Sử dụng DESMOS để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn

Trong các bài thi chuẩn hóa quốc tế về năng lực toán, chẳng hạn như Digital SAT, thí sinh có thể sẽ được cung cấp phần mềm DESMOS, phần mềm máy tính khoa học giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến đồ thị, thống kê và các phép tính cơ bản. Nắm được các tính năng của DESMOS cũng như thao tác sử dụng sẽ giúp thí sinh tăng tốc độ làm bài, đơn giản hóa các bước tính toán, từ đó nâng cao hiệu quả bài thi. Trong phạm vi bài viết này, tác giả sẽ hướng dẫn người học xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn

Lý thuyết chung về hàm số bậc cao

Hàm số bậc cao có dạng tổng quát là:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ⋯ + a₁x + a₀

Trong đó:

• x là biến số độc lập

• aₙ, aₙ₋₁, a₁… là các hằng số thực (an khác 0)

• aₙ là hệ số dẫn đầu (leading coefficient)

• n là số mũ của x và là bậc của hàm số

Xem thêm: Cách làm dạng bài Factoring Quadratic and Polynomial Expressions trong SAT Math

Lý thuyết về đồ thị của hàm số bậc cao

Đồ thị của hàm số bậc cao là một đường cong trơn, liên tục. Hình dáng của nó phụ thuộc vào số mũ lớn nhất và hệ số dẫn đầu an. Đồ thị có thể đổi hướng với số lần đổi hướng tối đa luôn nhỏ hơn bậc của hàm số

Cụ thể, hệ số dẫn đầu an sẽ quyết định hướng đi của hàm số

• Nếu aₙ > 0, ta sẽ có y đi đến dương vô cực (+∞) khi x đi đến dương vô cực (+∞). Nói cách khác, vế phải của hàm số sẽ hướng lên trên.

• Nếu aₙ < 0, ta sẽ có y đi đến âm vô cực (-∞) khi x đi đến dương vô cực (+∞). Nói cách khác, vế phải của hàm số sẽ hướng xuống dưới.

Ví dụ: xét hàm số y = f(x) = \(x^3 + 3x^2 + 1\)

Fig. 1. Function y = x^3 +3x^2 + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Hàm số y = f(x) =\(x^3 + 3x^2 + 1\) có hệ số dẫn đầu aₙ là 1 > 0 nên vế phải của hàm số hướng lên trên

Ngoài ra, số lần tối đa đồ thị đổi hướng, hay còn gọi là số tối đa điểm cực trị, sẽ bằng số mũ lớn nhất của hàm số bậc cao trừ 1. Nếu một hàm số bậc cao có số mũ lớn nhất là 3, thì số lần tối đa đồ thị của hàm số này đổi hướng sẽ là 2, và nó thể đổi hướng 0, 1 hoặc 2 lần tùy vào từng trường hợp.

Ví dụ: xét hàm số f(x) = \(x^3 + 3x^2 + 1\)

Fig. 1. Function y = x^3 +3x^2 + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [1])

Hàm số \(x^3 + 3x^2 + 1\) có số mũ lớn nhất là 3 và đồ thị của hàm số này chuyển hướng hai lần.

Trong kì thi Digital SAT, các câu hỏi về hàm số bậc cao thường tập trung vào hàm bậc ba và hàm bậc bốn.

• Hàm bậc ba y = \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) thường có đồ thị dạng chữ “N” hoặc chữ “N” ngược và đồ thị hướng lên khi a > 0; đồ thị hướng xuống khi a < 0.

Ví dụ: hàm số \(x^3 + 3x^2 + 1\) có đồ thị như sau:

Fig. 2. Function y = x^3 + 3x^2 +x +1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [2])

• Hàm bậc bốn y = \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) đồ thị cả hai đầu đồ thị đều hướng lên trên khi a>0; đồ thị có cả hai đầu đều hướng xuống dưới khi a<0.

Ví dụ: hàm số y= \(4x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x + 1\) có đồ thị như sau:

Fig. 3. Function y = 4x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x + 1 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [3])

Cách xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn

Để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn, người học cần phân tích các đặc điểm quan trọng của đồ thị như hướng đi của hai đầu đồ thị, số giao điểm với trục hoành, các điểm cực trị và các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua. Từ những thông tin đó, người học có thể lựa chọn hoặc xây dựng hàm số phù hợp với đồ thị.

Bước 1: Quan sát hướng đi của hai đầu đồ thị.Người học cần xác định đồ thị đi lên hay đi xuống khi x tiến tới +∞ và −∞, nếu vế phải của đồ thị đi lên thì aₙ>0, còn nếu đi xuống thì aₙ<0. Ngoài ra, nếu hai đầu của đồ thị cùng hướng thì hàm số có bậc chẵn, và hai đầu ngược hướng thì hàm số có bậc lẻ.

Bước 2: Quan sát cách đồ thị tiếp xúc hoặc cắt trục hoành.Người học cần quan sát cách đồ thị tương tác với trục hoành tại mỗi giao điểm. Mỗi giá trị x=a tại đó đồ thị cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành tương ứng với một nghiệm của hàm số, tức là:

f(a)=0

Nếu đồ thị cắt qua trục hoành tại x=a, nghiệm a thường có bội lẻ, chẳng hạn:

(x−a) hay \((x-a)^3\)

Nếu đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại x=a rồi quay trở lại cùng một phía của trục hoành, nghiệm a thường có bội chẵn, chẳng hạn:

\((x-a)^2\) hay \(\left(x-a\right)^4\)

Ví dụ, nếu đồ thị cắt trục hoành tại x=1 và x=3 đồng thời tiếp xúc với trục hoành tại x = 2 ta có thể xây dựng dạng:

\(f(x)=a(x−1)(x−2)^2(x−3)\)

Bước 3: Xây dựng dạng tổng quát của hàm số.Sau khi xác định được các nghiệm, người học viết hàm số dưới dạng tích các nhân tử:

\(f(x)=a(x−r1)^m1(x−r2)^m2…\)

Trong đó r1,r2,… là các nghiệm của hàm số, còn m1,m2,… là bội của các nghiệm.

Bước 4: Sử dụng một điểm đặc biệt trên đồ thị để xác định hệ số a.Nếu đồ thị đi qua một điểm (x0,y0), người học thay tọa độ điểm đó vào biểu thức của hàm số:

\(y0=a(x0−r1)^m1(x0−r2)^m2…\)

Sau đó giải phương trình để tìm a. Khi đã xác định được hệ số này, người học có thể viết được hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị đã cho.

Ví dụ:

Fig. 4. Function x(x-2)^2(x-4)on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -x(x-2)^2(x-4)

B. f(x) = x(x-2)^2(x-4)

C. f(x) = x(x-2)(x-4)

D. f(x) = 2x(x-2)^2(x-4)

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Quan sát hướng đi của hai đầu đồ thị.Từ hình ảnh đồ thị, người học có thể thấy hai đầu của đồ thị đều hướng lên, suy ra phương trình của đồ thị này có a > 0 và có bậc chẵn. Vì vậy, người học có thể loại đáp án A và C vì phương trình A có a<0 và phương trình của đáp án C có bậc lẻ

Bước 2 và 3: Xác định các giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Người học có thể xác định được đồ thị giao với trục hoành ở điểm x = 0, x = 4 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm x = 2. Do đó, người học có thể xây dựng dạng:

f(x)=ax(x−2)^2(x−4)

Bước 4: Sử dụng một điểm đặc biệt trên đồ thị để xác định hệ số a.Đồ thị trên đi qua điểm (1,-3), người học tiến hành thay x0 = 1, y0= -3 vào dạng f(x)=ax(x−2)^2(x−4)

-3=a.1(1−2)^2(1−4)

⇔ -3 = a.1.-3

⇔ a= 1

Từ đây, người học có được phương trình f(x) = x(x-2)^2(x-4), và chọn đáp án B

Xem thêm: Quadratic and exponential word problems

Xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn trong câu hỏi Digital SAT

Trong bài thi Digital SAT, các câu hỏi về hàm số bậc cao là rất đa dạng. Thí sinh có thể được hỏi về đồ thị của hàm số bậc cao, nghiệm của hàm số bậc cao, hay xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn

Sample question 1

Fig. 4. Function x(x-2)^2(x-4)on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4]) Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above? A. f(x) = -x(x-2)^2(x-4) B. f(x) = x(x-2)^2(x-4) C. f(x) = x(x-2)(x-4) D. f(x) = 2x(x-2)^2(x-4)

Giới thiệu máy tính khoa học DESMOS

DESMOS là một phần mềm máy tính khoa học được thiết kế bởi DESMOS Studio. Đây là phần mềm chính thức được tích hợp trong phần mềm Bluebook của bài thi Digital SAT nhằm hỗ trợ thí sinh giải quyết đa dạng các câu hỏi Toán học ở nhiều chuyên đề khác nhau.

Fig.5. Official logo of Desmos Studio PBC. (Source: [5])

Xem thêm: Cách làm dạng bài Polynomial and other nonlinear graphs và bài tập

Các tính năng cơ bản của DESMOS

Với phần mềm DESMOS, người học và thí sinh sẽ cần làm quen với một số tính năng cơ bản, bao gồm:

• Các phép cộng, trừ, nhân, chia cơ bản

• Vẽ đồ thị phương trình từ bậc thấp đến cao

• Sử dụng bảng biểu

• Tính năng thanh trượt

• Các phép tính thống kê cơ bản

• Các phép tính lượng giác cơ bản

• V.v.

Trên màn hình giao diện DESMOS, người học có thể nhận diện được các vùng cơ bản. Thứ nhất, vùng bên tay trái là nơi người học nhập phương trình (VD: 2x + y = 0). Thứ hai, vùng mặt phẳng toạ độ Oxy là nơi đồ thị của phương trình hiển thị. Cuối cùng, nút cài đặt (có biểu tượng hình cờ lê) bên góc phải là nơi người học điều chỉnh một số cài đặt để phù hợp nhu cầu (VD: chuyển đổi từ Degree sang Radian.)

Fig. 6. Interface of the Desmos Graphing Calculator. (Source: [6])

Lưu ý: Phần mềm DESMOS hiện tại mà người học có thể tìm trên mạng có thể được chia làm hai phiên bản: Nguyên bản (đen) và Khảo thí (testing - xanh lá). Phần mềm DESMOS nguyên bản sẽ có nhiều tính năng hơn bản khảo thí, bao gồm tính năng chia sẻ biểu đồ, thư mục, hoặc hình ảnh. Tuy vậy, các tính năng quan trọng dùng trong bài thi SAT vẫn có đầy đủ ở cả hai phiên bản.

Xem thêm: Gợi ý 5 website luyện thi SAT® online miễn phí

Hướng dẫn sử dụng DESMOS để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn

Để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn bằng DESMOS, người học cần vận dụng tính năng vẽ đồ thị sử dụng phương pháp đối chiếu

Bước 1: Đọc kĩ đề bài và phân tích các đặc điểm của đồ thị cho sẵn.

Người học cần xác định các thông tin quan trọng từ đồ thị, bao gồm hướng đi của hai đầu đồ thị, các giao điểm với trục hoành, các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục hoành và các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua. Những thông tin này giúp người học xác định dạng tổng quát của hàm số bậc cao.

Bước 2: Nhập hàm số vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Người học lần lượt nhập các hàm số trong các phương án trả lời vào các dòng khác nhau trong DESMOS Graphing Calculator. Nếu cần nhập số mũ, phân số hoặc các ký hiệu toán học đặc biệt khác, người học có thể sử dụng bàn phím toán học của DESMOS.

Sau khi nhập hàm số, DESMOS sẽ tự động vẽ đồ thị tương ứng trên hệ trục tọa độ. Người học cần điều chỉnh phạm vi quan sát bằng tính năng Zoom In hoặc Zoom Out để đồ thị hiển thị rõ các đặc điểm cần kiểm tra.

Bước 3: Đối chiếu đồ thị được vẽ với đồ thị cho sẵn.

Người học so sánh đồ thị do DESMOS tạo ra với đồ thị trong đề bài. Cần kiểm tra lần lượt các đặc điểm quan trọng như hướng đi của hai đầu đồ thị, vị trí các giao điểm với trục hoành, cách đồ thị cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành và các điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua.

Nếu đồ thị của hàm số nhập vào không trùng khớp với đồ thị cho sẵn ở một trong các đặc điểm trên, người học loại bỏ hàm số đó và tiếp tục kiểm tra các phương án còn lại.

Bước 4: Kết luận hàm số tương ứng với đồ thị.

Sau khi đối chiếu các đặc điểm của đồ thị, người học lựa chọn hàm số có đồ thị trùng khớp với đồ thị đã cho.

Ví dụ:

Fig. 4. Function x(x-2)^2(x-4)on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [4])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -x(x-2)^2(x-4)

B. f(x) = x(x-2)^2(x-4)

C. f(x) = x(x-2)(x-4)

D. f(x) = 2x(x-2)^2(x-4)

Hướng dẫn giải bài:

Bước 1: Đọc kĩ đề bài và phân tích các đặc điểm của đồ thị cho sẵn.

Người học có thể xác định được hai đầu của đồ thị hướng lên, giao với trục hoành tại x = 0, x = 3 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm x = 2. Ngoài ra, đồ thị đi qua điểm (1,-3)

Bước 2: Nhập hàm số vào ô nhập dữ liệu của DESMOS.

Người học nhập hàm số trong các đáp án vào ô nhập dữ liệu của DESMOS Graphing Calculator

A. f(x) = -x(x-2)^2(x-4)

B. f(x) = x(x-2)^2(x-4)

C. f(x) = x(x-2)(x-4)

D. f(x) = 2x(x-2)^2(x-4)

Bước 3 và 4: Đối chiếu đồ thị được vẽ với đồ thị cho sẵn và kết luận

Fig. 7. Function x(x-2)^2(x-4)on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [7])

A. f(x) = -x(x-2)^2(x-4) -> Không trùng khớp với đồ thị trong đề bài

B. f(x) = x(x-2)^2(x-4) -> Trùng khớp với đồ thị trong đề bài => Đáp án đúng

C. f(x) = x(x-2)(x-4) -> Không trùng khớp với đồ thị trong đề bài

D. f(x) = 2x(x-2)^2(x-4) -> Không trùng khớp với đồ thị trong đề bài

Lưu ý: DESMOS luôn hiển thị giá trị dưới dạng số thập phân. Do đó, DESMOS hữu dụng khi giá trị cần tìm là giá trị nguyên (1,2,3,...), giá trị thập phân hữu hạn (1.5, 2.5,...), giá trị thập phân vô hạn tuần hoàn (0.6666), hoặc giá trị thập phân không tuần hoàn thông dụng (3.141592). Nếu người học chưa quen nhận diện các giá trị này (VD: 10/3 có thể được biểu diễn là 3.33333), điều nên làm là luôn kiểm tra lại đáp án trước khi chọn.

Bài tập vận dụng

Sau đây, bài viết sẽ giới thiệu đến người học một số câu hỏi Digital SAT có sử dụng DESMOS để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn. Người học hãy sử dụng tính năng DESMOS đã giới thiệu để giải các câu hỏi sau.

Fig. 8. Function f(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x+3) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [8])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = (x+2)(x-1)^2(x-3)

B. f(x) = -(x+2)(x-1)^2(x-3)

C. f(x) = (x+2)^2(x-1)(x-3)

D. f(x) = (x+2)(x-1)^2(x+3)

Answer: D

Question 2:

Fig. 9. Function f(x)=(x+3)(x+1)^2(x+2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [9])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = (x+3)(x+1)^2(x-2)

B. f(x) = -(x+3)(x+1)^2(x-2)

C. f(x) = (x+3)^2(x+1)(x-2)

D. f(x) = (x+3)(x+1)^2(x+2)

Answer: D

Question 3:

Fig. 10. Function f(x)=(x-2)(x+1)^{2}(x-3) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [10])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = (x-2)(x+1)^2(x+3)

B. f(x) = -(x-2)(x+1)^2(x+3)

C. f(x) = (x-2)^2(x+1)(x+3)

D. f(x) = (x-2)(x+1)^2(x-3)

Answer: D

Question 4:

Fig. 11. Function 4/3(x+1)(x-3)^2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [11])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = 4/3 (x+1)^2(x-3)

B. f(x) =1/3 (x+1)(x-3)^2

C. f(x) =1/3 (x+1)(x-3)

D. f(x) =4/3 (x+1)(x-3)^2

Answer: D

Question 5:

Fig. 12. Function f(x)=-1/2x^2(x-4)^2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [12])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -1/6 x (x-4)^2

B. f(x) = -1/2 x^2 (x-4)^2

C. f(x) = -1/2 x^2 (x-4)

D. f(x) = -1/6 x^2 (x-4)^2

Answer: B

Question 6:

Fig. 13. Function f(x)=-2(x+1)^2(x-3) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [13])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -2(x+1)^2*(x-3)

B. f(x) = -4(x+1)^2*(x-3)

C. f(x) = -2(x+1)(x-3)

D. f(x) = -2(x+1)^2*(x-3)^2

Answer: A

Question 7:

Fig. 14 Function f(x)=1/4(x+3)(x-1)(x-4) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [14])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -1/4 (x+3)(x+1)(x-4)

B. f(x) =- 1/4 (x+3)(x-1)(x-4)

C. f(x) = 1/4 (x+3)(x-1)(x-4)

D. f(x) = 1/4 (x-3)(x-1)(x-4)

Answer:C

Question 8:

Fig. 15. Function f(x)=1/6(x+2)(x+1)(x-3)^2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [15])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = 1/6(x+2)(x+1)(x-3)^2

B. f(x) = 1/6(x+2)^2(x+1)(x-3)

C. f(x) = 1/3(x+2)(x+1)(x-3)

D. f(x) = 1/3(x+2)(x-1)(x-3)

Answer: A

Question 9:

Fig. 16. Function f(x)=-1/16 x^2 (x+2)(x-2)^2 on the Desmos Graphing Calculator. (Source: [16])

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -1/16 x^2 (x-2)(x-2)^2

B. f(x) =-1/16 x^2 (x+2)^2(x-2)

C. f(x) =-1/16 x^2 (x+2)(x+2)^2

D. f(x) =-1/16 x^2 (x+2)(x-2)^2

Answer: D

Question 10:

Fig. 17. Function f(x)= 2(x-1)(x^2-2) on the Desmos Graphing Calculator. (Source: []17)

Which of the following could be the equation of the graph in the xy-plane shown above?

A. f(x) = -2(x-1)(x^2-2)

B. f(x) = 2(x-1)(x^2-2)

C. f(x) = 2(x-1)(x^2+2)

D. f(x) = 2(x-1)^2*(x-2)

Answer:B

Như vậy, bài viết đã giới thiệu về phần mềm DESMOS và hướng dẫn chi tiết cách sử dụng phần mềm này trong bài thi Digital SAT để xác định hàm số bậc cao tương ứng với đồ thị cho sẵn. Việc vận dụng linh hoạt các tính năng vẽ đồ thị không chỉ giúp thí sinh trực quan hóa các phép biến đổi hình học mà còn là công cụ đắc lực để đối chiếu và xác định chính xác phương trình hàm số cần tìm.

Hy vọng người học có thể vận dụng các nội dung và quy trình thao tác trong bài viết để cải thiện hiệu suất ôn tập, đơn giản hóa các bước tính toán phức tạp và nâng cao hiệu quả làm bài của bản thân trong các kỳ thi sắp tới.

Tham khảo chương trình luyện thi SAT cam kết đầu ra tại ZIM Academy để được hướng dẫn chuyên sâu và bứt phá điểm số.

SAT® is a trademark registered by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this website.