước 1: Đề bài yêu cầu tìm hàm số có ĐÚNG 3 giao điểm phân biệt với trục hoành (exactly three distinct x-intercepts).

Bước 2: Lần lượt nhập 4 phương án vào DESMOS.

Bước 3: Bật và quan sát từng đồ thị:

Bật đồ thị A: Đồ thị tiếp xúc trục Ox tại 2 điểm x = -3 và x = 1. Số lượng giao điểm là 2 => Loại.

Bật đồ thị B: Đồ thị cắt Ox tại x = -3, x = 1 và tiếp xúc Ox tại x = -9. Tổng số giao điểm phân biệt là 3 => Khớp với yêu cầu.

Bật đồ thị C: Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là -9, -3, 1, 2. Số lượng giao điểm là 4 => Loại.

Bật đồ thị D: Đồ thị chỉ tiếp xúc Ox tại đúng 1 điểm x = -3 => Loại.

=> Chọn đáp án B.

Fig. 4. f(x)=(x+3)(x-1)(x+9)^{2} on the Graphing Calculator. (Source: [4])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1, 2, 3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm tại: Sử dụng DESMOS để tìm hệ số thoả mãn điều kiện hệ phương trình bậc nhất

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm của đồ thị với Ox. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Which of the following polynomial functions has exactly two distinct x-intercepts in the xy-plane?

A. p(x) = (x - 2)^3

B. p(x) = x^4 - 5x^2 + 4

C. p(x) = (x^2 - 9)(x - 3)

D. p(x) = x^3 + x

Answer: C

Question 2:

The graph of which of the following functions intersects the x-axis at exactly three distinct points?

A. g(x) = (x^2 + 4)(x - 1)(x + 2)

B. g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2

C. g(x) = (x - 5)^2 * (x + 5)^2

D. g(x) = x^3 - 4x^2 + 4x

Answer: B

Question 3:

Which of the following functions has a graph in the xy-plane that is tangent to the x-axis at exactly one point and crosses the x-axis at exactly two other points?

A. f(x) = (x - 1)^2 (x + 2)^2 (x - 3)

B. f(x) = (x^2 - 1)(x - 4)^2

C. f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

D. f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)

Answer: B

Question 4:

A polynomial function f(x) of degree 4 has exactly three distinct x-intercepts. If the graph of f passes through (0, -18) and is tangent to the x-axis at x = 3, which of the following could be the equation of f(x)?

A. f(x) = -2(x - 3)^2 * (x + 1)(x - 1)

B. f(x) = -(x - 3)^2 * (x + 2)(x - 1)

C. f(x) = 2(x - 3)^2 * (x + 1)^2

D. f(x) = 2(x - 3)^2 * (x + 1)(x - 1)

Answer: D

Question 5:

The polynomial function p(x) = x^4 + kx^3 - 3x^2 - 4x - 4 has exactly two distinct real x-intercepts. If one of these x-intercepts is at x = 2, what is the value of the constant k?

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

Answer: C

Question 6:

A civil engineer is designing a curved path modeled by the polynomial function f(x) = (x^2 - c)(x^2 - 6x + 9), where x represents the distance in meters. The path intersects the straight main road (represented by the x-axis) at exactly two distinct points. If c is a positive integer, what is the value of c?

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

Answer: C

Question 7:

The biquadratic function g(x) = x^4 - 2mx^2 + m^2 - 4 has exactly three distinct x-intercepts in the xy-plane. What is the sum of the x-coordinates of all these intercepts?

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

Answer: B

Question 8:

A roller coaster's elevation profile over a certain segment is modeled by a cubic function h(t) = at^3 + bt^2 + ct + d, where h(t) is the height in meters and t is the time in seconds. The track is tangent to the ground (t-axis) at t = -2 and cuts through the ground level into an underground tunnel at t = 4. If the coaster's height at t = 0 is exactly 16 meters, what is its height at t = 1?

A. -9

B. -27

C. 27

D. 45

Answer: C

Question 9:

The polynomial function h(x) = (x^2 - 2x - 8)(x^2 - ax + 20) has exactly three distinct x-intercepts in the xy-plane. Which of the following could be the value of the constant a?

A. -12

B. -8

C. 5

D. 12

Answer: A

Question 10:

A 5th-degree polynomial function is given by P(x) = x(x^2 - 25)(x^2 - 4x + k). If the graph of this function has exactly three distinct x-intercepts, what is the minimum possible integer value of k?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Answer: C

Đọc thên tại: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hàm số bậc cao tương ứng với số giao điểm với Ox của đồ thị. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.