Sử dụng DESMOS để tìm xác định số nghiệm của phương trình phân thức

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học xác định số nghiệm của phương trình phân thức.

Lý thuyết chung về phân thức

Phân thức có dạng tổng quát là:

\(\frac{A}{B}\)

Trong đó:

• A và B đại diện cho các đa thức

• B bắt buộc phải khác 0.

Do B ≠ 0, nên tập xác định của biểu thức hữu tỉ là {R | B ≠ 0}. Việc tìm miền xác định là bước đầu tiên khi tiến hành thao tác trên biểu thức hữu tỉ.

Phân thức có bốn phép tính cơ bản.

Đối với phép tính cộng và trừ, người học cần quy đồng mẫu số và thực hiện các phép toán nhân đa thức để ra được một phân thức gọn hơn.

\(\frac{P}{Q}\)±\(\frac{R}{S}\)= \(\frac{(PS\pm RQ)}{QS}\)

Ví dụ:

\(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)} = \frac{5x+2}{x(x+1)} = \frac{5x+2}{x^2+x}\)

Đối với phép nhân, người học nhân lần lượt tử số và mẫu số.

\(\frac{P}{Q}.\frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}\)

Ví dụ:

\(\frac{x^2-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{(x^2-1)x}{x(x+1)} = \frac{(x-1)(x+1)x}{x(x+1)} = x - 1\)

Đối với phép chia, người học nhân nghịch đảo của tử số và mẫu số.

\(\frac{P}{Q}\div\frac{R}{S}=\frac{P}{Q}.\frac{S}{R}=\frac{PS}{QR}\)

Ví dụ:

\(\frac{x^2-4}{x} \div \frac{x-2}{x+1} = \frac{x^2-4}{x} \times \frac{x+1}{x-2} = \frac{(x^2-4)(x+1)}{x(x-2)} = \frac{(x-2)(x+2)(x+1)}{x(x-2)} = \frac{(x+2)(x+1)}{x}\)

Cách xác định số nghiệm của phương trình phân thức

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) bằng cách cho mẫu thức khác 0

Bước 2: Quy đồng hoặc nhân hai vế với mẫu thức chung và giải phương trình sau khi khử mẫu

Bước 3: Đối chiếu với ĐKXĐ

• Nghiệm nào thỏa mãn ĐKXĐ => nhận.

• Nghiệm nào không thỏa mãn ĐKXĐ => loại.

Lưu ý về nghiệm ngoại lai: Những giá trị tìm được khi giải phương trình nhưng bị loại ở bước này (do làm cho mẫu số bằng 0, không thỏa mãn ĐKXĐ) được gọi là nghiệm ngoại lai. Việc đối chiếu kết quả với ĐKXĐ là bắt buộc để tránh lấy nhầm các nghiệm ngoại lai này.

Bước 4: Kết luận số nghiệm

Sau khi loại các nghiệm không hợp lệ, người học có thể xác định số nghiệm của phương trình phân thức.

Ví dụ:

Ví dụ: Xác định số nghiệm của phương trình

\(\frac{2}{x-1}\) = 1

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Mẫu thức phải khác 0:

x - 1 ≠ 0

⇔  x ≠ 1

Vậy ĐKXĐ: x ≠ 1.

Bước 2: Quy đồng hoặc nhân hai vế với mẫu thức chung và giải phương trình sau khi khử mẫu

\(\frac{2}{x-1}\) = 1

⇔ 2 = x - 1

⇔ x = 3

Bước 3: Đối chiếu với ĐKXĐ

x = 3 ≠ 1

Vậy x = 3 thỏa mãn ĐKXĐ.

Bước 4: Kết luận

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Bài toán xác định số nghiệm của phương trình phân thức trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, thí sinh có thể gặp cả hai dạng câu hỏi là trắc nghiệm và điền vào chỗ trống yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình phân thức. 

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig. 1. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [1])

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 2. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình phân thức

Để sử dụng DESMOS xác định số nghiệm của phương trình phân thức một cách nhanh chóng và chính xác, người học cần khai thác tính năng vẽ đồ thị. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước:

Bước 1: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

• Nhập ở dòng đầu tiên: vế phải trong phương trình từ đề bài.

• Nhập ở dòng thứ hai: vế trái trong phương trình từ đề bài.

Bước 2: Quan sát số giao điểm giữa hai đồ thị của hai hàm số trên màn hình. Số giao điểm giữa hai đồ thị là số nghiệm của phương trình phân thức.

Ví dụ minh hoạ:

Câu hỏi: 

\(\frac{2x+10}{x-1}\)= x + 4

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Bước 1: Nhập dữ kiện được cung cấp từ đề bài vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Fig. 3. Example. (Source: [3])

Bước 2: Quan sát số giao điểm giữa hai đồ thị của hai hàm số trên màn hình. Số giao điểm giữa hai đồ thị là số nghiệm của phương trình phân thức.

Có thể thấy có 2 giao điểm giữa hai đồ thị trên, nên phương trình phân thức trong đề bài có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Xem thêm:

• Cách làm dạng bài Operations with rational expressions trong SAT® Math

• Cách làm Radical, rational, and absolute value equations trong SAT® Math

• Essential vocabulary for SAT® Math - Advanced Math | Unit 12: Root + Base + Rational

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định số nghiệm của phương trình phân thức. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Question 1: 

\(\frac{x^2-16}{x+4} = 0\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: B

Question 2: 

\(\frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x-1}\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: A

Question 3: 

\(\frac{x^2-6x+9}{x-3} = x - 3\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: D

Question 4: 

\(\frac{2x^4-7x^2-4}{3x^2+6} = \frac{-1}{3}\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: C

Question 5: 

\(\frac{3x^3 - 5x^2 - 11x - 3}{3x + 1} = -4\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: B

Question 6: How many distinct real solutions does the given equation have?

\(\frac{-2x^3 + 6x^2 + 8x}{x^2 - x - 6} = \frac{-2x^3 + 4x^2 + 14x - 12}{x^2 - x - 6}\)

Answer: 0

Question 7: How many distinct real solutions does the given equation have?

\(\frac{-x^4 + 5x^3 - 6x^2}{x^3 - 7x^2 + 12x} = -x\)

Answer: 0

Question 8: How many distinct real solutions does the given equation have?

\(\frac{-x^4 + 2x^3 + 9x^2 - 18x}{x^3 - 3x^2} = \frac{x^3 - 7x - 6}{x^2 + x}\)

Answer: 2

Question 9: 

\(\frac{-4x^3 + 12x^2 + 9x - 27}{2x - 3} = \frac{-6x^3 + 27x^2 - 27x}{-3x}\)

How many distinct real solutions does the given equation have?

A. Zero

B. Exactly one

C. Exactly two

D. Infinitely many

Answer: B

Question 10: 

Consider the rational equation:

\(\frac{x^3 - a^2 x}{x^2 + ax} = b\)

where a and b are non-zero real constants with a > 0.

Which of the following statements must be true?

I. The equation has no real solutions if b = -a.

II. The equation has infinitely many solutions if b ≠ -a.

III. x = 0 is a domain restriction for the equation.

A. III only

B. I and III only

C. II and III only

D. I, II, and III

Answer: B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định số nghiệm của phương trình phân thức. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi đồ thị mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.