Sử dụng DESMOS để tìm nghiệm của phương trình bậc cao

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học cách tìm nghiệm của phương trình bậc cao thông qua DESMOS.

Lý thuyết chung về phương trình bậc cao - đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức cùng một biến. Các đơn thức một biến được gọi là hạng tử của đa thức đó. Đơn thức một biến là một biểu thức đại số chỉ có một số hoặc tích của một số với lũy thừa nguyên dương của số đó. 

Ví dụ: Cho 3 đơn thức: 3x², 4x và 7. Ba đơn thức này cộng lại tạo thành một đa thức: 3x² + 4x + 7

Một số thuật ngữ thường gặp về đa thức một biến bao gồm:

• Hạng tử: Các đơn thức một biến

• Biến số: Các số hạng chưa biết, được viết dưới dạng chữ cái (x,y,z)

• Bậc của hạng tử: Số mũ của đơn thức chứa biến, số mũ là số nguyên và lớn hơn 0. Với các đơn thức chỉ tồn tại hệ số, bậc là 0

• Bậc của đa thức: Bậc của hạng tử lớn nhất.

• Hệ số: Số hạng đứng trước một biến. Các đơn thức chỉ tồn tại hệ số (không chứa biến) được gọi là hệ số tự do. 

Khi viết một đa thức, ta thường ký hiệu như sau: Q(x), F(y), P(x), v.v để thể hiện đa thức một biến thay đổi theo các biến x,y,z.

Trong khi đó, phương trình bậc cao là các phương trình đa thức một ẩn có bậc lớn hơn hoặc bằng 3, có dạng tổng quát là

\[a_{n}x^{n^{}}+a_{n-1}x^{n-1^{}}+a_{n-2}x^{n-2^{}}+\ldots a_1.x+m=0\]

Trong đó:

• an,... là các hệ số

• x là biến số

• n là bậc của đa thức, với hệ số đi kèm khác 0.

• m là hằng số tự do (x bậc 0).

Lý thuyết về nghiệm của phương trình bậc cao và cách xác định bằng đồ thị

Trong một đa thức P(x), a được gọi là nghiệm của đa thức khi tại x = a, P(x) đạt giá trị bằng 0. Khi đó, (x - a) là một nhân tử của đa thức này. Mỗi nhân tử của đa thức thể hiện một nghiệm. Nếu một nhân tử xuất hiện với lũy thừa, ta gọi đó là nghiệm bội n (n là số mũ của nhân tử). Khi đó, phương trình bậc cao thường được viết dưới dạng nhân tử (Factorized form):

P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)...(x-n) = 0

Số điểm cắt của trục Ox với đồ thị của đa thức thể hiện số nghiệm của phương trình. Tại các điểm của nghiệm bội chẵn, đồ thị của đa thức sẽ tiếp xúc với trục tọa độ Oxy và tạo thành một đường cong parabol.

Fig.1. Solutions of (x^2 - 10x + 25)(x^2 - 5x + 6) on Desmos Graphing Calculator (Source [1])

Với các đa thức có bậc chẵn 2, 4, 6,... 2n, nếu nhân tử của đa thức xuất hiện các phương trình bậc 2, ta áp dụng công thức tìm nghiệm Δ như sau:

• Δ = b² - 4ac hoặc Δ’ = b’² - ac (với b chẵn)

• Nếu Δ > 0, phương trình cho 2 nghiệm phân biệt x1 = (-b - √Δ)/2a và x2 = (-b + √Δ)/2a

• Nếu Δ = 0, phương trình cho nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a

• Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Một đa thức (bậc khác 0) có thể có một, hai nghiệm, v.v.,  hoặc vô nghiệm. Tuy nhiên, số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó. Ví dụ: Phương trình bậc 3 chỉ cho tối đa 3 nghiệm phân biệt. 

Tìm nghiệm của phương trình bậc cao trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về nghiệm của phương trình bậc cao là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về tìm nghiệm âm, dương, tổng hay hiệu của các nghiệm và ứng dụng vào các bài toán thực tế

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 2. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [2])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 3. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định nghiệm của phương trình bậc cao

Để sử dụng DESMOS xác định nghiệm của phương trình bậc cao, ta sử dụng tính năng vẽ đồ thị và kỹ năng quan sát đồ thị. 

Bước 1: Đọc kỹ các dữ kiện đề bài cho 

Người học cần xác định phương trình đề bài cho và yêu cầu của đề, ở đây là nghiệm của phương trình. 

Bước 2: Nhập dữ kiện đã xác định lên DESMOS
Người học nhập vế trái của phương trình dưới dạng y = f(x) vào ô nhập liệu của DESMOS Graphing Calculator. Sau đó, DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị của phương trình tương ứng.

Bước 3: Quan sát và xác định nghiệm của phương trình trên DESMOS

Sau khi vẽ được đồ thị trên DESMOS, người học sẽ quan sát số giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox, chính là số nghiệm của phương trình. Khi bấm chuột vào các giao điểm, DESMOS sẽ hiển thị các hoành độ giao điểm, chính là nghiệm của phương trình cần tìm. 

Bước 4 (Tùy chọn): Thay số các nghiệm cần tìm vào phương trình ban đầu.

Ví dụ: 

Consider the equation: x³ + 8x² + 5x - 14 = 0.  What is the sum of the solutions of this equation?

A. 10

B. 8

C. 12

D. -8

Hướng dẫn giải bằng DESMOS

Bước 1: Đọc kỹ các dữ kiện đề bài cho

• Phương trình của đề bài: x³ + 8x² + 5x - 14 = 0.

• Yêu cầu: Tổng của các nghiệm (solutions)

Bước 2: Nhập các dữ kiện đã xác định lên DESMOS

• Nhập vào dòng đầu tiên của cột dữ liệu:  y =  x³ + 8x² + 5x - 14.

Bước 3: Quan sát và xác định nghiệm trên DESMOS

Fig.4. Solutions of x^3+8x^2+5x-14 on DESMOS Graphing Calculator (Source [4])

Người học bấm chuột vào các giao điểm của đồ thị với trục hoành trên DESMOS, quan sát được 3 giao điểm: (-2,0), (-7,0) và (1,0). Vậy 3 nghiệm của phương trình là -2, -7 và 1. 

Đề bài yêu cầu tổng của 3 nghiệm; giá trị cần tìm là -8.

Bước 4: Kiểm tra lại.

Thay các giá trị nghiệm vào phương trình, ta có

• x = -2 → (-2)³ + 8.(-2)² + 5.(-2) - 14 = 0 → Đúng

• x = -7 → (-7)³ + 8.(-7)² + 5.(-7) - 14 = 0 → Đúng

• x = 1 → 1³ + 8.1² + 5.1 - 14 = 0 → Đúng

⇒ Chọn đáp án D.

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

• Cách làm dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs và bài tập

• Quadratic and exponential word problems: Hướng dẫn làm bài và bài tập

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định nghiệm của phương trình bậc cao [5]. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1:

Function f is defined by f(x) = (x + 3)(x + 8)(x - 2). Function g is defined by g(x) = f(x - 3). The graph of y = g(x) in the xy-plane has x-intercepts at (a, 0), (b, 0), and (c, 0), where a,b, and c are distinct constants. What is the value of a + b + c?

A. -9

B. 0

C. 13

D. 9

Answer: B

Question 2: 

Given the equation: x(x- 4)(x² - 25) = 0. What is the sum of all distinct real solutions to this equation?

A. 4

B. 0

C. 1

D. 9

Answer: A

Question 3:

A cubic equation x³ + bx² + cx + d = 0 has two known roots, -2 and 3. Based on the table of values provided for the function P(x) = x³ + bx² + cx + d, find the third real root of the equation.

A. -3

B. 4

C. -2

D. 2

Answer: D

Question 4:

Consider the equation - 2x³ + 10x² + 28x = 0. Which of the following represents the largest real solution for the equation?

1. 7

2. 14

3. 2

4. 0

Answer: A

Question 5: 

A quartic equation is given by (x - a)(x - b)(x - 3)² = 0. Using the table of values provided for the expression P(x) = (x - a)(x - b)(x - 3)², what is the sum of the remaining two real roots?

A. 3

B. -2

C. -1

D. 1

Answer: C

Question 6: 

The equation x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 has three distinct real solutions. What is the product of these three solutions?

A. 11

B. -6

C. 1

D. 6

Answer: D

Question 7:

What is the sum of the distinct real solutions of the equation (x² - 9)² - 11(x² - 9) + 18 = 0?

A. 0

B. 11

C. 9

D. 18

Answer: A

Question 8:

A polynomial function p(x) is defined as p(x) = x³ - 7x² + 14x - 8. If the graph of y = p(x) is translated 2 units to the right to create a new function q(x), what is the sum of the x-intercepts of q(x)?

A. 7

B. 9

C. 13

D. 15

Answer: C

Question 9:

A polynomial f(x) is divided by (x - 4), and the remainder is 0. If f(x) = x³ - 6x² + 3x + 20, which of the following is the sum of the remaining two real solutions to f(x) = 0?

A. -2

B. 6

C. 2

D. -6

Answer: C

Question 10:

What is the product of all negative real solutions to the equation x^4 - 5x² - 36 = 0?

A. -3

B. 3

C. -9

D. 9

Answer: A

Tổng kết

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định nghiệm của phương trình bậc cao. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.