Sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm.

Lý thuyết chung về hàm số bậc cao

Hàm số bậc cao là một đa thức với bậc lớn hơn 2. Hàm số bậc cao thường có dạng

Hàm số bậc cao được xác định trên R và liên tục trên R.

• Hạng tử: Là mỗi phần tử trong đa thức

• Biến số: Là thành phần đại diện cho giá trị chưa biết (x, y, a,…)

• Bậc của hạng tử: Là số mũ của biến đó. 

• Bậc của hàm số đa thức: Là bậc lớn nhất của các hạng tử.

• Hệ số: Số đứng trước biến. Trong hạng tử 7x, hệ số là 7.

• Hệ số tự do: Hạng tử không chứa biến (biến bậc 0).

Ngoài dạng tổng quát, các hàm số bậc cao thường được viết dưới dạng nhân tử (Factored form):

Đồ thị của hàm đa thức bậc cao là các đường cong liên tục, trơn, không có góc nhọn và có thể đổi chiều nhiều lần.

• Hàm bậc ba  y = ax^3 + bx^2 + cx + d thường có  đồ thị  dạng chữ “N” hoặc chữ “N” ngược và đồ thị hướng lên khi a > 0; đồ thị hướng xuống khi a < 0.

• Hàm bậc bốn y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e đồ thị cả hai đầu đồ thị đều hướng lên trên khi a>0; đồ thị có cả hai đầu đều hướng xuống dưới khi a<0. 

Xem thêm: Lộ trình tự học SAT® từ 400 đến 1200+ cho người mới bắt đầu tại nhà

Lý thuyết về định lý phần dư và định lý nhân tử

Bên cạnh các kiến thức chung về bậc, hệ số và hình dáng đồ thị, để giải quyết dạng bài tìm hệ số chưa biết trong một đa thức bậc cao, người học cần nắm vững hai định lý cốt lõi sau đây:

• Định lý phần dư (Remainder Theorem): Khi chia một đa thức P(x) cho một nhị thức bậc nhất có dạng (x - a), phần dư (remainder) thu được chính là giá trị của đa thức tại x = a. Nói cách khác, Phần dư R = P(a).

  • Ví dụ: Nếu P(x) chia cho (x - 3) dư 5, thì P(3) = 5.

  • Nếu P(x) chia cho (x + 2) dư -4, thì P(-2) = -4 (vì x + 2 tương đương với x - (-2)).

• Định lý nhân tử (Factor Theorem): Định lý này là một hệ quả trực tiếp của Định lý phần dư. Đa thức P(x) có một nhân tử là (x - a) khi và chỉ khi phần dư bằng 0, tức là P(a) = 0.

  • Khi P(a) = 0, x = a chính là một nghiệm (zero / x-intercept) của phương trình đa thức.

  • Ví dụ: Nếu đa thức chia hết cho (x - 2), hoặc có một nhân tử là (x - 2), hoặc có hoành độ gốc tại x = 2, thì ta luôn có P(2) = 0.

Cách tìm giá trị chưa biết của hàm đa thức bậc cao từ các nghiệm cho trước

Dựa vào khái niệm về nghiệm của hàm số, nếu một số thực c là nghiệm của hàm đa thức f(x), thì khi thay x = c vào hàm số, ta có kết quả f(c) = 0. Từ đó, ta có các bước làm bài như sau: 

Bước 1: Xác định giá trị nghiệm x = c mà đề bài cung cấp.

Bước 2: Thay trực tiếp giá trị x = c này vào biểu thức của hàm số f(x) và đặt toàn bộ biểu thức đó bằng 0.

Bước 3: Thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, lũy thừa cơ bản để rút gọn biểu thức, qua đó biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất đơn giản chứa một ẩn (là hệ số cần tìm).

Bước 4: Giải phương trình để tìm ra giá trị của hệ số khuyết.

Sample Question:

The polynomial function f(x) = x^3 + kx^2 - 19x + 20 is given. If x = 1 is a zero of f, what is the value of k?

A. 2

B. -2

C. 3

D. -3

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Đề bài cho biết x = 1 là một nghiệm của hàm số. Điều này có nghĩa là f(1) = 0.

Bước 2: Thay x = 1 vào phương trình hàm số đã cho và đặt bằng f(1)=0:

1^3 + k(1)^2 - 19(1) + 20 = 0

Bước 3: Rút gọn các phép tính trong biểu thức:

1 + k - 19 + 20 = 0

Bước 4: Giải phương trình bậc nhất đối với ẩn k:

k + 2 = 0

k = -2

Kết luận: Giá trị của k là -2. Đáp án đúng là B.

Tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm  là rất đa dạng. Thí sinh thường được cung cấp toàn bộ các nghiệm (zeros) cùng với hệ số dẫn đầu, và được yêu cầu tìm hệ số tự do hoặc hệ số của một bậc cụ thể nào đó.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm tại: Sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình bậc cao

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm

Để sử dụng DESMOS giải quyết dạng bài này, người học cần thiết lập hàm số ở dạng nhân tử và tận dụng tính năng slider của phần mềm. 

Bước 1: Nhập hàm số và tạo thanh trượt

Nhập phương trình hàm số chứa hệ số chưa biết (ví dụ: k, a, b) vào dòng lệnh đầu tiên.

DESMOS sẽ nhận diện chữ cái đó là một tham số và hiển thị nút add slider. Bấm vào chữ cái đó để tạo thanh trượt.

Bước 2: Đánh dấu điểm tọa độ nghiệm trên đồ thị

Đề bài cho x = c là một nghiệm, đồng nghĩa với việc đồ thị đi qua điểm (c, 0).

Tại dòng lệnh thứ hai, nhập trực tiếp tọa độ (c, 0) để DESMOS chấm một điểm rõ ràng trên trục hoành. Người học có thể tích chọn ô Label để phần mềm hiện rõ số đo của điểm đó.

Bước 3: Điều chỉnh thanh trượt để khớp đồ thị

Dùng chuột kéo thanh trượt của hệ số chưa biết.

Điều chỉnh cho đến khi đường cong của đồ thị di chuyển và cắt đúng vào điểm (c, 0) vừa đánh dấu. Giá trị hiện tại trên thanh trượt chính là đáp án cần tìm.

Ví dụ:

Sample Question

The polynomial function f(x) = x^3 + kx^2 - 19x + 20 is given. If x = 1 is a zero of f, what is the value of k?

A. 2

B. -2

C. 3

D. -3

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bước 1: Nhập hàm số và tạo thanh trượt

Tại dòng lệnh thứ nhất trên DESMOS, nhập hàm số: f(x) = x^3 + kx^2 - 19x + 20.

Ngay bên dưới, DESMOS gợi ý add slider: k. Nhấp chuột vào nút k để phần mềm tự động tạo một thanh trượt có thể kéo qua lại.

Bước 2: Đánh dấu điểm tọa độ nghiệm trên đồ thị

Đề bài cho x = 1 là một nghiệm của hàm số, nghĩa là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (1, 0).

Tại dòng lệnh thứ hai, nhập tọa độ: (1, 0). Người học sẽ thấy một chấm tròn xuất hiện ngay trên trục Ox tại vị trí hoành độ bằng 1.

Bước 3: Điều chỉnh thanh trượt để khớp đồ thị

Kéo thanh trượt k sang trái hoặc phải để quan sát sự di chuyển của đồ thị.

Khi người học kéo thanh trượt về giá trị k = -2, đường cong của đồ thị sẽ đi qua và chạm khít vào điểm (1, 0) vừa được đánh dấu.

=> Giá trị cần tìm là -2. Chọn đáp án B.

Fig. 3. f(x)=x^{3}+kx^{2}-19x+20 on the Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

The polynomial function f(x) = x^3 - 4x^2 + kx + 6 is given. If x = 3 is a zero of f, what is the value of k?

A. -1

B. 1

C. 3

D. -3

Answer: B

Question 2

Let f(x) = 2x^3 + kx^2 - 7x - 6. If the graph of f(x) intersects the x-axis at x = -2 in the xy-plane, what must be the value of the constant k?

A. 2

B. -2

C. 4

D. -4

Answer: A

Question 3 

The polynomial P(x) = x^3 + 3x^2 + kx - 10 is completely divisible by the binomial (x + 5). What is the value of k?

A. 12

B. -10

C. -12

D. 10

Answer: C

Question 4 

A drone's altitude in meters relative to a launching platform over time t in seconds is modeled by the function h(t) = -t^3 + kt^2 + 8t - 12. If the drone lands exactly on the platform at t = 2 seconds, what is the value of k?

A. 1

B. -1

C. 2

D. 4

Answer: A

Question 5

A packaging company is designing a new container. The volume of the container in cubic inches is modeled by the polynomial function V(x) = x^3 - 10x^2 + mx + n. The lengths of the container's three dimensions are given by (x - 2), (x - 3), and (x - 5). What is the value of m, the coefficient of x?

A. 10

B. 30

C. 31

D. -30

Answer: C

Question 6

The function f(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d has exactly four distinct zeros: x = -2, x = -1, x = 1, and x = 3. What is the value of d?

A. -12

B. 12

C. -6

D. 6

Answer: B

Question 7

A company's daily profit, in thousands of dollars, is modeled by the third-degree polynomial P(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c, where x is the number of days since a new product launched. The company breaks even (profit is zero) on days x = 4, x = -1, and x = 2. What is the profit on day 1 (i.e., P(1))?

A. 6

B. -6

C. 12

D. -12

Answer: B

Question 8

The polynomial function f(x) = x^3 - 7x^2 + 14x + k has one of its zeros at x = 2. It is also known that the constant k equals -8. What are the other two zeros of the polynomial?

A. 1 and 4

B. -1 and 4

C. 1 and 2

D. 2 and 4

Answer: A

Question 9

The polynomial h(x) = x^3 + cx^2 + dx - 24 has a zero at x = 3 with a multiplicity of 2, and another zero at x = k. What is the value of k?

A. -8/3

B. -8

C. 8/3

D. 8

Answer: C

Question 10

A biologist models the growth rate of a certain bacteria using the polynomial R(t) = at^3 + bt^2 + ct + 48, where t is the temperature in degrees Celsius. The growth rate is zero when the temperature is t = -2, t = 4, and t = 6. What is the value of the leading coefficient a of this growth model?

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

Answer: A

Tham khảo thêm: Sử dụng DESMOS để tìm đồ thị dựa trên hàm số tuyến tính cho sẵn

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để tìm hằng số/hệ số của hàm bậc cao để thoả mãn điều kiện về nghiệm. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.