Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một và hai ẩn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê, và các phép tính cơ bản. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người đọc cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất, một dạng bài phổ biến trong bài thi Digital SAT. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hoá các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi.

Lý thuyết về bất phương trình bậc nhất

Bất phương trình bậc nhất có dạng tổng quát là:

Ax + B > 0

Trong đó: A là hệ số của x, với A không bằng 0 còn B là hệ số tự do. Bất phương trình cũng có thể được biểu diễn như Ax + B < 0 (bé hơn), Ax + B ≤ 0 (bé hơn hoặc bằng) hoặc Ax + B ≥ 0 (lớn hơn hoặc bằng).

Để giải phương trình, ta thực hiện các phép biến đổi đại số.

Ví dụ

Ax + B > 0 => Ax > -B

=> x > -B/A

Như vậy, bất phương trình bậc nhất một ẩn sẽ có các giá trị nghiệm nằm trong khoảng x > -B/A

Ngoài ra, bất phương trình bậc nhất cũng tồn tại dưới dạng hai ẩn, có dạng tổng quát là.

Ax + By <,≤,>,≥ C

Trong đó:

• A/B là hệ số góc của phương trình (với B ≠ 0)

• A, B và C là các hằng số, với A và B không đồng thời bằng 0

Khi biểu diễn dưới dạng slope-intercept, bất phương trình bậc nhất hai ẩn cũng có thể được viết dưới dạng:

y <,≤,>,≥ mx + b

Trong đó:

• m là hệ số góc của phương trình.

• Ngoài ra, b là hệ số tự do của phương trình.

Xem thêm: SAT Math Question

Mối liên hệ giữa nghiệm bất phương trình và đồ thị

Ngoài cách giải đại số, nghiệm của bất phương trình còn có thể hiểu dưới góc độ đồ thị.

Đối với bất phương trình bậc nhất một ẩn (VD: Ax + B > 0), nghiệm của nó được phân định bởi đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -B/A và đường thẳng này vuông góc với Ox. Nếu bất phương trình có dấu “>” Hoặc “≥”, nửa trục Ox bên tay phải là nghiệm của bất phương trình và ngược lại, nếu bất phương trình có dấu “<” hoặc “≤” thì nửa trục Ox bên tay trái sẽ là nghiệm của bất phương trình. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì nghiệm sẽ bao gồm điểm x = -B/A, nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, nghiệm không bao gồm giá trị x này.

Đối với bất phương trình bậc nhất hai ẩn (VD: Ax + By + C > 0), nghiệm (miền nghiệm) của nó không phải là một khoảng trên trục số mà là một miền mặt phẳng. Khi đó, đường thẳng Ax + By + C =0 đóng vai trò là ranh giới chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa riêng biệt. Một nửa mặt phẳng sẽ chứa các điểm (x, y) thoả mãn dấu của bất phương trình, nửa còn lại chứa các điẻm (x,y) khiến bất phương trình bị sai. Nếu bất phương trình có dấu “≥” hoặc “≤” thì nghiệm sẽ bao gồm điểm đường thẳng Ax + By + C = 0, được biểu diễn trên đồ thị dưới dạng đường gạch liền. Nếu bất phương trình có dấu “>” hoặc “<”, nghiệm không bao gồm đường thẳng này, được biểu diễn với đường gạch đứt.

Ví dụ: Người học xét bất phương trình y ≥ 3x - 5.

Fig. 1. Inequality y ≥ 3x - 5 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Bất phương trình có giao điểm với trục Ox tại (⁵⁄₃ , 0). Như vậy, bất phương trình y ≥ 3x - 5 sẽ có miền nghiệm là tất cả giá trị của x và y sao cho x ≤ ⁵⁄₃ và y ≥ 0. Ta có thể xét hai trường hợp giá trị (x,y) để thử nghiệm miền nghiệm này.

• 2 > 3 x 0 - 5 -> Đúng -> x = 0 thuộc miền nghiệm bất phương trình.

• 0 > 3 x 3 - 5 -> Sai -> x = 3 không thuộc miền nghiệm bất phương trình.

Xem thêm: Cách làm dạng Graphs of linear systems and inequalities trong SAT Math

Bất phương trình bậc nhất trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về bất phương trình bậc nhất là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về nghiệm của bất phương trình, xét những giá trị thỏa mãn là nghiệm của bất phương trình, xác định số nghiệm của bất phương trình, hoặc đánh giá tính đúng - sai của các mệnh đề liên quan đến nghiệm.

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất

Để sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị phương trình. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Người học đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp.

Người học đọc kĩ bất phương trình để xác định biểu thức chứa ẩn ở một vế và so sánh với 0. Khi đó, vế chứa ẩn được xem là một hàm số bậc nhất theo biến x. Ví dụ, với bất phương trình: 3x - 6 > 3, ta xác định hàm số:

• y < 3x - 9

Bước 2: Người học nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của phần DESMOS graphing calculator. Trong trường hợp này, ta sẽ nhập y < 3x - 9 vào dòng đầu tiên.

DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của hai đường thẳng tương ứng.

Bước 3: Người học quan sát giao diện của DESMOS sẽ thấy được một khoảng được tô màu bên trái/phải của đường thẳng. Phần được tô màu này cho thấy khoảng giá trị mà sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.

Bước 4: Người học điền các toạ độ mà đề bài cho (nếu có) vào phần mềm và xem các điểm đó có trong miền nghiệm được tô màu hay không. Người học cũng có thể chọn một vài giá trị x thuộc miền nghiệm suy ra, thay vào biểu thức ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của kết luận.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi:

y > 2(x - 2)

Which point (x, y) is a given solution to the given inequality in the xy plane?

A. (2, -1)
B. (1, -3)
C. (0, 1)
D. (3, 1)

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Người học đọc kĩ đề để xác định dữ kiện được cung cấp

• Hàm số được cho: y > 2(x - 2)

Bước 2: Người học nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS. Trong đó:

• Nhập ở dòng đầu tiên: hàm số ở y > 2(x - 2)

Fig. 4. Inequality y > 2(x - 2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Bước 3: DESMOS sẽ hiển thị đường thẳng và khoảng có nghiệm của phương trình.

Bước 4: Người học viết các toạ độ được cho trong đáp án vào trong DESMOS để thử.

• (2, -1) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (1, -3) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (3, 1) không nằm trong khoảng được tô màu -> không phải là nghiệm

• (0, 1) nằm trong khoảng được tô màu

⇒ Chọn đáp án C.

Fig. 5. Inequality y > 2(x - 2), (2, -1), (1, -3), (3, 1) and (0, 1) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [5])

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Luyện tập thêm: Bài tập dạng bài Phương trình tuyến tính trong SAT Math

Bài tập vận dụng

Sau đây bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có thể sử dụng DESMOS để giải bất phương trình bậc nhất [6]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Which of the following represents the solution to the inequality?

x − 4 ≤ 6

A. x ≤ 2

B. x ≤ 10

C. x ≥ 2

D. x ≥ 10

Answer: B

Question 2:

Which possible value of x satisfies the inequality 3x + 1 > 6?

A. x = 1

B. x = 2

C. x = −2

D. x = 0

Answer: B

Question 3:

How many integer values of x satisfy the inequality 1 ≤ x < 5?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 2

Answer: A

Question 4:

Which inequality DOES NOT have the same solution as the inequality below?

2(x + 1) > 4

A. 2 < x + 1

B. 2(x - 1) > 0

C. x - 1 > 0

D. x - 4 > 0

Answer: D

Question 5:

y ≤ 3x + 1

Which point (x, y) is a given solution to the given inequality in the xy plane?

A. (1, 3)

B. (0, -1)

C. (2, 7)

D. (0, 2)

Answer: C

Question 6:

Solve the inequality below.

3(2x − 5) ≤ 4x + 7

Which of the following represents the solution set?

A. x ≤ 11

B. x ≥ 22

C. x ≥ 11

D. x ≤ 22

Answer: A

Question 7:

Consider the inequality:

−2 < 3x + 4 ≤ 10

Which statement correctly describes the solution set?

A. All values of x greater than -2

B. All values of x between -2 and 10, inclusive

C. All values of x between -2 and 2, inclusive of 2 only

D. All values of x between -2 and 2, not inclusive of either endpoint

Answer: C

Question 8:

Which value of x satisfies the inequality?

x - 43 > x - 26

A. -2

B. 1

C. 4

D. 7

Answer: D

Question 9:

Consider the following inequality.

y ≤ kx + 2

If (4, 6) is a solution for this inequality, which of the following is the possible value for k?

A. k = 1

B. k = 2

C. k = -1

D. k = -2

Answer: A

Question 10:

A gym charges a one-time sign-up fee of $15 and $5 per visit. Let v represent the number of visits.

Which value of v allows the total cost of going to the gym to be no more than $50?

A. 8

B. 10

C. 9

D. 6

Answer: D

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng DESMOS để tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn và hai ẩn trong bối cảnh bài thi Digital SAT. Hi vọng người học có thể vận dụng các nội dung trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.