Sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT.

Lý thuyết chung về hàm số chứa căn bậc hai cơ bản

Hàm số chứa căn bậc hai cơ bản có dạng tổng quát là:

y=f(x) =a√(x-h)+k

Trong đó: 

• a, h, và k là các hằng số.

Điều kiện xác định: (x - h) ≥ 0.

Diễn giải đồ thị hàm số chứa căn thức trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy:

• Đồ thị của hàm số y = f(x) = a√(x - h) + k là một đường cong bắt đầu từ điểm (h, k).

• Hàm số chỉ xác định khi x ≥ h, nên đồ thị chỉ tồn tại về phía bên phải của đường thẳng x = h.

• Điểm (h, k) là điểm đầu của đồ thị, được gọi là endpoint.

• Các cặp giá trị (x, y) thoả mãn hàm số sẽ nằm trên đồ thị.

Ngoài ra, người học có thể thấy hệ số a sẽ quyết định chiều biến thiên của đồ thị.

• Nếu a > 0, đồ thị tăng dần từ điểm (h, k).

• Nếu a < 0, đồ thị giảm dần từ điểm (h, k).

Cuối cùng, như đã nêu trên, x-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Ox, và y-intercept là điểm mà đồ thị hàm số sẽ giao trục Oy.

Ví dụ: Xét hàm số y = f(x) = 2√(x + 1) - 4.

Ta có điều kiện xác định là x + 1 ≥ 0 -> x ≥ -1. Như vậy, đồ thị sẽ chỉ tồn tại ở phía bên phải của đường thẳng x = -1.

Ngoài ra, người học có thể thấy rằng, trong trường hợp này, k = -4 và a = 2 > 0.

Như vậy, đồ thị sẽ bắt đầu từ điểm (-1, -4) và tăng dần. 

Người học cũng có thể thay thử x = 3 vào hàm số.

-> y = f(x) = 2√(3 + 1) - 4 = 4 - 4 = 0.

-> Điểm (3, 0) sẽ thuộc đồ thị hàm số.

Fig. 1. Function f(x) = 2√(x + 1) - 4 and (3, 0) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Lý thuyết về tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị

Dạng bài tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị là một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Thông thường, bài toán sẽ yêu cầu người đọc tìm một hằng số hay hệ số trong hàm số chứa căn trong khi đề bài cho trước một cặp giá trị, hoặc một điểm mà hàm số đi qua. Để giải quyết bài toán này, người đọc thông thường cần theo các bước như sau:

Bước 1. Người học phải xác định miền xác định của hàm số. Trước hết thì điều kiện dưới dấu căn phải không âm, nhưng người học cũng sẽ phải kết hợp với khoảng giới hạn của biến (nếu đề bài cho).

Bước 2. Người học thay các giá trị được cho trong đề bài vào trong hàm số. Khi này, người học sẽ có một phương trình để giải. Cách giải phương trình này sẽ tuỳ thuộc vào việc đề bài đang yêu cầu tìm hệ số hay hàm số.

Ví dụ, nếu đề bài yêu cầu tìm hàm số a trong y = a√(x - h) + k thì sau khi người học thay được các giá trị vào, người học có thể tìm a một cách đơn giản. Tuy nhiên, nếu hằng số chưa biết ở trong căn thức, người học sẽ phải bình phương căn thức lên để giải phương trình.

Bước 3. Cuối cùng, người học sẽ tìm ra được hằng số/hệ số chưa biết và có thể tiếp tục các tính toán cần thiết của đề bài (nếu có thêm).

Ví dụ 1:

f(x) = a√(x - 1) ​+ 4.

If f(10) = 13, what is a?

Ta có

• Đề bài yêu cầu tìm a

• f(10) = 13 -> x = 10 và f(x) = y = 13 thỏa mãn hàm số.

-> Thay (10, 13) vào hàm số, ta có.

13 = a√(10 - 1) ​+ 4 -> 10 = a√9 + 4 -> 13 = 3a + 4 -> a = 3

Như vậy,  a = 3 và f(x) = a√(x - 1) ​+ 4

Fig. 2. Function f(x) = 3√(x - 1) ​+ 4 on the Desmos Graphing Calculator. (Source [2])

Ví dụ 2:

f(x) = 2√(bx + 1).

If f(4) = 6, what is b?

Ta có

• Đề bài yêu cầu tìm b

• f(4) = 6 -> x = 4 và f(x) = y = 6 thỏa mãn hàm số.

-> Thay (4, 6) vào hàm số, ta có.

6 = 2√(4b + 1) ​-> 3 = √(4b + 1)

Vì b nằm trong căn thức, người học sẽ phải bình phương cả hai vế:

-> 9 = 4b + 1 -> b = 2

Như vậy,  b = 2 và f(x) = 2√(2x + 1)

Fig. 3. Function f(x) = 2√(2x + 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source [3])

Tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về việc tìm hằng số hoặc hệ số chưa biết, tìm cả hai trong cùng một bài, hoặc trả lời các câu hỏi mang tính thực tế liên quan đến chủ đề.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 4. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [4])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 5. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị

Để sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị và tính năng slider. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ đề bài để xác định các dữ kiện được cho, trong trường hợp này là hàm số chứa căn bậc hai, các giá trị được cho trước, cũng như câu hỏi của đề bài.

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. 

Trong trường hợp này, người học trước hết viết hàm số được cho sẵn trong đề bài cũng như là các điểm đồ thị đi qua vào DESMOS. Lưu ý, nếu đề bài cho cặp giá trị, người học phải chuyển đổi chúng về dạng điểm.

Ví dụ: f(m) = n -> f(x) đi qua (m, n)

Nếu người học cần gõ các ký tự đặc biệt, người học có thể bấm vào ký hiệu bàn phím ở góc dưới trái của màn hình để hiện ra chức năng bàn phím để hỗ trợ trong việc bấm biểu thức.

DESMOS sẽ tự động hiển thị các điểm tương ứng.

Bước 3: Để DESMOS vẽ đồ thị của hàm số, người học có thể bấm các giá trị của các hằng số hay hệ số lên Desmos để hiện lên các thanh slider bằng cách bấm vào nút “add slider” cho những hằng số và hệ số cần tìm.

Bây giờ, DESMOS sẽ vẽ đồ thị của hàm số. 

Sau đó, người học kéo các thanh slider đi qua được các giá trị cho trước hay thỏa mãn được yêu cầu đề bài. Sau đó người học có thể diễn giải hàm số để tìm ra đáp án.

Bước 4: (Tuỳ chọn) Người học có thể thay giá trị được cho trong đề bài vào hàm số để thử kết quả.

Ví dụ minh hoạ:

The function f is defined by

f(x) = a√(x + 4) - 2, where a is a constant.

The graph of f passes through the point (5, 7). Which of the following is the value of a?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 9

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: f(x) = a√(x + 4) - 2

• Đồ thị hàm số đi qua điểm (5, 7)

• Đề bài yêu cầu tìm giá trị a

Bước 2: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Viết ở dòng đầu tiên: f(x) = a√(x + 4) - 2 để hiện ra tính năng slider

• Viết ở dòng thứ hai: điểm (5, 7) rồi bấm “label”

Lưu ý, với dấu căn thức, người học nên sử dụng phần bàn phím như đã nêu trên.

Fig. 6. The Calculator function on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Desmos sẽ trước hết hiển thị điểm (5, 7) trên mặt phẳng toạ độ.

Fig. 7. Function f(x) = a√(x + 4) - 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Bước 3: Người học  bấm “add slider” cho ẩn a để hiện slider trên DESMOS. Bây giờ đồ thị của hàm số cũng sẽ được vẽ trên giao diện.

Fig. 8. Function f(x) = a√(x + 4) - 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Cuối cùng, người học kéo thanh slider đến khi đồ thị của hàm số f(x) đi qua điểm (5, 7).

Fig. 9. Function f(x) = a√(x + 4) - 2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

Trong trường hợp này, người học có thể thấy là với giá trị a = 3, hàm số f(x) = a√(x + 4) - 2 sẽ đi qua điểm (5, 7).

-> Hàm số f(x) = 3√(x + 4) - 2

-> Chọn đáp án B.

Bước 4: (Tuỳ chọn) Người học thế lại điểm (5, 7) vào trong hàm số mới để xét tính đúng sai của đáp án.

-> 7 = 3√(5 + 4) - 2

-> 7 = 2√9 - 2

-> 7 = 9 - 2 = 7 (Đúng).

-> Xác định được đáp án B là chính xác.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Các quy tắc số mũ (exponent) và căn bậc (radical) trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị [8]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

The graph of f(x) = a√(x + 9) - 5 passes through the point (27, 7).

What is the value of a?

A. 1

B. 3/2

C. 2

D. 3

Answer: C

Question 2: 

The graph of f(x) = k - 2√(x - 6) passes through the point (10, 1).

What is the value of k?

A. 5

B. 1

C. -3

D. -7

Answer: A

Question 3:

The function g is defined by g(x) = √(ax + 5) - 4, where a is a positive constant.

The graph of g passes through the point (19, 6). What is the value of a?

A. 7
B. 5
C. 9
D. 3

Answer: B

Question 4:

A radical function is defined by f(x) = 3√(x - h) - 6.

If the x-intercept of f(x) is at x = 2, what is the value of h?

A. -4

B. 2

C. 4

D. -2

Answer: D

Question 5:

The radical function f(x) = a√(x + 4) + 1 passes through the point (5, 10).

What is the value of 2a + 1?

A. 10

B. 7

C. 4

D. 1

Answer: B

Question 6:

The graph of the radical function g(x) = k√(x - h) passes through the points (10, 15) and (1, 0).

What is the value of k?

A. 1

B. -5

C. 10

D. 5

Answer: D

Question 7:

The graph of g(x) = a√(x- 2) + k passes through the points (3, 8) and (18, 20).

What is the value of ak?

A. 16

B. 20

C. 24

D. 28

Answer: A

Question 8:

The graph of f(x) = a√(x + b) + 6 has an endpoint at (-9, 6).

If the graph passes through (7, 14) what is the value of a + b?

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

Answer: C

Question 9:

The radical function f(x) = a√(x - h) + k has an endpoint at (5,-2). 

The graph also passes through (9, 6).

What is the value of a + h + k?

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

Answer: B

Question 10:

A wildlife researcher models the width (in meters) of a growing circular algae patch after t weeks using 

W(t) = a√(t + b) + 2.

The algae patch first begins growing at t = 4, and after 13 weeks its width is 17 meters.

What is the value of a + b?

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hằng số/hệ số chưa biết của hàm số chứa căn cho trước cặp giá trị. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.